中考数学 存在性问题
中考数学中的存在性问题
2010年中考数学中的存在性问题一、存在性问题的内涵所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的．存在性问题可抽象为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。
”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在。
此类问题的叙述一般是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明）；如果不存在，请说明理由．”二、存在性问题的解决策略1、直接求解法存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。
2、假设求解法先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。
即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在．三、中考数学中的存在性问题的类型1、定性分类（1）肯定型存在性问题肯定型存在性问题是解决其余两类存在性问题的基础，具体地构造出（或求出，寻找出）满足条件的数学对象，是证明肯定型存在性问题的主要方法。
这种处理方法一般分为两大步，第一步是构造出满足要求的数学对象；第二步是通过验证，证明构造的对象满足问题的要求。
例1、(2010年陕西卷)问题探究(1)请你在图①中做一条．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。
问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。
2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)
一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。
2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。
三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。
求△AOB的面积。
【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。
代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。
当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。
因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。
所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。
中考数学专题训练 存在性问题及答案
第二节 存在性问题【例题经典】 条件探索性问题例1 如图，AB ⊥BC 于B ，DC ⊥BC 于C ． （1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC 上是否存在点P ，使AP ⊥PD ．•若存在，•求线段BP 的长；如果不存在，请说明理由．（2）设AB=a ，DC=b ，AD=c ，那么当a ，b ，c 之间满足什么关系时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ．【分析】（1）假设AP ⊥PD ，有△APB ∽△PDC ，进而求出BP ．（2）方法如（1），•但相比之下，添了分类思想．【点评】本例为条件探索型，此类题的解法类似于分析法，假设结论成立，•逐步探索其成立的条件．存在探索性问题例2 （浙江省）如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，）两点，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ． （1）求直线AB 的解析式； （2）若S 梯形OBCD =，求点C 的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P ，使得以P ，O ，B 为顶点的三角形与△OBA 相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【评析】本题是一道存在探索性问题的题型，（1）、（2）两问是常规题，•容易解决．（3）问较难，要分不同情况考虑，首先画出符合题意的图形，•然后结合图形进行计算或推理，若能推导出符合条件的结论或计算出某些未知数的值，则表示存在；•若推出矛盾结论或求不出未知数的值，则所求的点就不存在．3【考点精练】1．如图，在平面直角坐标系中，点A 是动点且纵坐标为4，点B 是线段OA 上的一个动点．过点B 作直线MN 平行于x 轴，设MN 分别交射线OA 与X•轴所形成的两个角的平分线于点E 、F ．（1）求证：EB=BF ； （2）当为何值时，四边形AEOF 是矩形？并证明你的结论； （3）是否存在点A 、B ，使四边形AEOF 为正方形．若存在，求点A 与点B 的坐标；• 若不存在，请说明理由．2．（辽宁省）如图，Rt △OAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O 与原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，CAO=30°，将Rt △OAC•折叠，•使OC 边落在AC 边上，点O 与点D 重合，折痕为CE ． （1）求折痕CE 所在直线的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）设点M 为直线CE 上的一点，过点M 作AC 的平行线，交y 轴于点N ，是否存在这样的点M ，使得以M 、N 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．OBOA3．