试卷试题 眼科病床的合理安排数学建模竞赛试题
2009年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题一等奖1
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排摘要眼科病床安排问题是一个重要的问题，如果病床安排得不合理，不仅医院资源不能得到有效利用，而且会给病人造成一定得损失，也影响医院的发展。
建立合理的病床安排模型不仅能使医院资源得到有效分配，还能为病人带来方便。
首先，为确定病床安排模型的优劣，我们要建立一个合理的评价指标体系。
从总成本和效率两方面进行综合考虑，建立模型一评价指标模型。
第一个综合指标总成本包括病人在排队系统中等待的损失和医院服务成本，即总成本i i i Q ax by =+；第二个综合指标是用“归一分析法”来分析床位利用效率，其中：=⨯期内床位实际周转次数床位效率指数床位使用率期内床位标准周转次数然后采用模型一的这些指标对该问题的病床安排模型的优劣进行综合评价，得出结论是按照FCFS （First come, First serve ）规则安排住院使总成本不断在大幅度增加，床位一直处于低效率运行状态。
“眼科病床合理安排”复习过程
模型的假设与符号说明
符号 Tq (i)( j)
符号说明 患第 i 类病的第 j 个病人的等待入院时间
Tg (i)( j) 患第 i 类病的第 j 个病人的术前的准备时间
Tf (i)( j) 患第 i 类病的第 j 个病人的住院时间
NO
平均每天出院人数
Tq
手术前的平均逗留时间，即从门诊到第一次手术的平均时间
4
模型的假设与符号说明
n(i )
一段时间内到门诊看病的第 i 类病人的人数
N(i)( j) 第 j 天第 i 类病人的在院人数（不包括当天新入院的人数）
NI (i)( j) 第 j 天第 i 类病人的新入院人数
NO(i)( j) 第 j 天第 i 类病人的出院人数
(i)
第 i 类病人平均每天到门诊看病的人数
9
问题分析（5）
针对问题三：根据各类病人的统计结果， 可得出每天有多少人患病以及患什么病，找 出其分布规律，然后根据病人的入院规则， 可以得出各类病人大致在星期几入院，再根 据术后观察时间的统计规律，便可以得到病 人的出院时间，从而可安排病人入院，这样 就可在病人门诊时告知其大致的入院时间。
10
问题分析（6）
6
问题分析（2）
在病床不够的情况下，从医院的角度讲， 医院自然希望在多做手术的同时，减小病人 占用病床的时间。为了得到合理的安排规则， 首先要确定合理的评价指标体系，用此评价 按该规则建立的病床安排模型的优劣。
7
问题分析（3）
针对问题一：从病人的角度看，病人到医院看病分为以 下几个阶段:挂号看病时间即门诊时间，入院，手术前的准备， 手术，手术后的观察，出院。合理的安排就是让病人从挂号 看病到出院的时间尽量的短。但根据实际情况知病人的术后 观察时间是由病情决定的，故所建立的模型只能缩短门诊看 病到接受手术的时间间隔即病人手术前的逗留时间，所以模 型的评价指标可以是病人手术前的平均逗留时间，平均术前 准备时间。从医院的角度看，我们可以将病床的周转次数作 为评价指标。由于病床的周转次数与医院每天出院人数是密 切相关的——在病床不够的情况下，医院每天出院的人数越 多，能够入院的病人就越多，病床周转次数就越多，医院的 效益就越好。所以，综合考虑病人和医院的利益，我们把病 人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间，平均每天出 院人数作为评价指标，当前两个指标值越小，最后一个指标 值越大的时候，病床安排模型越好。
数模_B2009_眼科病床的合理安排_国家二等奖_答卷
