含绝对值的导数题
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1.已知函数()()ln 0f x x x =>．
（1）求函数()()1g x f x x =-+的极值；
（2）求函数()()()
h x f x x a a =+-为实常数的单调区间； 解：（1）g （x ）＝lnx －x ＋1，g ′（x ）＝1
x －1＝1－x x ，
当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0；当x ＞1时，g ′（x ）＜0，
可得g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 故g （x ）有极大值为g （1）＝0，无极小值． （2）h （x ）＝lnx ＋|x －a|．
当a ≤0时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h ′（x ）＝1＋1
x ＞0恒成立，此时h （x ）在（0，＋∞）上单调递增；
当a ＞0时，h （x ）＝⎩⎨⎧lnx ＋x －a ，x ≥a ，lnx －x ＋a ，0＜x ＜a ．
①当x ≥a 时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h ′（x ）＝1＋1
x ＞0恒成立，此时h （x ）在（a ，＋∞）上单调递增；
②当0＜x ＜a 时，h （x ）＝lnx －x ＋a ，h ′（x ）＝1x －1＝1－x x ．
当0＜a ≤1时，h ′（x ）＞0恒成立，此时h （x ）在（0，a ）上单调递增； 当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′（x ）＞0，当1≤x ＜a 时h ′（x ）≤0， 所以h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，a ）上单调递减． 综上，当a ≤1时，h （x ）的增区间为（0，＋∞），无减区间； 当a ＞1时，h （x ）增区间为（0，1），（a ，＋∞）；减区间为（1，a ）．
设0>a ，函数|1ln |)(2
-+=x a x x f .
(1) 当1=a 时,求曲线)(x
f y =在1=x 处的切线方程; (2) 当),1[+∞∈
x 时,求函数)(x f 的最小值. 1.解（1）当1=a 时，
|1ln |)(2
-+=x x x f
令1=x 得 ,1)1(,2)1(='=f f 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为：01=+-y x 。
（2）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2
，
x a
x x f +
='2)( )(e x ≥
0>a ，0)(>∴x f 恒成立。 )(x f ∴在),[+∞
e 上增函数。 故当e x =时，2
min )(e e f y
== ② 当e x <≤1时，1ln )(2
+-=x a x x f ，
)
2)(2(22)(a
x a x x x a x x f -+=-='（e x <≤1）
（i ）当,
12≤a 即20≤ e f f < (ii)当 e a << 21，即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数。所以)(x f 在区间 )2, 1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数 故当 2a x = 时，2ln 223min a a a y -=，且此时)()2(e f a f < (iii)当e a ≥2；即 22 e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数，故当e x =时，2 min )(e e f y ==。 综上所述，当22e a ≥时，)(x f 在e x ≥时和e x ≤≤1时的最小值都是2 e 。 所以此时)(x f 的最小值为2)(e e f =；当222e a <<时，)(x f 在e x ≥时的最小值为 2ln 223)2( a a a a f -=，而)()2(e f a f <， 所以此时)(x f 的最小值为 2ln 223)2( a a a a f -=。