如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，C为切点，AC=6cm，AB=10cm．（1）试猜想∠ACM与∠B的大小有什么关系？并说明理由．（2）在切线MN上是否存在一点D，使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请确定点D的位置；若不存在，请说明理由．B5．（龙岩市）如图，抛物线y=ax +bx 过点A （4，0），正方形OABC 的边BC•与抛物线的一个交点为D ，点D 的横坐标为3，点M 在y 轴负半轴上，直线L 过D 、M•两点且与抛物线的对称轴交于点H ，tan ∠OMD=． （1）写出a ，b 的值：a=_____，b=______，并写出点H 的坐标（______，______）．（2）如果点Q 是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q ，使得以点O ，M ，•Q ，H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（莆田市）已知：如图，抛物线经过A （-3，0），B （0，4）和C （4，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）已知AD=AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1•个单位长度的速度移动；同时．．另一动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？•若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（注：抛物线y=ax 2+bx+c 的对称 轴为x=-）132ba7．如图，已知抛物线L1：y=x-4的图像与x轴交于A、C两点．（1）若抛物线L1与L2关于x轴对称，求L2的解析式；（2）若点B是抛物线L1上的一个动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C•三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在L2上；（3）探索：当点B分别位于L1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，•并求出它的面积；若不存在，请说明理由．8．（无锡市）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P、Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由．答案:例题经典 例1．（1）如果存在点P ，使AP ⊥PD ，那么∠APD=90°，∴∠APB+•∠CPD=90°，∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠B=∠C=90°，∴∠APB+∠BAP=90°．∴∠BAP=∠CPD ，∴△APB ∽△PDC ，∴． 设BP=x ，则PC=4-x ，∴，解得x=2， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP•⊥PD ，此时，BP=2．（2）如果在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ，那么点P 在以AD 为直径的圆上，且圆的半径为c ， 取AD 的中点O ，过点O 作OE ⊥BC ，垂足为E ． ∵∠B=∠OEC=∠C=90°，∴AB ∥OE ∥DC ．∵AO=DO ，∴BE=CE ，∴OE=（AB+DC ）=（a+b ）， 当OE<c ，即a+b<c 时，以AD•为直径的圆与直线BC 相交，此时，存在⊙O 和直线BC 的交点P 1、P 2，使AP 1⊥P 1D ，AP 2⊥P 2D ， •当OE=c ，即a+b=c 时，以AD 为直径的圆与直线BC 相切． 此时，存在切点P ，使AP ⊥PD ． ∴当OE>c 时，即a+b>c 时，以AD 为直径的圆与直线BC 相离． 此时，在直线BC 上不存在点P ，•使AP ⊥PD ．综上，当a+b ≤c 时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ． 例2．（1）直线AB 解析式为：（2）设点C 坐标为（x ，，那么OD=x ，∴S 梯形OBCD ==-x 2AB BPPC CD =441xx =-121212121212()2OB CD OD +⨯6由题意：2x1=2，x2=4（舍去），∴（2．（3）当∠OBP=Rt∠时，如图：①若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠OBA=60°，，∴P1（3①③②若△BPO∽△OBA，则∠POB=∠BAO=30°，，∴P2（1．当∠OPB=Rt∠时③过点O作OP⊥BC于点P（如图），此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°，过点P作PM⊥OA于点M．在Rt△PBO中，BP=．∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，∴OM=OP=；，∴P3（）④若△POB∽△OBA（如图），则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°，∴P4（（由对称性也可得到点P4的坐标）．当∠OPB=Rt∠时，点P在x轴上，不符合要求，综合得，•符合条件的点有四个，分别是：P1（3，P2（1，P3（，），P4（，）．考点精练1．解：（1）如图①，∵OF是角平分线，∴∠1=∠2，∵MN平行于x轴，∴∠3=∠1，∴∠2=∠3，∴BO=BF．同理可证BO=BE，∴BE=BF．123212343434344344（2）当=时，四边形AEOF 是矩形，∵=， ∴OB=AB ．又∵BE=BF ，∴四边形AEOF 是平行四边形，∵OE 、OF 是角平分线，∴∠EOF=90°，∴四边形AEOF 是矩形． （3）如图②，∵MN 平行于x 轴，∴当A 点在y 轴时，即A 点坐标为（0，4）时，有OA ⊥EF ，• 此时，取OA 的中点，由（2）知四边形AEOF 是矩形， ∴四边形AEOF 是正方形， ∴存在点A （0，4），B （0，2），使四边形AEOF 为正方形． 