数学数学平行四边形试题及答案

数学数学平行四边形试题及答案

一、解答题

1．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ?沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．

（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由． （2）设

()01AB

m m AD

=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =． ②若

AE

n AD

=，用等式表示m n ，的关系． 2．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．

（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，

CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；

（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．

（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形

ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．

3．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．

(1)求证：AE ＝AF ；

(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是 ，

MD 、MN 的位置关系是

(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作

//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．

(1)求证: FCE BOE ≌；

(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．

5．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：

如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ?的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：

（动手操作，归纳发现）

（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ?的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想

（推理探索，尝试证明）

为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程： （2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G 则90CGB ∠=

90GCB CBG ∴∠+∠=

又

四边形ABCD 正方形，

AB BC =，90ABC ∠=

则90CBG ABO ∠+∠=

GCB ABO ∴∠=∠

在CBE ?与ABE ?中， （类比探究，拓展延伸）

（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．

6．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．

（1）当t ＝1时，求BF 的长度；

（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值； （3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．

7．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且

DF BE ＝，求证：CE CF ＝；

拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠?＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？

运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠?＝＝，

16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠?＝，4BE ＝，求DE 的长．

8．（解决问题）如图1，在ABC ?中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．

（1）若3PE =，5PF =，则ABP ?的面积是______，CG =______． （2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．

（3）（变式探究）如图2，在ABC ?中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ?内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求

PE PF PG ++的值．

（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．

9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．

（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为；

（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．

10．（问题情境）

在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：

PD+PE=CF．

图① 图② 图③

证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）

（变式探究）

当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （结论运用）

如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；

（迁移拓展）

在直角坐标系中.直线l 1：y=4

43

x -

+与直线l 2：y=2x+4相交于点A ，直线l 1、l 2与x 轴分别交于点B 、点C ．点P 是直线l 2上一个动点,若点P 到直线l 1的距离为1.求点P 的坐标.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②2220m n n =+- 【分析】

（1）根据BEF BEA ?得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；

（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=?、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得

BCF CED ?，根据全等三角形的性质即可证明；

②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ?中应用勾股定理即可求解． 【详解】

（1） 由折叠知BEF BEA ? ， 所以90BF BA BFE A =∠=∠=?， ．

若点F 在CE 上，则90BFC ∠=?，BC BF BA >=， 与AB AD =矛盾， 所以点F 不会落在CE 上． （2）①因为

()01AB

m m AD

=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，

所以90BFC BFE ∠=∠=? ， 所以BF BA CD == ． 因为//AD BC ， 所以DEC FCB ∠=∠ ， 所以BCF CED ? ， 所以CF DE =． ②若

AE

n AD

=，则AE nAD =． 设1AD =，则AE n AB m ==，． 因为//AD BC ， 所以BEA EBC ∠=∠ ． 因为BEF BEA ∠=∠ ， 所以EBC BEC ∠=∠ ， 所以1CE CB AD === ．

在Rt CDE ?中，11DE n CE CD m ===一，， ， 所以2

2

2

11()n m -+= ， 所以2220m n n =+-．

故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②2220m n n =+-． 【点睛】

本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键． 2．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =． 【分析】

（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可；

（2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得

△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；

（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】

（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD +∠CAE ＝90° ∵∠BAD +∠ABD ＝90°， ∴∠CAE ＝∠ABD 在△ABD 和△CAE 中，

ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；

（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示： ∵四边形AEFC 是菱形， ∴CE ⊥AF ，

∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，

同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ）， ∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4， ∴S △AOC ＝

12OA ?OC ＝1

2

×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24， 故答案为：24；

（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，

∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形， ∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，

同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ）， ∴EM ＝AH ＝GN ， 在△EMI 和△GNI 中，

EIM GIH

EMI GNI EM GN ∠=∠??

∠=∠??=?

，

∴△EMI ≌△GNI （AAS ）， ∴EI ＝GI ， ∴I 是EG 的中点，

∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°， ∴∠EAG ＝90°，

在Rt △EAG 中， EG ＝22AE AG +＝2286+＝10， ∵I 是EG 的中点， ∴AI ＝

12EG ＝1

2

×10＝5．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析 【分析】

(1)由等腰直角△ECF 得到CE=CF ，再由正方形ABCD 进一步得到BE=DF ，最后证明△ABE ≌△ADF 即可求解；

(2)MN 是△AEF 的中位线，得到AE=2MN ，又M 是直角三角形ADF 斜边上的中点，得到AF=2MD ，再由(1)中的AE=AF 即可得到MN=MD ；由∠DMF ＝∠DAF+∠ADM ，∠FMN ＝∠FAE ，∠DAF ＝∠BAE ，∠ADM ＝∠DAF ＝∠BAE ，由此得到∠DMN ＝∠BAD ＝90°； (3)连接AE ，同(1)中方法证明△ABE ≌△ADF ，进而得到AE=AF ，此时MN 是△AEF 中位线，MD 是直角△ADF 斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解． 【详解】