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J0909 所属学校（请填写完整的全名）：西安电子科技大学参赛队员(打印并签名) ：1. 李珂2. 王勇强3. 高龙超指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2009 年 9 月 14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排摘要医院安排病床在日常生活中十分常见，故建立模型解决病床的合理安排十分重要。
本文就充分利用医院的有限资源建立模型解决病床合理安排的问题。
问题一，针对评价病床安排方案的要求建立模型一。
筛选确定评价指标，包括病床周转率、等待队长、病人入院等待时间、病人平均治疗时间。
利用APH 法科学计算权重，最终确定综合指标，综合指标越小，表示安排模型越好。
根据题目所给所有出院病人信息，对于现有的安排模型进行评价，计算得到综合指标为9.9390。
问题二，为解决现有的病床安排方式造成等待队列过长的问题建立模型二，以综合指标最小为目标，在现有手术时间安排的约束下建立优化模型。
引入优先等级的原则对模型求解进行简化。
利用MATLAB分别以现有和改进的安排方式编程对于9月11日之后门诊的病人进行病床安排，部分结果见表6，具体结果见附录一、二。
数学建模-眼科病床的合理安排
医院利益分析及病床安排策略的优劣分析
我们通过分析医院 一种策略的优劣性 日平均接待入院人 取决于所有病人的 数，用理想化的接 整体满意度和医院 待人数和现实接待 的利益，我们给出 人数的比值来表示 一种综合评价指数 医院的利益指数H。 W，其计算方式为： 通过H，就可以判 N 断不同策略对医院 W 0.4 H 0.6 i 1 S（i） N 利益的影响。
引入时延的FCFS改进算法
1) 记录当天的就诊病人，若有外伤患者，在预计 次日空余床位的允许范围内，优先安排到次日 入院。其余病人加入次日排队队列。 2) 对当天排队病人按照门诊时间进行排序（单 双眼白内障的门诊时间要根据当天具体时期按 照时延表进行时延，然后再参与排序），对于 相同日期的病人优先程度为：双眼白内障、单 眼白内障、其他疾病。 3) 根据当天空余床位，安排排序靠前的病人入 院，直到 病床安排满。 4) 转1）进行下一天的安排。
模型的建立
决策变量： t1(i) 、t2(i) 目标函数： MaxW 0.4 * H 0.6 * （i=1,2…N）
N i 1
S (i)
约束条件： 外伤病人：t2=1 白内障病人：t2≥1 青光眼、视网膜疾病病人：t2≥2 星期一、三只做白内障手术 PT≤79 t1 (i ) T0 (i ) T1 (i ) （i=1,2…n） （i=1,2…n） t (i) T (i) T 2(i)
模型假设
病人的满意度只受入院前等待时间和手术前等待 时间影响。 在一定的时间间隔内，来到医院的病人数量只与 这段时间间隔的长短有关，而与这段时间间隔的 起始时刻无关。 病人的到达率与病床占用程度无关，无论住院部 中有多少病人，病人的到达率不变。 病人出院当天即可安排另一病人入院。 每天都有一定数量的病人出院，确保前一天问诊 的外伤病人有床位。
数学建模医院眼科疾病病床安排模型
眼科病床的合理安排模型摘要本题是关于医院病人病床安排的问题。
对题目所给的大量数据采用数据库软件SQLsever 进行统计分析，发现在8月6日之后医院的入院人数和出院人数基本相等，由此可知，在医院系统运转一段时期后，医院日入院人数和日出院人数达到动态平衡。
基于这个原理，建立病人安排模型，并采用SJF （最短作业优先调度）算法，从而解决了问题。
针对问题一，在全面分析问题的基础上，参考计算机进程工作原理以及进程调度优劣的评价指标。
在参考大量资料后，确定了病人看病效率、床位效率指数、急症病人与空床位数匹配度（考虑到急症病人的特殊情况，所以引入该指标。
）三个指标，并按照医院的FCSF 的安排原则求出各指标的值。