2．（1）直线CE 的解析式为（2）D （（3）（若此点在第四象限）M 1（，-），（•若此点在第二象限）M 2（-，）3．（1）y=x 2-2x-3（2）在抛物线对称轴上存在一点P ，使点P 到B 、C•两点的距离之差最大．作直线AC 交抛物线对称轴于点P ，连结PB ，∵对称轴x=1是线段AB•的垂直平分线，∴PB=PA ， ∴PB-PC=PA-PC=AC ．（线段AC 为差值最大值）， 设直线AC 的解析式为y=•kx+b ．把A （-1，0），C （0，-3）代入上式，得，∴k=-3，b=-3，∴直线AC 的解析式为：y=-3x 1-3，•当x=1时，y=-3×1-3=-6， ∴点P 的坐标为（1，-6）．4．（1）∠ACM=∠B ，连结OC ，利用圆的切线性质和等腰三角形的性质可证得结论．OB OA 12OB OA 123232232203k b b -+=⎧⎨=-⎩（2）存在两个点D 1、D 2，使得以A 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．过点A 作AD 1⊥MN 于D 1，过点A 作AD 2⊥AC 交MN 于D 2． 由相似三角形对应边成比例可分别求得CD 1和CD 2的长． 5．（1）a=-，b=，H （2，1）（2）答：存在这样的点Q ，使得点O 、M 、Q 、H 为顶点的四边形为平行四边形．由题意可知，△MDC 是直角三角形，CD=3，OC=4，∵tan ∠OMD=， ∴=，•∴CM=9，∴OM=9-4=5． ①要使OMQH 是平行四边形，由题意知OM ∥HQ ，只须OM=OQ ， ∵点H•的坐标是1，∴点Q 1（2，-4）②要使OMHQ 是平行四边形，由题意知OM ∥HQ ，只须OM=HQ ，• ∵点H 的坐标是1，∴点Q 2（2，6）．6．解：设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0），根据题意得：c=4，且，∴所求的抛物线的解析式为y=-x 2+x+4．4316313CD CM 13193403,1644013a a b a b b ⎧=-⎪-+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩解得1313（2）连结DQ ．在Rt △AOB 中，，∴AD=AB=•5，•∵AC=AO+CO=3+4=7，∴CD=AC-AD=7-5=2． ∵BD 垂直平分PQ ，∴PD=QD ，PQ ⊥BD ，∴∠PDB=∠QDB ， ∵AD=AB ，∴∠ABD=∠ADB ，∵∠ABD=∠QDB ，∴DQ ∥AB ， ∴∠CQD=∠CBA ，∠CDQ=•∠CAB ，∴△CDQ ∽△CAB ，∴． ∴AP=AD-DP=AD-DQ=5-=，t=÷1=（秒）， ∴t 的值为秒．（3）答：对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小．理由：∵抛物线的对称轴为：x=-=，• ∴A （-3，0），C （4，0）两点关于直线x=对称．连结AQ 交直线x=于点M ，则MQ+MC 的值最小．•过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ，∴∠QED=∠BOA=90°， ∵DQ ∥AB ，∴∠BAO=∠QDE ，∴△DQE ∽△ABO ，∴， ∴QE=，DE=，OE=OD+DE=2+=，∴Q （，），设直线AQ 的解析式为y=kx+m （k ≠0），则， 210,577DQ CD DQ DQ AB CA ===即1072572572572572b a 121212107453QE DQ DE QE DE BO AB AO ====即:8767672072078782084177243041k k m k m m ⎧=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎪⎩得∴直线AQ 的解析式为y=， ∴M （，），则：在对称轴上存在点M （，），使MQ+MC 值最小． 7．解：设L 2的解析式为y=a （x-h ）2+k ，∵L 1与x 轴的交点A （-2，0），C （2，0），顶点坐标是（0，-4），L 1与L 2关于x 轴对称，∴L 2过A （-2，0），C （2，0），顶点坐标是（0，4）， ∴y=ax 2+4，∴0=4a+a 得a=-1，∴L 2的解析式为y=-x 2+4．（2）设B （x 1，y 1），∵点B 在L 1上，∴B （x 1，x 12-4），∵四边形ABCD 是平行四边形，A 、C 关于0对称，∴B 、D 关于0对称， ∴D （-x 1，-x 12+4），将D （-x 1，-x 12+4）的坐标代入L 2：y=-x 2+4，∴左边=右边， ∴点D 在L 2上．（3）设平行四边形ABCD 的面积为S ，则S=2×S △ABC =AC ×│y 1│=4│y 1│，a ．当点B 在x 轴上方时，y 1>0，∴S=4y 1，•它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而增大，∴S 既无最大值也无最小值．b ．当点B 在x•轴下方时，-4≤y 1<0，∴S=-4y 1，它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而减小，∴当y 1=-4时，•S 有最大值16，但它没有最小值．此时B （0，-4）在y 轴上，它的对称点D 也在y 轴上，∴AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，此时S 最大=16．8．解：（1）过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，如图1，∵ABCD 是等腰梯形，•∴四边形CDEF 是矩形，∴DE=CD ．又∵AD=BC ，∴Rt △ADE ≌Rt △BCF ，AE=BF ．又CD=2cm ，AB=8cm ，∴EF=CD=cm ，AE=AF=（8-2）=3cm ． 