解：(1)证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，

∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，

∴CE＝CF，

∴BC﹣CE＝CD﹣CF，

即BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE＝AF．

(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，

∴AF＝2DM，

∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，

由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；

∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，

∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，

∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，

∴∠DMN＝∠BAD＝90°，

∴DM⊥MN，

故答案为：相等，垂直；

(3)如图3中，(2)中的两个结论还成立，理由如下：

连接AE，交MD于点G，如下图所示，

∵点M 为AF 的中点，点N 为EF 的中点， ∴MN ∥AE ，MN ＝1

2

AE ， 由(1)同理可证，

AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠B ＝∠ADF ，CE ＝CF ， 又∵BC +CE ＝CD +CF ，即BE ＝DF ， ∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴AE ＝AF ， 在Rt △ADF 中，

∵点M 为AF 的中点，∴DM ＝1

2

AF ， ∴DM ＝MN ，

∵△ABE ≌△ADF ，∴∠1＝∠2， ∵AB ∥DF ，∴∠1＝∠3，

同理可证：∠2＝∠4，∴∠3＝∠4， ∵DM ＝AM ，∴∠MAD ＝∠5， ∴∠DGE ＝∠5+∠4＝∠MAD +∠3＝90°， ∵MN ∥AE ，∴∠DMN ＝∠DGE ＝90°， ∴DM ⊥MN ． 故答案为：仍成立． 【点睛】

本题考查了正方形的性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等几何知识，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．

4．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=?时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析 【分析】

（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形. 【详解】

(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，

∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠， ∴OD CF =，

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =， ∴OB CF =，

在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠??

∠=∠??=?

，

∴()FCE BOE AAS ≌．

(2)当ADC 满足90ADC ∠=?时，四边形OCFD 为菱形.理由如下: ∵90ADC ∠=?，四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形 ∴,,,OA OC OB OD AC BD === ∴OC OD =， ∴四边形OCFD 为菱形 【点睛】

本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.

5．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA ． 【分析】

（1）通过测量可得；

（2）过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，由AAS 可证△ABO ≌△BCG ，可得BG=AO ，BO=CG ，由SAS 可证△ABE ≌△CBE ，可得AE=CE ，由线段的和差关系可得结论； （3）过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，由AAS 可证△ABO ≌△BCG ，可得BG=AO ，BO=CG ，由SAS 可证△ABE ≌△CBE ，可得AE=CE ，可得结论． 【详解】

解：（1）△AEF 的周长是OA 长的2倍， 故答案为：2；

（2）如图4，过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，

则∠CGB=90°，

∴∠GCB+∠CBG=90°， 又∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°， 则∠CBG+∠ABO=90°， ∴∠GCB=∠ABO ， 在△BCG 与△ABO 中，

GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△BCG ≌△ABO （AAS ）， ∴BG=AO ，CG=BO ， ∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ， ∴四边形CGOF 是矩形， ∴CF=GO ，CG=OF=OB ， 在△ABE 和△CBE 中，

BE BE ABE CBE AB BC =??

∠=∠??=?

， ∴△ABE ≌△CBE （SAS ）， ∴AE=CE ，

∴△AEF 的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO ； （3）如图5，过点C 作CG ⊥ON 于点G ，

则∠CGB=90°， ∴∠GCB+∠CBG=90°， 又∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°， 则∠CBG+∠ABO=90°， ∴∠GCB=∠ABO ， 在△BCG 与△ABO 中

GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△BCG ≌△ABO （AAS ）， ∴BG=AO ，BO=CG ， ∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ， ∴四边形CGOF 是矩形， ∴CF=GO ，CG=OF=OB ， 在△ABE 和△CBE 中，

BE BE ABE CBE AB BC =??

∠=∠??=?

， ∴△ABE ≌△CBE （SAS ）， ∴AE=CE ，

∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO ）=OA+OB-（OB-OA ）=2OA ． 【点睛】

本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 6．（1

（2

）（3）2

或4 【分析】

（1）由勾股定理可求出答案；

（2）延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，设AH ＝DH ＝x ，在Rt △AHD 中，得出x 2+x 2＝42，解方程求出x 即可得出答案；

（3）分AF ＝DF ，AF ＝AD ，AD ＝DF 三种情况，由正方形的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【详解】

解：（1）当t ＝1时，AE ＝1， ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AG ＝FG ＝AE ＝1，∠G ＝90°， ∴BF

，

（2）如图1，延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，

∵四边形AGFE 是正方形， ∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°， ∴∠EAF ＝45°， ∵DH ⊥AH ，

∴∠AHD ＝90°，∠ADH ＝45°＝∠EAF ， ∴AH ＝DH ， 设AH ＝DH ＝x ，

∵在Rt △AHD 中，∠AHD ＝90°， ∴x 2+x 2＝42，

解得x 1＝﹣22（舍去），x 2＝22， ∴D 、F 两点之间的最小距离为22；

（3）当AF ＝DF 时，由（2）知，点F 与点H 重合，过H 作HK ⊥AD 于K ，如图2，

∵AH ＝DH ，HK ⊥AD ， ∴AK ＝

2

AD

＝2， ∴t ＝2．

当AF ＝AD ＝4时，设AE ＝EF ＝x ， ∵在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°， ∴x 2+x 2＝42，

解得x 1＝﹣2（舍去），x 2＝2， ∴AE ＝2， 即t ＝2．

当AD ＝DF ＝4时，点E 与D 重合，t ＝4， 综上所述，t 为2或

或4． 【点睛】

本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． 7．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）68

5

【分析】

（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；

（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；

（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ． 【详解】

（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°， ∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°， 在△BCE 和△DCF 中，

BC DC B CDF BE DF =??

