静电场习题课1
静电场习题课
2.无限长均匀带电平面 已知 无限长均匀带电平面 已知: 求: 解: 沿
σ
Y
dq
b a
d
P
Q 两点的场强
与平面共面) 与平面共面 P 点(与平面共面
Y 方向放置的无限长直线
dy
a
d
X dE
dq dq = σdxdy 线密度: = σdx 线密度:
P
dq 在P点产生的
σdx σdx dE = = 2πε 0r 2πε 0 ( a + b x )
3.无限大平面挖一园孔 无限大平面挖一园孔 已知: 已知
σ
R
O
求:轴线上一点的场强 轴线上一点的场强 σ P点 E1 = + σ + 原电荷 2ε0 圆孔
E
P X
R
σ
P点
x σ E2 = ( 1 ) 2ε0 x2 + R2
σ x E = E1 E2 = 2ε x2 + R2
无限" 三."无限"带电体零电势点的选取 无限 1.求无限长均匀带电直线的电势分布 1.求无限长均匀带电直线的电势分布 场强分布 由定义
R
0
E1 = 0
Eo
r
0′
证明空腔内为均匀电场 0处
+ ρ + 原电荷 ρ 0 处
d
E2ds = E2 4πd 2 = ∫
s
∫ dq
s
ε0
4 3 ρ πr = 3
ε0
3
4 3 ρ πr ρr 3 E2 = 3 2 = 2 4πε 0d 3ε0d
ρr ∴Eo = E2 = 2 3ε0d
O′ 点场强的计算
A: EA > EB > EC ,A > B > C B : EA > EB > EC ,A < B < C C : EA < EB < EC ,A > B > C D : EA < EB < EC ,A < B < C
静电场习题课
2
(2)两离子初速度分别为 v、v/，则
L 2v L qE n m
L 2v l′ ＋ qE ＝ v m
L 2m Δt＝t－t′ ＝ (v v ) vv qE
L 2m 0 要使 Δt＝0，则须 vv qE 2mvv 所以：E＝ qL
7.如图所示，同一竖直平面内固定着两水平绝缘细杆 AB、CD，长 均为 L，两杆间竖直距离为 h，BD 两端以光滑绝缘的半圆形细杆 相连，半圆形细杆与 AB、CD 在同一竖直面内，且 AB、CD 恰为半 圆形圆弧在 B、D 两处的切线，O 为 AD、BC 连线的交点，在 O 点 固定一电量为 Q 的正点电荷．质量为 m 的小球 P 带正电荷，电量 为 q，穿在细杆上，从 A 以一定初速度出发，沿杆滑动，最后可 到达 C 点．已知小球与两水平杆之间动摩擦因数为μ ，小球所受 库仑力始终小于小球重力．求： (1) P 在水平细杆上滑动时受摩擦力的极大值和极小值； (2) P 从 A 点出发时初速度的最小值．
1 2 －mgh－2mg·2L=0－ 2 mv0 ，
得 v0= 2 gh(h 2L) ．
8.一个质量为m，带有电荷-q的小物体，可在倾角 为θ 的绝缘斜面上运动，斜面底端有一与斜面垂 直的固定绝缘挡板，斜面顶端距底端的高度为h， 整个斜面置于匀强电场中，场强大小为E，方向水 平向右，如图所示．小物体与斜面的动摩擦因数 为μ ，且小物体与档板碰撞时不损失机械能。求： (1) 为使小物体能从静止开始沿斜面下滑，μ 、q、 E、θ 各量间必须满足的关系。 (2) 小物体自斜面顶端从静止开始沿斜面下滑到 停止运动所通过的总路程。
6.飞行时间质谱仪可通过测量离子飞行时间得到离子的荷质比 q/m，如 图 1。 带正电的离子经电压为 U 的电场加速后进入长度为 L 的真空管 AB， 可测得离子飞越 AB 所用时间 t1。改进以上方法，如图 2，让离子飞越 AB 后进入场强为 E（方向如图）的匀强电场区域 BC，在电场的作用下 离子返回 B 端，此时，测得离子从 A 出发后飞行的总时间 t2， （不计离 子重力） ⑴忽略离子源中离子的初速度， ①用 t1 计算荷质比； ②用 t2 计算荷质比。
静电场习题课讲稿PPT课件
L
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例 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知： q 、R 、 x。
dq
y
R
d Ey p
d Ex
x
d Ey
x
dE
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课堂练习：
1.求均匀带电半圆环圆心处的 E，已知 R、
电荷元dq产生的场
dE
dq
4 0 R2
Y
根据对称性 dEy 0
dq
dEx
r dS E
第41页/共114页
dS
E
r
第42页/共114页
r>R
电通量
e E dS E4r 2
电量
qi q
r
高斯定理
E4r 2 q 0
场强
q
E 4 0r 2
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E
R
高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
E
R
qr E 40R3
q
ε 40r 2
O
r
O
R
第44页/共114页
E
E
均匀带电球面
E
E
E
dS
R
r
E
第36页/共114页
E
高斯面
E
E
E
E
E
dS
rE
E
高斯面
E
R
E
E
第37页/共114页
rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
程稼夫电磁学第二版第一章习题解析