若四边形APQD 是直角梯形，则四边形DEPQ 为知形，∵CQ=t ，∴DQ=EP=2-t ，∵AP=AE+EP ，∴2t=3+2-t ，∴t=秒． 1182422,824284141414141x x x y x y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪+⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩联立得1228411228411253（2）在Rt △ADE 中，cm ），S 梯形ABCD=（8+2）×cm 2）． 当S 四边形PBCQ=S 梯形ABCD 时，①如图2，若点Q•在CD 上，即0≤t ≤2，则CQ=t ，BP=8-2t ．S 四边形PBCQ =（t+8-2t ）×．解之得t=3（舍去）． ②如图3，若点Q 在AD 上，即2<t ≤4，过点Q 作HG ⊥AB 于G ，交CD 的延长线于H ．由图1知：sin ∠ADE=，∴∠ADE=30°，则∠A=60°． 在Rt △ADG 中，AQ=8-t ，QG=AQ ·sin60°=， 在Rt△QDH 中，∠QDH=60°，DQ=t-2，QH=DQ·sin60°=． 由题意知，S 四边形PBCQ =S △APQ +S △CDQ =×2t ×+×2×， 即t 2-9t+17=0，•解之得t 1（不合题意，舍去），t 2． 答：存在t=，使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD•面积的一半．12121212AE AD =)2t -121292。
202X年中考数学复习存在性问题系列菱形的存在性问题专题探究
千里之行，始于足下。
202X年中考数学复习存在性问题系列菱形的存在性问题专题探究202X年中考数学复习存在性问题系列——菱形的存在性问题专题探究一、引言菱形是中学数学中常见的一种图形，是四边形的一种特殊状况。
在几何学中，我们通常将具有相等对角线长度的四边形称为菱形。
然而，在菱形的定义和性质方面，中同学往往存在一些常见的错误和迷思。
本文将通过对菱形的存在性问题进行专题探究，分析常见的错误观念，并提出正确的解决方法，以挂念同学正确生疏菱形的存在性问题。
二、错误观念分析1. 菱形必需是正方形这是一个常见的错误观念。
很多同学认为只有四边形的四个内角都是直角时，才能称之为菱形。
然而，这种理解是不正确的。
事实上，菱形只需要满足对角线相等即可，对角线之间的夹角并没有限制。
2. 任意平行四边形都可以称为菱形这也是一个常见的错误观念。
很多同学认为只要四边形的对边平行且对角线相等，就可以称其为菱形。
然而，这种理解也是不正确的。
事实上，菱形是一种特殊的四边形，除了要满足对角线相等外，还必需满足两对相邻边相等。
三、正确解决方法第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
1. 基本定义菱形的定义是：两对对角线相等的四边形称为菱形。
这是菱形存在的基本条件，也是区分菱形和其他四边形的关键特征。
2. 避开混淆同学在解决菱形存在性问题时，需要避开将菱形和其他外形混淆。
例如，正方形和菱形是两个不同的概念，虽然正方形也是一种菱形，但并不是全部的菱形都必需是正方形。
3. 留意推断在推断一个四边形是否为菱形时，可以通过测量四条边的长度和对角线的长度来进行推断。
假如对角线的长度相等，并且两对相邻边的长度也相等，那么这个四边形就是一个菱形。
否则，它就不是菱形。
四、进一步探究1. 菱形的性质菱形具有一些特殊的性质，同学可以通过进一步的探究来加深对菱形的生疏。
例如，菱形的内角和为360度，对角线的交点可以将菱形划分为四个全等的三角形等等。
2. 利用菱形解决问题千里之行，始于足下。
2024年九年级数学中考专题：二次函数等腰三角形存在性问题+两圆一线课件+
做题技巧
1、做题工具： 圆规，直尺
2、做题方法： 两圆一线
3、做题思想： 数形结合，分 类讨论
谢谢
C
二、两圆一线画法
尺规作图
二、两圆一线画法（尺规作图）
1、探究实验：以线段AB为边做一个等腰三角形？ 2、作图：如图，在平面直角坐标系找一点P，使得ΔABP为
等腰三角形，则满足要求的点P 有几个？
三、例题解析
二次函数等腰三角形存在性问题 -----两圆一线
三、例题解析
如图,抛物线与x轴交于A. B两点,与y轴交C点,点A的坐标 为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=−0.5 (1)求抛物线的解析式； (2)M是坐标轴上任意一点，当△MBC为等腰三角形时， 求M点的坐标。
中考专题： 二次函数等腰三角形存在性问题
-----两圆一线Leabharlann 目录CONTENTS
一、等腰三角形 二、两圆一线画法 三、例题解析 四、方法归纳
一、等腰三角形
一、等腰三角形
等腰三角形 定义：
有两条边相等的三角形为等腰三角 形，相等的两条边叫做腰
如图：ΔABC,AB=AC, 则ΔABC为等腰三角形
A
B
轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件 的所有点P的坐标
2.如图所示，二次函数y=k（x-1）2+2的图像与一次函数y=kx-k+2 的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交 于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
四、方法归纳
四、方法归纳
2、分类讨论
4、写结果
1、先作图
2024年九年级中考数学专题+课件-+：二次函数平行四边形存在性问题
五
三
一
学 四例 二平
目
以 致 用
方 法 归
题 解 析
纳
中 点 坐 标 公 式
行 四 边 形 性 质
录
+
判
定
一、平行四边形性质+判定
一、平行四边形性质
1、边：对边平行且相等 2、角：对角相等，邻角互补 3、对角线：对角线互相平分
二、平行四边形判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
边形是平行四边形？若存在，请求出所有
满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明
理由．
谢
谢
与x轴相交于A、B两点，顶点为P.