针对问题二，首先，对各类病人的住院周期进行统计，求得了每种病的平均住院周期，利用住院周期，对附表二中病人的出院时间做出具体推测。
其次，统计分析得知医院日入院人数和日出院人数保持动态平衡。
基于这种平衡，可以确定出每天需要安排入院的人数。
然后采用SJF 算法，在保证的总的等待入院时间尽可能短的条件下，依次搜索出当天要安排的病人。
最后,利用问题一中确定的评价指标对模型进行了评价，并和原方案（题中所给方案）进行了比较分析.发现病人的看病效率增加了10.2%，床位效率指数增大了0.13，急症病人与空床位数匹配度基本保持不变。
针对问题三，在统计住院周期的基础上，求得每种病的住院周期的方差，再以95%的置信水平上求得期望值的置信区间。
然后利用第二问中得出的入院时间，推测出入院时间区间。
针对问题四，我们在问题二的基础上加上了周六，周日不安排手术的约束条件重新回答了问题二。
由于周末不安排手术，所以要对周六、周日的手术进行重新安排。
通过对各种病症时间安排的综合考虑，我们对外伤和白内障病人原手术时间不作变动，将视网膜和青光眼病人的手术时间按照日手术量限制和SJF 的原则重调到周一至周五。
从而很好解决了该问题。
针对问题五，我们建立了以各类病症的不同病人的等待时间为变量，以所有病人在系统内的平均逗留时间最短为目标的规划模型，即12min D d d =+。
(!)B0802
眼科病床的合理安排摘要病床使用情况反映了医院工作质量和管理效益。
本文通过对医院眼科病床的安排研究,为门诊资源的优化配置和流程再造提供科学依据。
对于问题一，通过挑选反映病床使用情况的四个常用统计指标：病床使用率、病床周转次数、病床工作日和出院者平均工作日, 应用秩和比法对眼科病床使用情况进行综合评价，建立医院眼科病床使用情况的合理的评价指标体系。
并把它应用于评价FCFS(First come ，First Serve)规则安排住院模型的优劣。
可知被评价对象的水平相差较大，分配给白内障(双眼)、视网膜疾病和外伤病人的病床数相对合理，而分配给青光眼病人的病床数相对紧张，而分配给白内障(单眼)的病床利用不够充分。
对于问题二，通过统计数据的方法计算出各类入院病人占入院总病人数的大致比例确定相应的床位数，建立了合理的病床安排模型，并应用问题一的四个指标，通过对病床使用情况RSR 值的分析与比较以及开放病床数合理区间调整病床安排。
对于问题三，应用排队论与抢占优先权排队论对问题进行讨论，解决了病人门诊时即被告知其大致入住时间区间,可知若病人到院时间为0t 则根据等待时间为T ，可知其大致入院时间为[]T t t o o +,。
对于问题四，应用解决问题二的方法，对于该住院部周六周日不安排手术的情况，由于指标体系只与住院时间长度有关，而与门诊时间、入院时间、手术时间无关，我们可将原先周六周日安排手术的病人视为只来门诊而没有入院的人，及没有对他进行服务，通过对病床使用情况RSR 值的分析，建立了医院手术时间是否需要调整的模型，由图像就可知RSR 值偏离控制区间太大，即需对手术时间进行调整。
对于问题五，我们通过最优化方案确定了平均逗留时间最短的病床比例分配模型，运用Lingo 软件求出最优值，得到各类眼科疾病相应的病床数，白内障（单眼）：15床；白内障（双眼）：15床；青光眼：19床；视网膜疾病：15床；外伤：15床。
2009全国数学建模竞赛命题与解题思路解析
一种比较典型的仿真优化方法是：对每一位等待 一种比较典型的仿真优化方法是： 入院病人，以该病人当日入院的公平性（以到达 入院病人，以该病人当日入院的公平性（ 先后计）与病床使用效率（分类考虑） 先后计）与病床使用效率（分类考虑）两方面综 合排序（例如求两个指标的加权和），然后按排 合排序（例如求两个指标的加权和），然后按排 ）， 序结果安排当日入院病人，由此得到公平合理的 序结果安排当日入院病人， 住院方案。按此方案进行仿真， 住院方案。按此方案进行仿真，再统计各项评价 指标值，并与FCFS方案作比较，此问即告完成。 FCFS方案作比较 指标值，并与FCFS方案作比较，此问即告完成。