程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律：由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有：算得1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ：这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T：解得1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消：解得：（2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消：解得：1-4设向上位移为x，则有：结合牛顿第二定律以及略去高次项有：1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间：先由库仑定律写出静电力标量式：有几何关系：联立解得由库仑定律矢量式得：解得1-6（1）对一个正电荷，受力平衡：解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡（2）对一个负电荷，合外力提供向心力：解得1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势能：对势能求导得到受力：小量近似，略去高阶量：当q＞0时，；当q＜0时，（2）由上知1-8设q位移x，势能：对势能求导得到受力：小量展开有：，知1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得设它在平衡位置移动一个小位移x，有：小量展开化简有：受力指向平衡位置，微小谐振周期（2）1-101-11先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ.有：显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等.利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0.1-12（1）如图，取θ和，设线电荷密度λ，有：积分得（2）（3）用圆心在场点处，半径，电荷线密度与直线段相等的，张角为θ0 （）的一段圆弧替代直线段，计算这段带电圆弧产生的场强大小，可以用其所张角对应的弦长与圆弧上单位长度所产生的电场强度大小的积求得：1-13我们先分析一个电荷密度为ρ，厚度为x的无穷大带电面（图中只画出有限大），取如图所示高斯面，其中高斯面的两个相对面平行于电荷平面，面积为S，由高斯定理：算得，发现这个无穷大平面在外部产生的电场是匀强电场，且左右两边电场强度相同，大小相反.回到原题，由叠加原理以及，算得在不存在电荷的区域电场强度为0（正负电荷层相互抵消.）在存在电荷的区域，若在p区，此时x处的电场由三个电荷层叠加而成，分别是左边的n区，0到x范围内的p区，以及右边的p区，有：，算得同理算出n区时场强，综上可得1-14（1）取半径为r的球形高斯面，有：，解得（2）设球心为O1，空腔中心为O2，空腔中充斥着电荷密度为−ρ的电荷，在空腔中任意一点A处产生的电场为：（借助第一问结论）同时在A处还有一个电荷密度为+ρ则有：1-15取金属球上一面元d S，此面元在金属球内侧产生指向内的电场强度，由于导体内部电场处处为0，所以金属球上除该面元外的其他电荷在该面元处产生的电场强度为所以该面元受到其他电荷施加的静电力：球面上单位面积受力大小：半球面受到的静电力可用与其电荷面密度相等的，该半球面的截口圆面的面积乘该半球面的单位面积受力求得：1-16设轴线上一点到环心距离为x，有：令其对x导数为0：解得1-17写出初态体系总电势能：1-18系统静电势能大小为：1-19由对称性，可以认为四个面分别在中心处产生的电势，故取走后，；设BCD，ACD，ABD在P2处产生的电势为U，而ABD在P2处产生的电势为，有：；取走后：，解得1-20构造如下六个带电正方体（1到6号），它们的各面电荷分布彼此不相同，但都能通过一定的旋转从程中电荷直接相加而不重新分布）.这个带电正方体各面电势完全相同，都为.容易证明，正方体内部的每一个点的电势也都为（若不然，正方体内部必存在电场线，这样的电场线必定会凭空产生，或凭空消失，或形成环状，都与静电场原理不符）.故此时中心电势同样为1-21 O4处电势：O1处电势：故电势差为：1-22从对称性方面考虑，先将半球面补全为整个球面.再由电势叠加原理，即一个半球面产生的电势为它的一半，从而计算出半球面在底面上的电势分布.即1-23设上极板下版面面电荷密度为，下极板上版面面电荷密度为.取一个长方体型的高斯面，其形状是是两极板中间间隔的长方体，并且把和囊括进去.注意到金属导体内部没有电场，故这个高斯面电通量为0，其中净电荷为0，有：再注意到上下极板电势相等，其中E1方向向上，E2方向向下：再由高斯定理得出的结论：解得1-24先把半圆补成整圆，补后P、Q和O.这说明，新补上的半圆对P产生的电势为，而由于对称性，这个电势恰好也是半球面ACB对Q产生的电势.故：1-25在水平方向上，设质点质量m，电量为q：运动学：整体带入得：1-26（1）先将半球面补全为整个球面，容易计算出此时半球底面的电势.再注意到这个电势由对称的两个半球面产生的电势叠加得到，即一个半球面产生的电势为它的一半，即可求出一个半球面对底面产生的电势恒为定值，故底面为等势面，由E点缓慢移至A点外力做功为W1=0.（2）由上一问的分析知由E点缓慢移至O点外力不做功，记电势能为E，E的右下标表示所代表的点，则有：依然将半球面补为整球面，此时q在球壳内部任意一点电势能为2EO.此时对于T点，其电势能为上下两个球面叠加产生，由对称性，有：综上有W2=−W.1-27小球受电场力方程：将a与g合成为一个等效的g′：方向与竖直夹角再将加速度分解到垂直于g′和平行与g′的方向上.注意到与g′平行的分量最小为0，而垂直的分量则保持不变，故速度的最小值为垂直分量：1-28假设给外球壳带上电量q2，先考虑q2在内外表面各分布了多少.取一个以内球壳外表面和外球壳内表面为边界的高斯面，并把内球壳外表面和外球壳内表面上的电荷囊括进去，真正的高斯面边界在金属内部.由于金属内部无电场，高斯面电通量为0，高斯面内电荷总量为0，得到外球壳内表面分布了−q1电荷，外表面分布了q2+q1电荷.由电势叠加原理知球心处的电势：解得由电势叠加原理及静电屏蔽：1-29设质点初速度为v0，质量为m，加速度为a，有：，其中.设时竖直向下速度为v1，动能为Ek1，初动能为Ek0，有：解得1-30球1依次与球2、球3接触后，电量分别为.当球1、4接触时满足由于解得.注：若此处利用，略去二阶小量则可以大大简便计算，有意思的是，算出的答案与笔者考虑二阶小量繁重化简过后所得结果完全一致，这是因为在最后的表达式中没有r与a的和或差的项的缘故。