(1)求点A、B的坐标；
(2)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边
形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标。
2.已知抛物线L：y=-x2+bx+c经过点O(0,0)、A(4,0)，L关于 x轴对称的抛物线为L′，点B的坐标为（0,8）. （1）求抛物线L和L′的函数表达式。 （2）点M在抛物线L的对称轴上，点P在抛物线L′上，是否 存在这样的点M与点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由。
3.如图,抛物线
与x轴交于点A、
B 两点，抛物线的对称轴为直线x=1,
(1)求m的值及抛物线的解析式；
(2)过A的直线与抛物线的另一交点C的横 坐标为2. 直线AC的解析式；
3.如图,抛物线
存在性问题
问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在： 另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步 试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。
2、假设求解法 先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出
存在性问题
存在性问题是试题中突出考查学生能力 的典型代表，由于这类问题大多以函数图象 为载体，来研究事物的存在性，理解起来比 较抽象，涉及面较广，技巧性和综合性也较 强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移 能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求 又高，所以一直是各地中考数学试题的压轴 型题目常见题型。
（3）讨论型存在性问题 将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这 是解决讨论型存在性问题的主要方法。另外，先猜出对象可能存在或不存在，从 而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的 又一重要方法。
2、定量分类
（1）数值存在性问题 （2）定值存在性问题 （3）极值存在性问题 （4）点存在性问题 （5）直线存在性问题 （6）三角形存在性问题 （7）平行四边形存在性问题 （8）圆存在性问题 （9）时间存在性问题 （10）位置存在性问题 （11）变化存在性问题 （12）关联存在性问题
一、存在性问题的内涵
所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究 是否存在符合要求的结论．存在性问题可抽象为“已知 事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。”解题时要 说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说 明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论， 并导致矛盾，从而否定Q的存在。此类问题的叙述一般 是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证 明）；如果不存在，请说明理由．”
全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 14相似三角形存在性问题(不含答案版)
专题14 相似三角形存在性问题相似判定：判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．1.（2024春•渠县校级月考）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线（1）求该二次函数表达式；（2）在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．于A，B两点，且经过点C，点A，C的坐标分别为A（﹣1，0），C（2，﹣6）．（1）求该二次函数的解析式；（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG 与△ABC相似，求点G的坐标．4．（2023秋•开福区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3交x轴负、正半轴于A，B两点，交y轴于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，△ABC的外接圆的圆心为M．（1）求该二次函数的解析式；（2）在AC段的抛物线上是否存在一点P，使，若存在请求出点P 坐标，若不存在，说明理由；（3）圆上是否存在Q点，使△AOC与△BQC相似？若存在，直接写出点Q 坐标；若不存在，说明理由．5．（2024•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B （1，3），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P 作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．6．（2024•南皮县三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b1与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C（0，2），二次函数y＝﹣x2+b2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝﹣x2+b2x+c的图象于点E．（1）求一次函数及二次函数的表达式；（2）求△ABC的面积；（3）当以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度．7．（2024•阎良区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接P A，是否存在一点P，使得△PDA与△COA相似，若存在，请求出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2024•涟水县模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴、线段BC、抛物线于D、E、F三点，连接CF，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；（3）点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点B'，点C的对应点为点C′，C′B与CB′交于点N．在抛物线平移过程中，当MB′+MC′的值最小时，试求△B′NC′的面积．9．（2024•工业园区校级二模）已知，关于x的二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，图象顶点为D，连接AC、BC、CD．（1）请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）：A；B；C；D；（2）作出点C关于对称轴的对称点E，连接AE、CE、DE，若△ACE和△DCE相似，求a的值；（3）若∠ACB≥90°，直接写出a的取值范围．10．（2024•岱岳区二模）如图①，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC＝3OE．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，若以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出Q点的坐标；（3）若N点在直线BC的上方，连结CN，①若△MCN与△BQM相似，请求出点Q的坐标；②将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴正半轴上？若存在，请直接写出Q的坐标．11．（2024•思明区校级二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2），对称轴为直线，连接BC，在线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，（1）求抛物线的函数解析式：（2）请你从以下三个选项中，任选一个为条件，另一个作结论，组成一个真命题，并证明．①P的横坐标为；②△PCN与△BPM相似；③（3）若动点P横坐标记为t，△CBN的面积记为S1，△CBM的面积记为S2，且S＝S1﹣S2，写出S与t的函数关系，并判断S是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由．