解题思路 3
这一类以排队论及仿真优化方法为主要解决 方法的题目， CUMCM年竞赛题目中，还 不多见。而这一类随机服务系统优化的问题， 不多见。而这一类随机服务系统优化的问题， 在现实实际中却是大量存在的，因此， 在现实实际中却是大量存在的，因此，在以 反映现实生活中的数学建模问题为己任的大 学生数学建模竞赛中，出现这一类题目， 学生数学建模竞赛中，出现这一类题目，也 是很自然的事情，MCM中如04年 中如04 是很自然的事情，MCM中如04年B题“游乐场 快速通道问题” 05年 快速通道问题”，05年B题“高速公路收费站 问题” 就是两个这类问题的实例。 问题”，就是两个这类问题的实例。
解题思路
12
第二问
本问主要考核能否给出一个相对合理的病 床安排模型，主要目标为： 床安排模型，主要目标为：提高病床有效利用 率以及提高公平度。 率以及提高公平度。 就提高病床有效利用率而言，病人术后住 就提高病床有效利用率而言， 院时间是一个不可优化的量， 院时间是一个不可优化的量，所以只能在术前 等待时间上作文章。 等待时间上作文章。经对题目所给数据的分析 可知： 可知：对白内障病人的入院时间加以限制成为 提高效率的必然选择。 提高效率的必然选择。
眼科病床的合理安排解析及点评
“眼科病床的合理安排” 解析及点评
刘保东 山东大学
Baodong@
问题提出
• 医院住院排队问题 • 建模目的：就是要得到对现有的病床安排 FCFS方案的一个现实、合理的改进方案 题目：B2009.doc
问题分析
• 研究目的：某医院眼科病床的合理安排的 数学建模问题 • 该医院眼科手术主要分四大类：白内障、 视网膜疾病、青光眼和外伤
P 1 T T0 1
设一个已出院病人实际住院时刻为T1，通过仿真统计 一段时间内所有病人的
T1 T
根据90%的臵信度确定两个阈值 。
, ( 0)
从而得到当前病人的预计住院时间区间为
T , T
第四问
为一个排队论问题加以继续研究。
优秀论文
• B甲1049.doc
问题分析
• 数据分析做得比较深入的同学，会发现一 条隐含在数据中的关键信息：术前住院时 间过长是当前病床使用效率不高的主要因 素。这样一个关键信息的获得，会使得建 模更有方向感。
问题一：评价指标体系
• 主要考核对问题的考虑是否全面，对问题实质的理解是否 到位。评价指标分两类：效率指标和公平性指标。 两类指标可以有各种不同的定义，其合理性是评分依据。 • 效率指标——平均术前住院时间，或病床有效利用率。 非外伤病人入院第2日（白内障）或第3日（其他眼病）后 等待手术的时间称为病床无效时间， 病床有效利用率定义为 病床有效利用率=1-病床无效时间/该病人住院时间
比较得到最佳组合方案。此方案计算量较大，且模型通用
性有一定局限。 二、服务强度平衡模型：当各分类系统的服务强度相等 时，效果最佳。可以通过建立条件极值模型，利用拉格朗 日方法证明这一结论。
(完整版)2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B题眼科病床的合理安排医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
2009全国数学建模赛B题
2.问题建模与求解
2.5 问题四建模与求解 2.5.3 白内障病人在周三、周五做手术的得分等级
问题的求解重新回到问题二，同时考虑效率 与公平的指标，应安排在周二和周四。
2.问题建模与求解
2.6 问题五建模与求解 2.5.1问题分析 为了使各类病人占用病床的比例大致固定， 且所有病人在系统内的平均逗留时间（含等 待入院及住院时间）最短。因而建立一个规 划模型，使得每一类病人的滞留时间与该类 病床数之比最小。
2.4 问题三建模与求解 2.4.1 模型建立
从第二问分析可知，每日病人出院服从泊松分布，
P(x=k)= e
k
k!