大学物理静电场练习题带答案
大物练习题（一）1、如图，在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O'的矢量用a表示。
试证明球形空腔中任一点电场强度为 .A、3ρεa B、ρεaC、2ρεa D、3ρεa2、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强A、2πRλε- B、πRλε-C、00ln22π4λλεε+ D、00ln2π2λλεε+3、 如图所示，一导体球半径为1R ,外罩一半径为2R 的同心薄导体球壳, 外球壳所带总电荷为Q ,而内球的电势为0V ，求导体球和球壳之间的电势差 （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）。
A 、1020214R Q V R R πε⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 、102024R Q V R R πε⎛⎫- ⎪⎝⎭C 、0024Q V R πε- D 、1020214R Q V R R πε⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.如图所示，电荷面密度为1σ的带电无限大板A 旁边有一带电导体B ，今测得导体表面靠近P 点处的电荷面密度为2σ。
求：（1）P 点处的场强 ；（2）导体表面靠近P 点处的电荷元S ∆2σ所受的电场力 。
A 、20σεB 、202σεC 、2202S σε∆D 、220S σε∆5．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］Q Opr（A ）2200,44r Q QE D rr εεε==ππ； （B ）22,44r Q QE D r r ε==ππ； （C ）220,44Q QE D r r ε==ππ； （D ）2200,44Q QE D r r εε==ππ。
6、在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面： （A ）高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强；（B ）高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强； （C ）由于电介质不对称分布，高斯定理不成立； （D ）即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。
大学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案
⼤学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案第6章真空中的静电场习题及答案1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。
⼀试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合⼒等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑⼒的⼤⼩及⽅向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合⼒才可能为0，所以200200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε故 223+=x2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三⾓形的三个顶点。
试问：(1)在这三⾓形的中⼼放⼀个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑⼒之和都为零)?(2)这种平衡与三⾓形的边长有⽆关系?解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由⼒平衡知，q '为负电荷，所以2220)33(π4130cos π412a q q aq'=εε故 q q 3='(2)与三⾓形边长⽆关。
3. 如图所⽰，半径为R 、电荷线密度为1λ的⼀个均匀带电圆环，在其轴线上放⼀长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的⼀端处于圆环中⼼处。
求该直线段受到的电场⼒。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产⽣的场强。
在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产⽣的场强⼤⼩为)(4220R x dq dE +=πε根据电荷分布的对称性知，0==z y E E2322)(41 cos R x xdq dE dE x +==πεθ式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹⾓。
+=23220)(4dq R x xE x πε232210(24R x R x +?=πλπε232201)(2R x xR+=ελ下⾯求直线段受到的电场⼒。
在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场⼒⼤⼩为dq E dF x =dx R x xR 232221)(2+=ελλ⽅向沿x 轴正⽅向。
