江苏专转本高等数学方向导数与梯度

综上①②可知：若某点偏导数存在，能保证该点
沿x、y 轴的四个射线方向的方向导数分别存在.其
它方向的方向导数是否存在不能保证.
(3) 但反之，若方向导数存在、而偏导数未必存在
【反例】
圆锥面z x2 y2 在顶点O(0,0)沿l i 方向的
方向导数z 1，而偏导数z 不存在
l (0,0)
x (0,0)
【问题】 二元函数 z f (在x,点y)P(x0 , y0)处沿其它射
线方向的变化率如何？
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二、方向导数的定义
讨论函数 z f 在( x一, y点) P 沿某一方向的变
化率问题．
设l是xoy面上以P0( x0 , y0 )为始
点的一射线，el (cos ,cos )
是与l同向的单位向量
且
x
y
x0 y0
t cos t cos
(t 0)
—— l 的参数方程 （如图）
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设z f ( x, y)在点P0( x0, y0 )的某邻域 U (P0 )内有定义，
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P( x0 t cos , y0 t cos )为l上另一点 , P U (P0 )
el
(
1 , 2
1) 2
z e2 y 1;
x (1,0)
(1,0)
z 2 xe2 y 2,
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第七节 方向导数与梯度
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念 四、小结 思考题
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一、问题的提出
【回顾】
一元函数
dy 0 dx
函数值在点x0处沿x轴方向增大
y f (x)
dy 0 dx
函数值在点x0处沿x轴方向减小
二元函数
z x
0
函数值在点P(x0
f lim f ( x t cos , y t cos , z t cos ) f ( x, y, z)
l t0
t
或 f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z)
l 0
( (x)2 (y)2 (z)2 )
同理当函数在该点可微时，函数在该点沿任
z f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0, y0 ) PP0 t
考虑 z f ( x0 t cos, y0 t cos ) f ( x0, y0),
PP0
t
当P沿l趋于P0(即t 0 )时的极限是否存在？
1.【定义】函 数 增 量f ( x0 t cos , y0 t cos )
意方向 el (cos ,cos的方,co向s导) 数都
存在且有：f f cos f cos f cos .
l x
y
z
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【教材例 1】求函数 z xe2 y 在点 P(1,0)处沿从点 P(1,0) 到点Q(2,1)的方向的方向导数.
【解】
百度文库
这里方向l 即为PQ {1,1},
( 1,0)的方向导数为
y0
)
(此时cos 1,cos 0)
f l
( x0 , y0 )
lim to
f ( x0 t, y0 ) t
f ( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 )
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②同理，在P0点沿 y轴正向、负向的方向导数 分别为 f y ( x0 , y0 )、 f y ( x0 , y0 )（自己推导）
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【说明】(1)对方向导数,以下两种定义方式等价
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f l
(
x0
,
y0
)
lim
t0
f ( x0
t cos , y0
t cos )
t
f ( x0 , y0 )
(2) 若
f l
(
x0
,
y0
)
lim
0
f
( x0
x,
y0
f ( x, y)在点P0的偏导数存在
)cos
，
【证明】 由假设 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0)
fx( x0, y0 )x f y( x0, y0 )y o( (x)2 (y)2 )
由于x t cos ,y t cos , (x)2 (y)2 t
则
lim f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 )
t0
t
f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos
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(2)【推广可得三元函数方向导数的定义】
对于三元函数u f ( x, y, z)，它在空间一点 P( x, y, z)沿
着方向el (cos ,cos ,cos )的方向导数 ，可定义为
,
y0)处沿x轴方向增大
z f (x, y)
z x
0
函数值在点P(x0
,
y0)处沿x轴方向减小
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z f (x, y)
二元函数 z f (x, y)
P( x0 , y0 )
z y
0
函数值在点P(x0
,
y0)处沿y轴方向增大
z y
0函数值在点P(x0
,
y0)处沿y轴方向减小
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2. 【方向导数的存在及计算】
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方向导数何时存在、以及与偏导数有何关系，有如下定理
(1)【P定0 点理沿】任若意z 方f向( xl,的y)方在向点导P0数( x都0 , 存 y0 )在可，微且，有则函数在
其中
f
l ( x0 , y0 )
cos，cos
f x ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 是方向l的方向余弦．
y)
(
f
( x0 , y0 )
(x)2
(y)2
)
①依定义，f
(
x,
y)沿x轴正向
el
i
(1,0)的方向导数为
(此时 cos 1,cos 0)
f l
f(
( x0
x,
lim f ( x0
, y0 ) to
y)沿x轴负向
el
t,
y0 ) t
i
f ( x0 , y0 ) f x ( x0 ,
f
( x0 ,
y0 )与P
到P0 间 的 距 离| PP0
|之 比 值,当P 沿 着
l
趋
于P0
时,
若
此
比
的
极
限
存
在, 则
称
这
极
限
为
函
数
在 P0 点 沿 方 向l 的 方 向 导 数. 记为
f
l
(
x0
,
y0
)
lim
t0
f ( x0
t cos , y0
t cos )
t
f ( x0 , y0 )