12．（2024春•赣榆区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，已知OB＝3OA，OC＝OB．（1）求该二次函数的表达式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得|BM﹣CM|有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由．（3）连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接P A，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由．13．（2024•邹城市二模）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接BC，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q．（1）求抛物线的解析式；（2）求PQ的最大值；（3）连接CP，抛物线上是否存在点P，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？如果存在，请求出点P坐标；如果不存在，请说明理由．14．（2024•科尔沁区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．（1）求此二次函数的解析式；（2）如图1，连结P A，PC，求△P AC的面积的最大值；（3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与AC交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．15．（2024春•游仙区月考）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞0）的图象与x 轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），二次函数的最大值为，P为直线BC上方抛物线上的一动点．（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）如图1，过点P作PD⊥BC，垂足为D，连接CP．是否存在点P，使以点C，D，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点Q也是直线BC上方抛物线上的一动点（点Q在点P的左侧），分别过点P，Q作y轴的平行线，分别交直线BC于点M，N，连接PQ．若四边形PQNM是平行四边形，且周长l最大时，求l的最大值及相应的点P的横坐标．16．（2024•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+4的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC＝4OA，点P是线段BC上一点（不与点B、C重合），过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，连接OQ，四边形OCPQ是平行四边形．（1）填空：b＝；（2）求四边形OCPQ的面积；（3）若点D是OC的中点，连接AD、AC．点E（5，4）是抛物线上一点，F 是直线QE上一点，连接BE、BF．若△BEF与△ADC相似，求点F的坐标．。
2024年中考数学二次函数压轴题专题10平行四边形的存在性问题(学生版)
专题10平行四边形的存在性问题_、知识导航考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：(1) 对应边平行且相等；(2) 对角线互相平分.这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:(1)对边平行且相等可转化为:x A -x B =x D - x cy A -y B = yD-y c可以理解为点B 移动到点A,点。
移动到点O,移动路径完全相同.(2)对角线互相平分转化为：\ z 乙，、2 一 2可以理解为AC 的中点也是BQ 的中点.D【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一:X A~X B =X D~ X C -y B = yD-y c + x c = + X by A + % = % + 为x A +x c ^x B +x D2 _ 2 \X A +X C=X B +X D总 + % 二 % + 北 U a + %=% + %、2 — 2当AC 和BQ 为对角线时，结果可简记为：A+C = B + D (各个点对应的横纵坐标相加)以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系 中的4个点A 、B 、。
、D 满足"A+O8+ZT,则四边形ABCQ 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCQ 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化, 故存在反例.虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：(1) 四边形A8CQ 是平行四边形：AC. BQ 一定是对角线.(2) 以A 、B 、。
、。
四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.1.三定一动已知A (1, 2) B (5, 3) C (3, 5),在坐标系内确定点。
使得以A 、B 、。
、。
四个点为顶点的四边形是 平行四边形.思路1:利用对角线互相平分，分类讨论：设。
中考数学各类计算题型：二次函数存在性问题(平行四边形)
中考数学| 各类计算题型二次函数存在性问题：平行四边形【一】已知抛物线y=−mx2+4x+2m与x轴交于点A,B 与y轴交点C(0,2).(1)抛物线的解析式。
(2)抛物线的对称轴为l，顶点为D，点C关于直线l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小?若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D. E. P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标。
【二】如图，抛物线y= -x2+2x+n经过点M（-1，0）顶点为C.（1）求点C的坐标；（2）设直线y=2x与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧）.①在抛物线的对称轴上是否存在点G，使∠AGC=∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；②点P在直线y=2x上，点Q在抛物线上，当以O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标.【三】已知抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）经过点A （-3，-7），B（3.5），顶点为E，抛物线的对称轴与直线AB交于C。
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式（2）在抛物线上两点AE之间的部分（不包含A，E 两点），是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCE？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标。
【四】如图,直线y=x−4与x轴、y轴分别交于A. B两点,抛物线y=1/3x2+bx+c经过A. B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45∘时，求点M的坐标；(3)点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C. D. P、Q为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由。
中考备考专题复习—存在性问题(数学解析版)
(1) 设△ QPD的面积为 S，用含 x 的函数关系式表示 S；当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最小值；
(2) 是否存在 x 的值，使得 QP⊥DP？试说明理由． 10、（2016?泸州）如图，在平面直角坐标系中，点
O为坐标原点，直线 l 与抛物线 y=mx2+nx 相交于 A（ 1，
3 ）， B（ 4， 0）两点．