第一章(5)习题课
∴
E
0，
( r R)
E的方向垂直轴线沿径向， > 0则背离轴线；
R ˆ， ( r R ) r 0r
< 0则指向轴线。
11、无限大的均匀带电平面，电荷面密度为，P点与 平面的垂直距离为d，若取平面的电势为零，则P点的 电势 V p d / 2 0 ，若在P点由静止释放一个电子(其 质量为m，电量绝对值为e)则电子到达平面的速率为：
3、一均匀静电场，场强 E (400i 600 j )V m 1 , 则点a（3、2）和点b（1、0）之间的电势差为 Vab 2000V
解 : E 400i 600 j
b b a a
dl dxi dyj
Vab E dl (400i 600 j ) (dxi dyj )
侧 面 EdS E 侧 面 dS 2πrhE
(1) r < R时,
qi 0 ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
即 2πrhE 0, 得 E 0 (2) r > R时, q i 2πRhσ ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
σR 即 2πrhE 2πRhσ / ε0 , 得 E ε0 r
2
10.( 第一章习题二 .9) 无限长均匀带电圆柱面，电荷 面密度为，半径为R，求圆柱面内外的场强分布。
解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面
R r
E
为高斯面, 根据对称性分析，圆柱面 侧面上任一点的场强大小相等， 方向
h E
S
ˆ r
沿矢径方向。 Φ S E dS 上底 E dS 下底 E dS 侧面 E dS
静电场习题课
e ES cos
闭合曲面外法线方向(自内向外)为正
s
穿进闭合面的电场线对该闭合面提供负通量； 穿出闭合面的电场线对该闭合面提供正通量 C.有时利用高斯定理求电通量非常方便
利用高斯定理求电通量 例1: 点电荷ｑ位于正立方体中 q 心,则通过侧面ａｂｃｄ的电通量 e 6
4 0
(A)
0
(B)
(C)
(D)
8 0
2. 如图所示，两个“无限长”的共轴圆柱面， 半径分别为R1和R2，其上均匀带电，沿轴线 方向单位长度上所带电荷分别为1和2 ，则 在两圆柱面之间、距离轴线为r的P点处的场 ［ A ］ 强大小E为： 1 1 1 2 2 (A) 2 π r (B) (C) 2 R r (D) 2 0 r R1 0 2 2 0 r 0
UP
i
E
3、 先求 V,再求 E 。 E gradV
V V V gradV x i y j z k
4 0 r 带电体
dq
2
r
0
4 0 ri
dq 4 0 r
qi
U
带电体
先求 E 再求 U 。
pe q
q2 F q 2 0 2 0 s
Sd S
•电偶极子在均匀外电场中所受到的力和力矩 ＝ｐ ｅ ｅ Ｅ Ｆ＝０ Ｍ •力偶矩 力图使电偶极子的偶极矩 转到与外电场
一致方向上来
八、电势、电势差与电势能 零电势点 1. 电势： U E dl （ ＝ E dl ） ａ
底
2 E DS d DS / 0
新教材高中物理第一章静电场的描述习题课电场的性质课件粤教版
要点提示 根据动能定理可得
1
W=qUAB=2mgh,可得
A 点到 B
1 2
mgh+W= mv ,可解得
2
1
W= mgh;静电力做的功
2
ℎ
UAB= 2 ;根据静电力做的功等于电势能的减少,所以从
1
点电势能减少了2mgh,即小球在
A
1
点的电势能为2mgh.
【知识归纳】
1.计算静电力做功的常见方法
C.电子在a点的动能大于在b点的动能
D.电子在a点的加速度大于在b点的加速度
解析 由题图看出,电子所受的电场力方向水平向左,而电子带负电,可知电
场线方向水平向右,则a点的电势高于b点的电势,故A正确;电子从a运动到b
的过程中,电场力做负功,则电势能增加,动能减小,即电子在a点的电势能小
于在b点的电势能,在a点的动能大于在b点的动能,故B错误,C正确;电子在
场线方向电势越来越低可判断a处的电势较高,若虚线是等差等势面,从曲线
轨迹向下弯曲可知电场线方向垂直虚线向上,沿着电场线方向电势越来越低,
故a点电势较低,可判断D错误;等差等势面密集处电场线也越密集,故a处场强
较大,因此无论虚线是电场线还是等差等势面,均有a点的场强大于b点的场强,
所以C正确.故选ABC.
.求小球由A到C的过程
解析 因为Q是正点电荷,所以以Q为圆心的圆面是一个等势面,这是一个重
要的隐含条件,由A到B过程中静电力是变力,所以不能直接用W=Fx来解,要
考虑应用功能关系求解.
因为杆是光滑的,所以小球从 A 到 B 过程中只有两个力做功,静电力做功 W
和重力做功 mgh,由动能定理得
1
W+mgh=2 2 .
05静电场——习题课
1.14（1）点电荷 位于边长为 的正立方体的中心， （ ）点电荷q位于边长为 的正立方体的中心， 位于边长为a 通过此立方体的每一面的电通量各是多少？ 通过此立方体的每一面的电通量各是多少？ （2）若电荷移至正方体的一个顶点上，那么通过每 ）若电荷移至正方体的一个顶点上， 个面的电通量又各是多少？ 个面的电通量又各是多少？ q 解： 1）由于立方体的 6 个侧面对于其 （ ） ● 中心对称， 则由Gauss定理知，通过各 定理知， 中心对称， 则由 定理知 个面的电通量都相等。 个面的电通量都相等。且等于整个闭合 q ● 高斯面电能量的六分之一， 高斯面电能量的六分之一，所以每个面 通过的电通量应为 q / (6ε0)。 。 填空题1039 （本题 分）在边长为 的正 本题3分 在边长为a的正 填空题 a 方形平面的中垂线上，距中心o点 方形平面的中垂线上，距中心 点a/2 处 q 有一电量q的正电荷，则通过该平面的电 有一电量 的正电荷， 的正电荷 ● a a/2 场强度通量为 q / (6ε0) 。 为边长作一个正六面体。 解：以a 为边长作一个正六面体。
ε0