, k=0,1,2,3,…
时，该病人入院。
当n天之后，Y‘≥Ｙ＋１
由于 Y‘＝nλ，因此nλ ≥Ｙ＋１ 得到：
n
Y 1
2.问题建模与求解
2.4 问题三建模与求解 2.4.2 模型的求解
2009全国数学建模赛B题
眼科病床的合理安排
1.问题提出
1.1 问题背景 某医院眼科门诊每天开放，住院部共有 病床79张。该医院眼科手术主要分四大类： 白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。 白内障手术较简单，而且没有急症。 目前该院是每周一、三做白内障手术，此 类病人的术前准备时间只需1、2天。如果 要做双眼是周一先做一只，周三再做另一 只。
1.问题提出
1.3 问题的提出 • 问题一：试分析确定合理的评价指标体系， 用以评价该问题的病床安排模型的优劣。 • 问题二：试就该住院部当前的情况，建立 合理的病床安排模型，以根据已知的第二 天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪 些病人住院。并对你们的模型利用问题一 中的指标体系作出评价。
1.问题提出
眼科病床的合理安排数学建模竞赛试题
眼科病床的合理安排摘要本文通过研究某医院眼科病床的合理安排问题，建立了合理的评价指标体系指导医院眼科病床的安排，旨在改善该医院眼科病人等待入院的队列越来越长的问题，使得医院和病人的利益达到“双赢”。
针对问题一，由于附表所给数据存在缺失，本文采用均值填补法对缺失数据进行填补。
由于不同类型病人的入住时间对医院床位的影响程度不同，在确定评价指标体系时，将病人分为急症型(外伤)、白内障型(双眼)、白内障型(单眼)、视网膜型疾病及青光眼型五类。
利用YAAHP层次分析软件建立层次结构模型结合每类病人的最短和最长住院时间确定四个等级，即优、良、中、差作为该医院眼科病床的合理评价指标体系，并得出医院采用FCFS规则不合理的结论。
针对问题二，由于医院的病床空余数量受各类病人的手术难度、术前准备时间、术后恢复及观察时间等因素的影响，因此以白内障型病人的手术时间为分段标准，将一个星期的时间分为三段，一方面保证医院当天安排的各类入院病人的比例与各类来诊病人的比例满足正相关的关系，另一方面通过合理分配不同类病人入院人数控制医院床位的流动速度，从而减轻医院的病床不足的压力，以此建立双目标线性规划模型，并通过MATLAB解得了三个阶段的最优结果。
针对问题三，首先将病人按类型分类，根据问题二中的求解结果，结合等待入院病人的统计情况确定各类病人所需的平均最短及最长时间，确定各类病人的大致入住时间区间。
针对问题四，以问题二的算法为基础，通过MATLAB编程计算出在目前该医院手术安排时间下，医院每天安排的不同类病人数的平均入院到出院时间，并通过问题一中的评价指标体系进行评价，评价结果处于优等，得出医院不需要对手术时间再进行调整的结论。
针对问题五，要使得平均逗留时间最短，那么各类病人的术前准备时间相应的也要最短。
根据题意可知白内障病人及外伤病人的术前准备时间为1天，青光眼、视网膜疾病病人的术前准备时间为2天，并且平均逗留时间等于等待入院时间与住院时间之和。
眼科病床的合理安排2009全国大学生数模竞赛B题
有一定均值 不可人为缩
短
10
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问题分析：假设
眼科手术
出院总在早上8:00, 空出床位当天可用 医生充分，手术条件及各种设备充分，病床79张 所附各类数据能够反映真实情况
• 各类型病人人数比例 • 门诊时刻分布，各类在院时间分布 • 病人候诊情况与医院治疗、床位情况无关
6
27
32
11
9
19.5621
24
感谢你的观看
评价指标
权重归一化 层次分析方法：成对对比矩阵 灰色关联法
分布检验
基于不同的假设
新的床位安排方案
席位分配方法：Q值法 理想点逼近方法 惩罚策略 模糊函数方法
排队论方法
25
其它解决方案
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评价体系的合理性及其应用