∠=∠??=?

， ∴△BCE ≌△DCF (SAS )， ∴CE=CF ；

（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下： 由（1）得△BCE ≌△DCF ， ∴∠BCE=∠DCF ，

∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ， 即∠ECF =∠BCD =90°， 又∵∠GCE =45°，

∴∠GCF =∠ECF ?∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ， 在△GEC 和△GFC 中，

CE CF GCE GCF GC GC =??

∠=∠??=?

， ∴△GEC ≌△GFC (SAS )， ∴EG=GF ，

∴GE=DF+GD=BE+GD ；

（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，

∴∠CGA=90°，

在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠B =90°， ∴四边形ABCG 为矩形， 又∵AB=BC ，

∴四边形ABCG 为正方形， ∴AG =BC=AB =16，

∵∠DCE =45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG ， 设DE=x ， ∵4BE ＝， ∴AE =12，DG=x ?4， ∴AD =AG ?DG =20?x 在Rt △AED 中，

由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2， 即x 2=(20?x )2+122 解得：68

5

=x ， 即685

=

DE ． 【点睛】

本题是一道几何综合题，内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．

8．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）534）4 【分析】

解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ???=+，即可解决问题； （2）解法同（1）；

（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出

1

52

BM BC =

=，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=ABC ?的面积1

2532

BC AM =?=ABC ?的面积BCP =?的面积ACP +?的面积APB +?的面积1111

()2532222

BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =

?+?+?=++=，即可得出答案；

（4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为

Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF

即可． 【详解】

解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =， ∴ABP ?的面积11

1031522

AB PE =

?=??=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥， 且ABC ABP ACP S S S ???=+， ∴AB CG AB PE AC PF ?=?+?， ∵AB AC =，

∴358CG PE PF =+=+=. 故答案为：15，8.

（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥， 且ABC ABP ACP S S S ???=+， ∴AB CG AB PE AC PF ?=?+?， ∵AB AC =， ∴CG PE PF =+.

（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：

∵10AB AC BC ===， ∴ABC ?是等边三角形， ∵AM BC ⊥， ∴1

52

BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =

--=

∴ABC ?的面积11

105325322

BC AM =

?=??= ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，

∴ABC ?的面积BCP =?的面积ACP +?的面积APB +?的面积

111222BC PE AC PF AB PG =

?+?+?1

()2

AB PE PF PG =++

253=，

∴2253

5310

PE PF PG ?++=

=. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=?， ∵8AD =，3CF =，

∴5BF BC CF AD CF =-=-=，

由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠， ∵90C ∠=?， ∴2222534DC DF FC =

-=-=，

∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=?， ∴90EQC C ADC ∠=?=∠=∠， ∴四边形EQCD 是矩形， ∴4EQ DC ==， ∵//AD BC ， ∴DEF EFB ∠=∠， ∵BEF DEF ∠=∠， ∴BEF EFB ∠=∠， ∴BE BF =，

由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=， ∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4. 【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．

9．（1）OE OF =;（2）成立.理由见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE ，从而求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA ，再根据已知条件求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. 【详解】

解：（1）正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥BE ， ∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°， ∵∠AFO=∠BFM （对顶角相等）， ∴∠OAF=∠OBE （等角的余角相等），

又OA=OB （正方形的对角线互相垂直平分且相等）， ∴△BOE ≌△AOF （ASA ）， ∴OE=OF.

故答案为：OE=OF ； （2）成立.理由如下：

证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90BOE AOF ∠=∠=?，OB OA = 又∵AM BE ⊥，

∴90F MBF ∠+∠=?，90E OBE ∠+∠=?， 又∵MBF OBE ∠=∠ ∴F E ∠=∠∴BOE AOF ???， ∴OE OF = 【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，两个问题都是证明BOE AOF ???解决问题.

10．【变式探究】：详见解析；【结论运用】：4；【迁移拓展】：P 1的坐标为（12

-

，3）或（

1

2

，5） 【解析】

试题分析：【变式探究】按照【问题情境】的证明思路即可解决问题．

【结论运用】过E 作EQ BF ⊥，利用问题情境中的结论可得PG PH EQ +=，易证

EQ DC BF DF ==，，只需求即可．

【迁移拓展】分成两种情况进行讨论. 试题解析：【变式探究】：连接,AP