E = 0 (r < a ) r > a , q int = 2π al σ , E 在筒外， 在筒外， δa (r ≥ a ) E = ε 0r o E-r 曲线如图。 曲线如图。
E∝1 r
a
r
1.18 两个无限长同轴圆筒半径分别为R1和R2，单位长 两个无限长同轴圆筒半径分别为 度带电量分别为+λ和 。求内筒内、 度带电量分别为 和-λ。求内筒内、两筒间及外筒外的 电场分布。 电场分布。 根据电场分布的轴对称性， 解：根据电场分布的轴对称性，可以选与圆筒同轴的圆 柱面(上下封顶 作高斯面。再根据高斯定律即可得出： 上下封顶)作高斯面 柱面 上下封顶 作高斯面。再根据高斯定律即可得出： 在筒内， 在筒内，r < R1 ： E = 0 在筒间， 在筒间， R1 < r < R2 ：
静电习题课
xdq dE 2 2 3/ 2 4 0 ( r x )
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课
y
dl R r O x R x R x
y
r
O dE
r R sin ,
x R cos ,
dl Rd
E
/2
0
2R 3 sin cos d 3 4 0 40 R
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课 2. 一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R1和R2 ， 在它的侧面上均匀带电，电荷面密度σ，求：顶角O的 电势。（以无穷远处电势为零点）
R1
R2
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课 1、判断带电体类型（均匀的连续面分布） 2、选坐标 3、找微元
dq ds
4 r q U 4 r
i 1 0
i
连续分布的带电体 场无对称性
U
dq 4 r
0
场有对称性
哈尔滨工程大学理学院
U P E dl
P
静电场习题课
F
定理
D ds q
0
qq ˆ r 4 r 1
1 2 2
i
有源场
s
静 电 学
方向沿x正方向
电荷元在球面电荷电场中具有电势能： dW = (qdx) / (40 x) 整个线电荷在电场中具有电势能：
q W 4 0
哈尔滨工程大学理学院
r0 l r0
r0 l dx q ln x 4 0 r0
静电场习题课 8.一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半 径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其间充满相对介电常量 为r 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm处的A点 的电场强度和A点与外筒间的电势差．
大学物理习题静电场中的导体和电介质习题课
解：因保持与电源连接,两极间电势保持不变,而
电容值为 C 0S / d C' 0S /(nd ) C / n
电容器储存的电场能量由 We CU 2 / 2
We' C'U 2 / 2 CU 2 / 2n
We
We'We
U
2
/ 2(C
/n
C)
CU 2
21
n n
当电介质被裁成两段后撤去电场，极化的电介质又恢 复原状，仍各保持中性。
选择题：
1.“无限大”均匀带电平面 A 附近平行放 置有一定厚度的“无限大”平面导体板 B, 如图所示,已知 A 上的电荷面密度为 + , 则在导体板 B 的两个表面 1 和 2 上的感
应电荷面密度为
（A） 1=–, 2=0 （B） 1= –, 2=+, （C） 1= – /2 , 2=+ /2 （D） 1= – /2 , 2= – /2
电量还是原来的分布吗？
C
后
+Q -Q
C
+2Q -2Q
设
C
+-qq11
C
+-qq22
C +-qq11
C
由（2）得 由（1）得
C +1.5Q C -1.5Q
+-qq22
求 q1,q2:
q1 q2 3Q
q1 q2 CC
q1 q1
q2 q2
3 2
Q
(1) (2)
+1.5Q -1.5Q
[C]
1 2
AB
2.在一个带电量为 +q 的外表面为球形的 空腔导体 A 内,放有一带电量为 +Q 的带 电导体 B ,则比较空腔导体 A 的电势 UA, 和导体 B 的电势 UB 时,可得以下结论：
静电场1、2库仑定律习题课
【点评】
此题关键是对称思想，既可用填补法(
等效法)解答，又可用割除法求解．如果题中不是 带电球壳，而是带电圆环，处理方法类似．
3．两个完全相同的金属球，带电荷量之比
为1∶7，两球相距为r，两者接触后再放回原
位置，则它们之间的库仑力可能是原来的
A.
C.
4/7
9/7
B.3/7
D.16/7
6．(原创题)如图所示，光滑水平面上固定金 属小球A，用原长为L0的绝缘弹簧将A与另一 个金属小球B连接，让它们带上等量同种电 荷，弹簧伸长量为x1，若两球电荷量各漏掉 一半，弹簧伸长量变为x2，则有( ) A．x2＝1/2x1 B．x2＝1/4x1
[经典案例] 如图所示，一半径为R的绝
缘球壳上均匀地带有电荷量为＋Q的电荷，另一
电荷量为＋q的点电荷放在球心O上，由于对称
性，点电荷所受的电场力为零，现在球壳上挖去
半径为r(r≪R)的一个小圆孔，则此时置于球心的
点电荷所受力的大小为________，
方向为________．
【解题样板】 填补法：把挖去的一小部分补 上，则球心处的点电荷将受力平衡，即剩余部 分电荷对点电荷产生的力 F2 与挖去部分电荷 产生的力 F1 等大反向．将挖去的一部分 πr2 r2Q 看成点电荷．其电荷量 q′＝ Q＝ 2，所 4πR2 4R 以剩余部分对球心处的点电荷的力的大小为 r2Q q· 2 qq′ 4R kr2qQ F2＝k 2 ＝k 2 ＝ ， 方向指向缺口处． R R 4R4
11.一带电荷量为＋Q、半径为R的球，电 荷在其内部能均匀分布且保持不变，现在 其内部挖去一半径为R/2的小球后，如图所 示，求剩余部分对放在两球心连线上一点P 处电荷量为＋q的电荷的静电力．已知P距 大球球心距离为4R.