自适应方法
仿真 模拟
计算 出院 人数
预告
新
一个模拟周期
区间
给出调节 区间方法
评估 可入院 人数
21
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模型：五天工作制
周六、日不安排手术？
白内障(双)患者的两次手术之间间隔限制 • 周一、三 二、四 三、五 一、四 二、五 五、一
调节 优先级
住院
人数
450
466
477
455
464
462
当天门诊病人最早第二天入院
白内障手术安排在周一、三，改用其它方式时， 两次手术间间隔1天
11
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问题分析：数据准备
各病种样本数、日均床位
170 133 100
64
63
30.8 10.111.415.3611.1
2009年建模答卷
眼科病床安排模型摘要本文主要对医院眼科病床利用情况的综合评价和有限床位资源的调配问题，建立数学模型，数据源于数模竞赛B 题。
对问题一，首先确定评价的指标体系有四个因素组成：平均等待住院的天数i q ，平均住院天数i y ，住院后至第一次住院的天数i t 和同一时段内病床的周转次数，经分析知这四个评价指标最关键的是住院后至第一次手术等待天数i t ，该指标需满足题目要求：白内障患者212≤≤t ，视网膜和青光眼患者323≤≤t ，324≤≤t 。
经统计分析发现，原安排模型白内障患者住院后至第一次手术的平均等待时间都超过2天，尤其是双眼手术患者术前时间准备高达3.59天，很不合理.。
对问题二，采用列表法确定各类病人在星期()7,6,5,4,3,2,1=j j 住院后，经过最短的时间i t 等待后就能够接受手术的一览表，按照FCFS 的原则同时兼顾到i t 列出2个算式确定第二天的住院人数，其中i T 是第i 类病人在门诊总的等待时间。
)3( )7,6,5,4,3,2,1;4,3)(()2( )7,6,5,4,3,2,1(),(1433322314333222224324322==-++==-++=j i m n T T T T m j m n T T T T m j jj ji jj jjt t t i t j i t t t t j最后我们运用问题一中的评价体系对我们的方案做出评价，发现白内障患者术前等待时间2t 满足212≤≤t ，青光眼和视网膜疾病也满足323≤≤t ，324≤≤t 。
对问题三，统计出截至今天门诊中第i 类病人等待住院的总人数i i p ，住院部中第i 类病人的总住院人数i n 和这类病人平均住院天数i y ，已经住院天数i x 以及平均住院天数i y 的均方差i y σ，按公式(5) 确定出i q 的范围。
(5) ]))(1(,))(1[(i y i ii i y i i i x y n p x y n p q ii-++--+∈σσ )6(4,3,2,7242==∑=i z yz y r i iii i i 对问题四，由于周六和周日不安排手术，重新列出各类病人在星期j()7,6,5,4,3,2,1=j 住院后，经过最短的时间i t 等待后就能够接受手术的一览表，经分析发现周三至周日安排的白内障患者都会被安排在周一手术，同样周四至周日住院的青光眼和视网膜疾病患者都会在周二手术，这样会出现手术医生过于紧张的局面，所以我们对周日住院的病人手术时间和周二入院的青光眼和视网膜疾病的手术时间都向后调整，第二天入住病人数j i m 仍按照问题二中的公式计算。
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眼科病床的合理安排摘要本文通过研究某医院眼科病床的合理安排问题，建立了合理的评价指标体系指导医院眼科病床的安排，旨在改善该医院眼科病人等待入院的队列越来越长的问题，使得医院和病人的利益达到“双赢”。
针对问题一，由于附表所给数据存在缺失，本文采用均值填补法对缺失数据进行填补。
由于不同类型病人的入住时间对医院床位的影响程度不同，在确定评价指标体系时，将病人分为急症型(外伤)、白内障型(双眼)、白内障型(单眼)、视网膜型疾病及青光眼型五类。