(2) 若 α 为锐角， tan α = ，当 AE取得最小值时，求正方形 OEFG的面积． (3) 当正方形 OEFG的顶点 F 落在 y 轴上时，直线 AE 与直线 FG相交于点 P，△ OEP的其中两边之比能否为
： 1？若能，求点 P 的坐标；若不能，试说明理由
2、（2016?临沂）如图，在平面直角坐标系中，直线
(1) 求抛物线的解析式； (2) 过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、 AC分别交于点 E、F，当四边形 AECP的面积最大时，求点 P 的坐标； (3) 当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC上是否存在点 Q，使得以 C、 P、Q为顶点的三角形与△ ABC 相似， 若存在，求出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由．
(1) 求抛物线的解析式和点 A 的坐标； (2) 如图 1，点 P 是直线 y=x 上的动点，当直线 y=x 平分∠ APB 时，求点 P 的坐标； (3) 如图 2，已知直线 y= x﹣ 分别与 x 轴、 y 轴交于 C、F 两点，点 Q是直线 CF下方的抛物线上的一 个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF于点 D，点 E 在线段 CD的延长线上，连接 QE．问：以 QD为 腰的等腰△ QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 6、（2016?南宁）如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（ 1， 1），且与直线 y=x ﹣ 2 交于 B，C 两点．
中考数学二次函数存在性问题及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参照答案一、二次函数中相像三角形的存在性问题1. 如图，把抛物线y x2向左平移1个单位，再向下平移 4 个单位，获得抛物线y ( x h) 2k .所得抛物线与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，极点为D.（1）写出h、k的值；（2）判断△ ACD的形状，并说明原因；（3）在线段 AC上能否存在点 M，使△ AOM∽△ ABC若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明原因 .2.如图，已知抛物线经过 A（﹣ 2，0），B（﹣ 3，3）及原点 O，极点为C．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、 O、 D、 E 为极点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（ 3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，能否存在点 P，使得以 P、M、A 为极点的三角形△ BOC相像若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因．二、二次函数中面积的存在性问题3. 如图，抛物线y ax2bx a > 0 与双曲线 ykx订交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－ 2，－ 2），点A 在第一象限内，且tan ∠ AOX＝ 4．过点 A 作直线 AC∥ x 轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的分析式；（2）计算△ ABC的面积；（3）在抛物线上能否存在点 D，使△ ABD的面积等于△ ABC的面积．若存在，请你写出点 D的坐标；若不存在，请你说明原因．yA DO xB C4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞ 0）经过梯形 ABCD的四个极点，梯形的底 AD在 x 轴上，此中 A（－ 2,0 ）， B（－ 1, －3）．（ 1）求抛物线的分析式；（3 分）（）点 M为 y 轴上随意一点，当点 M到 A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）2（ 3）在第（ 2）问的结论下，抛物线上的点P 使＝4建立，求点P的坐标．（ 4 分）S△PAD S△ABM(4)在抛物线的 BD段上能否存在点 Q使三角形 BDQ的面积最大，如有，求出点 Q的坐标，若没有，请说明原因。
中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。
所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。
1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。
1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。
已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。
过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。
1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。
若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。
1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。
三角形存在性问题【考点精讲】- 中考数学考点总复习高分导航(全国通用)(原卷版)
1．判定△ABD的形状，并说明理由。
运用勾股定理或两点间的距离公式，求出该三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状。
2．在对称轴x=1上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.设出动点P的坐标为(1,t)后，分三种情况，若P为顶点，则PB=PC；若B为顶点，则BP=BC；若C为顶点，则CP=CB。
分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度，列方程求解即可。
3．若平行于x轴的动直线l与直线BD交于点F,与抛物线交于点P,若△ODF为等腰三角形,求出点P的坐标.用勾股定理求平面直角坐标系内的两点间的距离，再分类讨论等腰三角形各边的情况，进而求出点P的坐标。
4．△ABD与△BOD是否相似？说明理由.专题20 三角形存在性问题知识导航方法技巧用两点间的距离公式分别表示两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法，注意相似中没有指明对应边，所以要分类讨论。
题型一：等腰三角形存在性问题【例1】（四川南充市）如图，已知抛物线2()40y ax bx a=++≠与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为52x=．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且2DQE ODQ∠=∠．在y轴上是否存在点F，使得BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．题型精讲题型二：直角三角形存在性问题【例2】（四川广安市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型三：等边三角形存在性问题【例3】（遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP△y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作△M，当△M与坐标轴相切时，求出△M的半径．题型四：三角形相似存在性问题【例4】（陕西）已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B （其中A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．提分训练1．（通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P 作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2．（四川泸州市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：△ACB =90° （2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． △求DE +BF 的最大值；△点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．3．（铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得△CMN＝90°，且△CMN与△OBC 相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．4．（黑龙江中考真题）如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED 上，若以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与BOC 相似，请直接写出点P 的坐标．5．（湖北）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标6．（湖南）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．。