第6章 静电场习题课
1 ∴ ρ = ε 0 (E 2 − E1 h
)
h
∆S
S
＝4.43×10-13 C/m3
(1)
E2
(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面， 由于电荷只分布在地表面， 所以电力线终止于地面，取高斯面如图 所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) 1 v 1 v ∆ 由高斯定理 ∫∫ E · dS = ∑ qi -E∆S= ε σ ∆S ε0 0 ＝－8.9 ∴σ =－ε 0 E＝－ ×10-10 C/m3 ＝－
1-2 题图
以正电荷为中心作一边长为a/2的立方体形的高斯面 以正电荷为中心作一边长为 的立方体形的高斯面 由高斯定理， 由高斯定理，总通量为 φ =
q
ε0 q 则通过一面的电通量为 φ = 6ε 0
5. 一半径为 的带电球体，其电荷体密度分布为 一半径为R的带电球体 的带电球体， ρ = 0 (r＞R) ρ = Ar (r≤R) ， A为一常量．试求球体内外的场强分布． 为一常量．试求球体内外的场强分布． 为一常量
S2
ε0
2
⋅d
ρd ⇒ Ex = 2ε 0
φ
1. 带电细线弯成半径为 的半圆形 电荷线密度为 λ = λ0 sin φ 带电细线弯成半径为R的半圆形 的半圆形,电荷线密度为 式中λ 为一常数， 为半径R与 轴所成的夹角 如图所示． 轴所成的夹角， 式中 0为一常数，Φ为半径 与x轴所成的夹角，如图所示． 试求环心O处的电场强度 处的电场强度． 试求环心 处的电场强度． 处取电荷元， 解：在 φ 处取电荷元，其电荷为
v v v r1 − r2 = a
3ε 0
v ρ v ∴E = a 3ε 0
点在空腔中位置无关。 与P点在空腔中位置无关。 点在空腔中位置无关
静电场习题课1
2.两条无限长平行直导线相距为 0,均匀带有等量异号电荷,电 两条无限长平行直导线相距为r 均匀带有等量异号电荷, 两条无限长平行直导线相距为 .(1) 荷线密度为λ.( )求两导线构成的平面上任一点的电场强度 设该点到其中一线的垂直距离为x);( );(2) (设该点到其中一线的垂直距离为 );( )求每一根导线上 单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力. 单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力. 分析: 分析 : ( 1 ) 在两导线构成的平面上 任一点的电场强度为两导线单独在 此所激发的电场的叠加. 此所激发的电场的叠加. (2)由F = qE,单位长度导线所受 , 的电场力等于另一根导线在该导线 o 处的电场强度来乘以单位长度导线 所带电的量, 应该注意: 所带电的量,即:F = λE应该注意: 应该注意 式中的电场强度E是除去自身电荷 式中的电场强度 是除去自身电荷 外其它电荷的合电场强度. 外其它电荷的合电场强度.
= r0 λ i 2πε 0 x ( r0 x )
λ
E
E+
λ
p
o
分别表示正, (2)设F+,F-分别表示正,负带电 导线单位长度所受的电场力, 导线单位长度所受的电场力,则有
x
x
r0
λ2 F+ = λE = i 2πε0r0
λ2 F = λE+ = i 2πε0r0
相互作用力大小相等, 相互作用力大小相等,方向相 两导线相互吸引. 反,两导线相互吸引.
b2 x =0 2
2
x=
b , ( 0 ≤ x ≤ b) 2
6
6.在一半径为 的金属球A外面套有一个同心的金属球壳 6.在一半径为R1 =6.0 cm的金属球 外面套有一个同心的金属球壳 在一半径为 的金属球 B.已知球壳 的内,外半径分别为 2 =8.0 cm,R3 =10.0 cm.设 的内, .已知球壳B的内 外半径分别为R , . 带有总电荷Q 球壳B带有总电荷 带有总电荷Q 球A带有总电荷 A= 3.0×10-8C ,球壳 带有总电荷 B= 2.0×10-8C. 带有总电荷 × × . 和球壳B的电势 (l)求球壳 内,外表面上所带的电荷以及球 和球壳 的电势; )求球壳B内 外表面上所带的电荷以及球A和球壳 的电势; 接地然后断开, 接地, 和球壳B (2)将球壳 接地然后断开,再把金属球 接地,求球 和球壳 )将球壳B接地然后断开 再把金属球A接地 求球A和球壳 外表面上所带的电荷以及球A和球壳 的电势. 和球壳B的电势 内,外表面上所带的电荷以及球 和球壳 的电势. 分析:( )根据静电感应和静电平衡 分析:(1) :( 时导体表面电荷分布的规律,电荷Q 时导体表面电荷分布的规律,电荷 A 均匀分布在球A表面 球壳B内表面带 表面, 均匀分布在球 表面,球壳 内表面带 电荷电荷-QA ,
真空中的静电场习题课
ro R r
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
[A]
大学物理学A
习题课
9.下面说法正确的是
第7章 真空中的静电场
(A)等势面上各点场强的大小一定相等； (B)在电势高处，电势能也一定高； (C)场强大处，电势一定高； (D)场强的方向总是从电势高处指向低处.