利用YAAHP层次分析软件建立层次结构模型结合每类病人的最短和最长住院时间确定四个等级，即优、良、中、差作为该医院眼科病床的合理评价指标体系，并得出医院采用FCFS规则不合理的结论。
针对问题二，由于医院的病床空余数量受各类病人的手术难度、术前准备时间、术后恢复及观察时间等因素的影响，因此以白内障型病人的手术时间为分段标准，将一个星期的时间分为三段，一方面保证医院当天安排的各类入院病人的比例与各类来诊病人的比例满足正相关的关系，另一方面通过合理分配不同类病人入院人数控制医院床位的流动速度，从而减轻医院的病床不足的压力，以此建立双目标线性规划模型，并通过MATLAB解得了三个阶段的最优结果。
针对问题三，首先将病人按类型分类，根据问题二中的求解结果，结合等待入院病人的统计情况确定各类病人所需的平均最短及最长时间，确定各类病人的大致入住时间区间。
针对问题四，以问题二的算法为基础，通过MATLAB编程计算出在目前该医院手术安排时间下，医院每天安排的不同类病人数的平均入院到出院时间，并通过问题一中的评价指标体系进行评价，评价结果处于优等，得出医院不需要对手术时间再进行调整的结论。
针对问题五，要使得平均逗留时间最短，那么各类病人的术前准备时间相应的也要最短。
根据题意可知白内障病人及外伤病人的术前准备时间为1天，青光眼、视网膜疾病病人的术前准备时间为2天，并且平均逗留时间等于等待入院时间与住院时间之和。
以平均逗留时间为目标函数，建立了线性规划模型，并利用LINGO软件求出五类病人的病床分配比例为外伤：白内障(单眼)：白内障(双眼)：青光眼：视网膜疾病=11：14：19：9：26。
本文利用多种软件进行数据处理，尽最大可能的挖掘了隐含信息的规律。
最后对模型进行了优化，通过SPSS线性回归拟合对缺失数据进行回归填补，并对回归方程利用ANOVA变异数分析进行了显著性差异的F检验。
关键词：层次分析法；多目标规划；线性规划；均值填补；回归填补医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
为了解决住院部的床位合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用和帮助病人确定更好的合理住院时间，我们对各个问题给予了一定合理的分析。
对于问题一，要确定合理的评价指标体系，用以评价FCFS方案的优劣问题，我们可以考虑用层次分析法确定各类病人对时间的权重，然后对其打分，将治疗时间分为不同的等级，看其分数在那个阶段就确定其方案的优劣性。
对于问题二，要通过建立合理的病床安排模型来解决根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院的问题，我们可以考虑用平均住院时间和病床安排的分配比例为最终目标，然后建立双目标规划函数，来求解出跟据第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排各类病人住院的数量。
对于问题三，要解决病人门诊时即告知其大致入住时间区间的问题，我们可以先把这些病人分类，然后根据问题二中的求解结果，再加上等待注意病人的统计情况来确定其各类病人所需的平均最短时间和最长时间，所以也就可以确定各类病人的大致入住时间区间。
对于问题四，要解决若住院部周六和周末不安排手术，看医院的手术时间安排是否应做出相应调整的问题，我们可以考虑在模型二的基础上进行改进和增加约束条件来确定新的双目标规划函数，然后根据其治疗得分确定其等级，即可确定其手术时间是否要调整。
对于问题五，因医院病床安排采取对各类病人占用病床的比例大致固定的方案，要解决所有病人在系统中平均逗留时间最短的病床比例分配问题，我们可以以治疗时间为目标函数，然后通过线性规划来求解出最短的病床比例分配。
三、符号说明四、模型假设1.假设该医院的设备和医生充足，不考虑手术条件的限制。
2.假设周一和周三只做白内障手术，通常情况下白内障手术与其他眼科手术不安排在同一天做。
3.假设其他眼科手术的准备时间在1-2天，不考虑其他因素导致准备时间为3天，即不会与白内障手术冲突。
