第三章--几何光学的基本原理1

第三章 几何光学的基本原理

1 证明反射定律符合费马原理。

证明：设平面Ⅰ为两种介质的分界面，光线从A 点射向界面经反射B 点，在分界面上的入射点为任意的C 点；折射率分别为：n 1、n 2。

（1）过A 、B 两点做界面的垂直平面Ⅱ，两平面相交为直线X 轴，过C 点做X 轴的垂线，交X 轴于C ＇点，连接ACC ＇、BCC ＇得到两个直角三角形，其中：AC 、BC 为直角三角形的斜边，因三角形的斜边大于直角边，根据费马原理，光线由A 点经C 点传播到B 点时，光程应取最小值，所以在分界面上的入射点必为C ＇点，即证明了入射光线A C ＇和反射光线B C ＇共面，并与分界面垂直。

（2）设A 点的坐标为（x 1，y 1），B 点坐标为（x 2，y 2），C 点坐标为（x ，0），入射角为θ，反射角为θ＇，则光线由A 传播到B 的光程：

))()((2

2222

1211y x x y x x n +-+

+-=∆

若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：

0)()(22

2

2221

2

11=+---

+--=∆

y

x x x x y

x x x x dx

d

从图中得到：21

2

11)(sin y

x x x x +--=

θ 22

2

22)(sin y

x x x x +--=

'θ

也即：sin θ=sin θ＇，说明入射角等于反射角，命题得证。

2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物象公式。

解：

3 眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d 为30cm ，求PQ 的象P ＇Q ＇与物体之间的距离d 2。

解：方法一

P ＇Q ＇是经过两个平面折射所形成的象 （1）PQ 经玻璃板前表面折射成象：

设PQ 到前表面的距离为s 1，n=1、n ＇=1.5

由平面折射成象的公式：11s n n s '=' 得到：112

3

s s ='

（2）PQ 经玻璃板前表面折射成象： 从图中得到：s 2=s 1+d 、n=1.5、n ＇=1

根据：22s n

n s '

='

解出最后形成的象P ＇Q ＇到玻璃板后表面的距离：d s s 3

212+='

物PQ 到后表面的距离：s=s 1+d

物PQ 与象P ＇Q ＇之间的距离d 2：d 2 = s 2＇-s =（3

2

1-

）d=10cm 方法二：参考书中例题的步骤，应用折射定律解之。

方法三：直接应用书中例题的结论：d 2 =d （1-1/n ）即得。

4 玻璃棱镜的折射角A 为600，对某一波长的光其折射率为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角。

解：（1）根据公式：2

sin

2

sin

0A A

n +=

θ

代入数据：A=600

，n=1.6

解出最小偏向角：θ0= 46016＇

（2）因：A i -=102θ 则入射角：53352/)(001'=+=A i θ （3）若能使光线从A 角两侧透过棱镜，则出射角i 1＇=900 有：n sini 2＇= 1 sin900 = 1 解出：i 2＇=38.680 从图中得到：i 2 + i 2＇= A 得到：i 2 =21.320 又有：sini 1 = nsini 2 解出最小入射角：i 1 =35034＇

5 题图表示恒偏向棱镜，挑相当于两个300-600-900棱镜与一个450-450-900棱镜按图示方式组合在一起。白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变θ1，从而使任意波长的光可以依次循着图中的路径传播，出射光线为r ，求证：如果sin θ1=n/2，则θ2=θ1，且光束i 与r 相互垂直。

解：当光线以θ1角在A 点入射时，设折射角为α，

根据折射定律有：sin θ1 = nsin α 因：sin θ1 = n/2 计算得到：α= 300 在C 点的入射角为β，从图中可看出：β= 300

有：sin θ2 = nsin β 得到：sin θ2 = n/2

因：sin θ1 = sin θ2 = n/2 所以：θ1 = θ2

在三角形ADE 中，∠ADE=1800 -θ1 -（900 -θ2）= 900 说明光束i 与r 相互垂直。

6 高为5cm 物体放在距凹面镜顶点12cm ，凹面镜的焦距是10cm ，求象的位置及高度，并作光路图。

解：已知：s=-12cm f ＇=-10cm

根据：f s

s '

=+'

111

解出：s ＇= -60cm 因：s

s y y '

-='=β 解得：y ＇= -25cm

7 一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成1cm 高的虚象，求：（1）此镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？

解：已知：y=5cm 、s=-10cm 、 y ＇=1cm

因形成的是虚象，物和象在镜面的两侧，物距和象距异号。 根据：5

1='-='=s

s y

y β

cm cm s s 2)10(5

15

1=--=-='

代入：r

s

s 211=+'

解出：r=5cm

因r=5cm > 0 ，所以是凸面镜。

8 某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜他自己的象，他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm ，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm ，问玻璃板距观察者眼睛的距离是多少？

解：已知：凸面镜成象时的物距： s=-40cm 、焦距：f ＇=10cm