2024年中考数学二次函数压轴题专题12菱形的存在性问题(学生版)
专题12菱形的存在性问题_、知识导航作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四边都相等的四边形是菱形.坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直"或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCQ是菱形，则其4个点坐标需满足：工人++X D<Zi+%=%+为W a-乌尸+(为-％尸=j(Xc-乌尸+(%-无尸考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.即才艮据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：(1)2个定点+1个半动点+1个全动点(2)1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1:先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+O8+Q”(AC、BQ为对角线)，再结合一组邻边相等，得到方程组.思路2:先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点.1.看个例子：如图，在坐标系中，A点坐标（1,1）,B点坐标为（5,4）,点。
在尤轴上，点。
在平面中，求。
点坐标，使得以A、B、C＞。
为顶点的四边形是菱形.2BA思路1：先平四，再菱形设。
点坐标为（秫，0）,。
点坐标为（p,q）.（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CQ互相平分及AC=BC）l+5=m+p<1+4=0+q,解得: (m-1)2+(0-1)2=(m-5)2+(0-4)239 m=一89 p=-8 g=5（2）当AC对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）1+秫=5+p m=2fm=8l+0=4+g,解得：<Q=-2或<p=4(1-5)2+(1—4)2=(秫—5)2+(0—4)2q=—3q=—3（3）当AD为对角线时，由题意得：1+p=5+m m=1+2^/^m=1-2^6 l+q=4+0,解得：L=5+2#<L=5-2^ (1-5)2+(1—4)2=(1—弑+(1—0)2q=3q—3思路2:先等腰，再菱形先求点G点C满足由A、B、。
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存在性问题
1.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；
（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N
在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．
4.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC 的面积等于27，试求m的值.
的图象交于点A，且与x轴交于点B．
如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=x
3
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，
请说明理由．
5.
答案：1. （1）由题意，可设抛物线的解析式为2
(2)1y a x =-+，∵抛物线过原点，
∴2
(02)
10a -+=， 14
a =-
． ∴抛物线的解析式为
21(2)14y x =--+21
4
x x =-+．
（2）AOB △和所求MOB △同底不等高，3MOB
AOB S S =△△且，
∴MOB △的高是AOB △高的3倍，即M 点的纵坐标是3-． ∴2
134
x x -=-
+，即24120x x --=．解之，得 16x =，22x =-． ∴满足条件的点有两个：1(63)M -，
，2(23)M --，． （3）不存在．由抛物线的对称性，知
AO AB =，AOB ABO ∠=∠．
如图，若OBN △与OAB △相似，必有BON BOA BNO ∠=∠=∠．
设ON 交抛物线的对称轴于A '点，显然(21)A '-，
． ∴直线ON 的解析式为1
2
y x =-．
由211
24
x x x -
=-+，得10x =，26x =∴ (63)N -，
．过N 作
NE x ⊥轴，垂足为E ．在
Rt BEN
△中，
2BE =，3NE
=，
∴NB ==．又OB =4，∴
NB OB ≠，
BON BNO ∠≠∠，OBN △与OAB △不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件
的N 点．所以在该抛物线上不存在点N ，使OBN △与OAB △相似．
2. 解答：解：（1）∵OB=OC=3，∴B （3，0），C （0，3）
∴⎩⎨
⎧=++-=c c
b 3390，解得
⎩⎨
⎧==3
2
c b ∴二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3； （2）∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴M （1，4）
设直线MB 的解析式为y=kx+n ，则有⎩⎨⎧+=+=n k n
k 304解得
⎩
⎨⎧=-=62
c k ∴直线MB 的解析式为y=-2x+6∵PD ⊥x 轴，OD=m ，∴点P 的坐标为（m ，-2m+6） S 三角形PCD =
2
1
×（-2m+6）•m=-m 2+3m （1≤m≤3）； （3）∵若∠PDC 是直角，则点C 在x 轴上，由函数图象可知点C 在y 轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，在△PCD 中，当∠DPC=90°时，当CP ∥AB 时，∵PD ⊥AB ，∴CP ⊥PD ，∴PD=OC=3，
∴P 点纵坐标为：3，代入y=-2x+6，∴x=
23，此时P （23，3）．∴线段BM 上存在点P （2
3
，3）使 △PCD 为直角三角形．当∠P′CD′=90°时，△COD′∽△D′CP′，此时CD′2=CO•P′D′， 即9+m 2=3（-2m+6），∴m 2+6m-9=0，
（1） 3. 解：分别把A （1，0）、B （3，0）两点坐标代入y=x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，
解之得：b=-4，c=3，∴抛物线的对称轴为：直线x=2；
4. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2
－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2∣＝
=∴m 2
－4m ＋3=0 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 .
（2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点∴2
22,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩
①②
①＋②得：－2a 2
－2m ＋4＝0 . ∴a 2
＝－m ＋2 .
∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.
∴a = .这时M 、N 到y
又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2×1
2
×（2－m ∴解得m=－7 .。