4．外伤通常属于急症，急症优先安排手术，建模时眼科疾病不考虑急症。
五、模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解5.1.1缺失数据处理由于题中所给数据存在缺失，为了充分考虑所有病人的信息对本文所解决问题的影响，考虑采用均值填补法，即根据已经病人的信息求出各类病人的术后观察的平均时间，然后根据各类病人的术后观察的平均时间将病人的缺失数据补充完整(具体数据见附录一)。
各类病人的术后观察平均时间如表1。
表1.各类病人的平均术后观察时间5.1.2.问题的分析与层次结构模型的建立在分析了该医院当前的病床安排规则以及从7月13号到9月11号的病人入院和出院的基本信息后发现：该医院按照FCFS规则给门诊病人安排住院是极其不合理的，这也造成了除外伤(急症)外的其他几类病人的门诊到入院的等待时间均在12天左右，大大阻碍了该医院的正常运行，使得等待住院病人的队列越来越长，为了解决该医院等待住院的人数越来越多这一难题，就需要通过制定新的住院规则。
因为不同类病人的手术难度以及平均住院时间是不同的，所以不能只根据FCFS规则对当天来诊病人进行安排，要充分考虑不同类病人的入住对之后的医院床位的影响。
为了充分体现这一原则，考虑到不同类病人的入住对医院床位的长期影响，在确定评价指标体系时，将病人分为五类，即急症型(外伤)、白内障型(双眼)、白内障型(单眼)、视网膜型、青光眼型。
为了分别确定这五种类型的病人从门诊到入院和入院到出院这两个阶段的平均时间对最终病床安排的影响，采用层次分析法[1]分析不同类病人及两段时间对安排结果影响程度，层次结构模型如图1。
图1.层次结构模型为了定量的表示不同类病人对准则层各因素的看重程度，利用saaty建议的数字1-9及其倒数作为标度，给出准则层及判断层矩阵如下。
表2.准则层的判断矩阵表3.方案层的判断矩阵利用MATLAB编程求出层次总排序如表4(程序见附录二)表4.层次总排序1.3评价指标体系的确定为了确定合理的评价指标，根据平均每类病人从门诊到出院的平均时间划分为四个等级，即优、良、中、差。
具体划分方法如下：分析题中所给信息及附表中的数据后发现外伤病人从门诊到出院时间最短为5天左右，白内障(单眼)为6天，白内障(双眼)为9天，青光眼为14天，视网膜为15天。
分析附表中数据发现除外伤外的其他类病人门诊到入院的平均等待时间为12天左右，以此为基础作为除外伤外其他类病人的最大时间，并根据不同类病人平均划分为四个等级如下(单位：天)：外伤：优：5—6；良：7—9；中：10—12；差：13—15。
白内障(单眼)：优：6—7；良：8—10；中：11—14；差：15—18。
白内障(双眼)：优：9—11；良：12—15；中：16—20；差：21—25。
青光眼：优：14—16；良：17—20；中：21—23；差：24—26。
视网膜：优：15—17；良：18—20；中：21—24；差：25—27。
由表4可知，根据层次分析模型求得的各类病人的权重比例为：外伤：0.321；白内障(单眼)：0.246；白内障(双眼)：0.156；青光眼：0.149；视网膜：0.129。
结合权重比以及五种类型病人的划分等级，可以求出最终的评价等级如表5。
表5.评价等级及时间范围从表5可以看出，评价为优的等级所对应的平均治疗时间为11天以下，这意味着该医院在每天分配空床位给来门诊的病人时必须考虑不同类病人的接收比例，按不同比例去接收病人会得到不同的平均治疗时间，该指标为医院在以后接收病人时提供了参考，即在医院每天安排了病人后，根据安排的不同类病人的人数按照层次分析模型得到的各类病人的权重比计算出病人的平均治疗时间并参照表5的结果后可以知道这种分配方案是否合理。
并得出医院采用FCFS规则是不合理的。
5.2问题二模型的建立与求解2.1问题的分析与准备为了建立更加合理的病床安排模型，首先要明确造成该眼科医院等待入院病人的队列越来越长的原因，分析发现该医院在按照FCFS规则安排病人入院时并未考虑不同类病人之间的不同，除外伤外其他类病人之间由于手术难度、术前准备时间、术后恢复及观察时间等的不同必然会对医院的病床空余数量产生影响。