[D]
大学物理学A
习题课
第7章 真空中的静电场
例：.求无限长均匀带电直线的电势分布
场强分布 E 2 0r
由定义 V Edr
dr
P
r 2 0r
PQ
r
发散
R
选有限远为电势零点( Q )
R
R
VP r Edr 2 0r dr 2 0 ln r
讨 论
rR V 0 rR V0 rR V0
大学物理学A
习题课
第7章 真空中的静电场
12.如图所示，在X--Y平面内有与Y轴平行、位于
大学物理学A
习题课
本章内容要点：
静电场的场量 点电荷 电场叠加性
F
E
q0
q
E E
4
r2
0
r0
Ei
dE
第7章 真空中的静电场
E u 关系
VP E • dl
P
Va
Wa q0
E • dl
a
q V
4 0 r V
Vi
dV
E V
大学物理学A
习题课
场强的计算
叠加法 高斯定理法
E
④无限长均匀带电圆柱体 E
大学物理学A
第7章 真空中的静电场
E
0
rR
2 0r
大学物理静电场习题课
的电场 Ex
4 0a
(sin 2
sin 1 )
Ey
4 0a
(cos1
cos2 )
特例：无限长均匀带电(dài diàn)直线的
场强
E 20a
（2）一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场
xq
E
4 0 (
x2
a2
3
)2
i
（3）无限大均匀带电平面的场强
精品文档
E 2 0
五、高斯定理可能应用(yìngyòng)的
搞清各种(ɡè zhǒnɡ) 方法的基本解题步 骤
4、q dV Ar 4r 2dr
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6.有一带电球壳，内、外半径分别为a和b，电荷体 密度r = A / r，在球心处有一点电荷Q，证明当A = Q / ( 2pa2 )时，球壳区域内的场强的大小(dàxiǎo) 与r无关．
证：用高斯定理求球壳内场强：
一、一个实验(shíyàn)定律：库仑定F律12
二、两个物理(wùlǐ)概念：场强、电势；
q1q2
4 0r122
e12
三、两个基本定理：高斯定理、环流定理
有源场
E
dS
1
0
qi
LE dl 0
（ qi 所有电荷代数和）
（与
VA VB
B
E
dl等价）
A
（保守场）
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四、电场(diàn c1h.ǎ点n电g)荷强的度电的场计(d算iàn
b
Wab qE dl q(Ua Ub ) qUab (Wb Wa )
a
3. 电势叠加原理
(1)点电荷的电势分布:
q
U P 4 0r
(2)点电荷系的电势分布:
第1章 静电场基本规律 课后习题
dq=dx
Ex 40
l l x dx
1 l d l x2
0
(l
x)2 a2 3/2
4 0
( ) 2
0
(l
x)2 a2 3/2
8 0
l d[l x2 a2 ]
0 (l x)2 a2 3/2
l
[ l x 2 a2 ]1/2
[ l x 2 a2 ]1/2 l
a 4 0
2(
3 2
1)a 2
lx
l x2
a2
31 2
2 3 3 2
2( 3 1)a2 2
l
dx
0
l
x2
1
a
2
2
l
lx
l
q
4 0
a
lx
2
a
2
1/
2
0
4 0
a
l2 a2
1/2 4 0a
l2 a2
1/ 2
9.0
109
2.0 10-7 1 (22 12 )1/
1
0
(S)
qi
可得立方体内的电荷为： q 0 1.058.851012 9.291012 (C)
v 总 E 通量的三个无关：
(3) 当R>>L时，该点的场强为：
E y 2 0 R
2 0 R2
L 4R2 L2
L 42 (L / r)2
L
Q
4 0 R 4 0 R
可近似看做点电荷
dE θ
y
M
R
O dx
x
1-11、（附加）电荷以线密度λ均匀分布在长为L的直线段 上。求在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度。
(三)静电场习题课
答：(1)第①式和第②式中的电荷q的意义不同。第① 式中q是置于静电场中并受到电场力F的点电荷;第② 式中电荷q是产生场E的场源电荷。
(2)它们适用的范围怎样?
①式普遍适用，它是电场的定义式；②式只适用于 点电荷；③式当A、B两点间距为l时适用于均匀场。
16.一个孤立导体球壳B带电量为Q,当另一个带电体A 移近球壳B时:
(1)B的引入不改变A表面附近的场强。
能够做到的。如B是和A同心的球壳，但B的半径较 大，就可不改变A表面附近的场。
(2)B的引入不改变A表面的电势。
这是不可能的。电势由整个空间总电场确定的，随 着另一带电体的引入，总电场的分布必将改变。
23.(1)电容器的电容与其带电量有关吗？与哪些物理量有
关？ 无关
(2) 若将球 A接地, A、B 上的电荷如何分布 ?
A球接地仅意味着电势为零!
Q
UA
q
4 0R1
q
4 0R2
Q q
4 0R3
0
解出q既可.
B
R1
A q
R2
R3
(3) 若在距球心O为r 处(r > R3)放一电荷q,则A、B 两导体的 电势是否改变? A、B 的电势差是否改变?
答：若在距球心O为r 处(r＞R3)放一电荷q , r ＜R3 空间的电场强度不变则 A、B 的电势差不改变。而
势升高。
(4)带电体A是否在球壳内产生电场?壳内场强是否还是零?
答：带电体A在球壳内产生电场，当静电平衡时 和B球壳上的感应电荷所产生的电场抵消，即B
壳内场强为零。
(5) 如果在球壳内放一个点电荷,它是否受到壳外带电体A
的静电力作用?静电屏蔽如何体现?
答：如果在球壳内放一个点电荷,它将受到壳外带电
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2.两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电 荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度 （设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上 单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。 分析：（1）在两导线构成的平面上 任一点的电场强度为两导线单独在 此所激发的电场的叠加。 （2）由F = qE，单位长度导线所受 的电场力等于另一根导线在该导线 o 处的电场强度来乘以单位长度导线 所带电的量，即：F = E应该注意： 式中的电场强度E是除去自身电荷外 其它电荷的合电场强度。
UB qA QA 40 R3
解得
qA
R1R2QA 2.12108 C R1R2 R2 R3 R1R 3
8
即球A外表面带电 2.1210-8C ，由分析可推得球壳B内 -8 -8 表面带电-2.1210 C，外表面带电-0.910 C 。另外 球A和球壳B的电势分别为
2 0 0 2 Ex co s d 4 0 R 4 0 R 0
2 0 Ey sin d(sin ) 0 0 4 0 R
y
dq
d Ex O d E d Ey
R
d
x
0 i 故O点的场强为： E E x i 4 0 R
F E
E E
o
p
x
x
r0
2 i 2 0 r0
相互作用力大小相等，方向相 反，两导线相互吸引。
3
2 F E i 20r0
5.如图所示，一厚度为b的“无限大”带电平板，其电荷体密 度分布为 = kx（0 x b），式中k为一常数，求： （1）平板外两侧任一点P1 和P2处的电场强度； （2）平板内任一点P处的电场强度； （3）场强为零的点在何处？ 分析：平板外两侧电场分布 在带电平板中取一平面， 电荷面密度(x) P1
P1
P
P2
s
0
x
x
（2）平板内任一点P处的电场强度E'
b
k b2 2 E (x ) 2 0 2
kSx 2 ( E E )S xd x 0 0 2 0 kS
x
（3）场强为零的点在何处？
b2 x 0 2
2
x
b , (0 x b) 2
5
6.在一半径为R1 =6.0 cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳 B。已知球壳B的内、外半径分别为R2 =8.0 cm，R3 =10.0 cm。设 球A带有总电荷QA= 3.010-8C ，球壳B带有总电荷QB= 2.010-8C。 （l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势； （2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。
p
x
x
r0
2
解：（1）设点P在导线构成的平面上，E+、 E-分别表示正、 负带电导线在P点的电场强度，则有
1 1 E E E i 2 0 x r0 x r0 i 2 0 x ( r0 x )
（2）设F+、F-分别表示正、负带电 导线单位长度所受的电场力，则有
0
P
P2
E
( x) 2 0
两侧均匀场,方向 与平面垂直
x
x
可知：平板外两侧电场仍为均匀电 场，方向与板面垂直！
b
4
解：（1）平板外两侧任一点P1 和P2处 的电场强度E
2 SE kSb 2 2 0
S d x x d x 0 0 0 0
kb2 E 4 0
1
b
Sk b
1. 半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为= 0cos，式中0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．
解：在任意角 处取微小电量dq=dl，它在O点 产生的场强为： 0co s d dq dl dE 4 0 R 2 4 0 R 2 4 0 R 它沿x、y轴上的二个分量为： dEx=dEcos , dEy=dEsin 对各分量分别求和
UA QA QA Q QB A 5.6 103V 40 R1 40 R2 40 R3
UB Q A QB 4.5 103V 40 R3
（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电qA， 球A和球壳B的电势为
qA qA QA UA 0 40 R1 40 R2 40 R3 qA
导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势 通常取为零）。球壳B接地后，外表面的电荷 与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电 -QA （图（b））。 再将球A接地，球壳内表面带电-QA？ 断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A 的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新 分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可 设此时球A带电qA，根据静电平衡时导体上电荷 的分布规律，可知球壳B内表面感应qA，外表 面带电qAQA（图（c））。此时球A的电势可表 示为 qA qA q QA UA A 40 R1 40 R2 40 R3
R1
R3
A
B
R2
QA QA
(b)
qA QA
R1 R3
A
R2
qA
qA B 由 UA= 0 可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加， ( c ) 可求出球A和球壳B的电势。
解：（ 1 ）由分析可知，球 A 的外表面带电 3.010-8C ，球壳 B 内表面带电 -3.010-8C ，外表面带电 5.010-8C 。由电势的 叠加，球A和球壳B的电势分别为
分析：（1）根据静电感应和静电平衡 时导体表面电荷分布的规律，电荷QA 均匀分布在球A表面，球壳B内表面带 电荷-QA ,
QA QB
R1
R3
A
R2
外表面带电荷QA+ QB，电荷在导体表面 均匀分布（图(a)），由带电球面电势的 B 叠加可求得球A和球壳B的电势。
QA QA
(a )
6
（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、 外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。