银行服务问题

题目银行服务问题

摘要

银行的排队问题是目前各银行系统普遍存在的突出问题，本文通过对M/M/1排队模型最优的服务率进行分析，得出了在一定条件下的最优服务窗口数量。

问题一：根据银行每天流动的人数，对到达和服务的时间进行概率统计，并利用M/M/1排队模型进行求解，同时通过对概率的估算，拟合出相应的概率问题，最后归纳得出关于银行服务问题的最优解的模型

问题二：对银行排队窗口的优化，根据多窗混合制排队模型，结合问题一，便可解出给定条件下的最优窗口数，从而对银行的排队机制提供相应的建议。

综上所述，我们利用数学建模的方法，根据排队论的知识建立银行排队问题的数学模型，通过对这个数学模型的求解，分析银行排队问题的解决思路，为银行服务系统提供决策参考。

关键字：M/M/1排队模型、M/M/c排队模型、银行排队方式、最优服务窗口数。

一、问题重述

随着经济和金融的发展，越来越多的人去银行办理金融业务。但是，最近的现象表明，银行排队的情况非常严重，等待的时间比以前长了许多，在某些情况下，这种等待时间让顾客难以忍受。银行的排队问题耽误了许多人宝贵的时间，已经成为国内许多商业银行的一大心病。

一种很自然的解决办法是在银行内多开设几个窗口，让队伍的长度变短，甚至可以多开几个银行。但是开设银行之后，对于顾客来说，减少了等待时间。但是，对于银行来说，加大了许多投入。这可能是商业银行的利益受到了亏损。这就造成了两难的境地，一方面等待时间长，流失掉顾客，减少利润；另一方面，增加窗口来缩短等待时间，但加大了投入，利益也在一定程度上受到了损害。本文试图通过数学模型分析求出一个兼顾两方面的方案。因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到一个平衡点，使顾客的等待时间，开设的窗口数，排队等待损失的顾客数三者达到最低的平衡状态。第一问是要建立一个模型；第二问实质上是银行服务窗口数量的优化。

二、问题分析

第一问是要我们建立银行排队服务系统的优化模型。首先根据对一天约150名的顾客进行时间的概率统计，我们队这些数据进行了标准化的模型求解，分别求出平均顾客数(平均队长)Ls，处在队列中等待的平均顾客数(平均队列长)Lq，顾客在系统中平均逗留时间Ts和在队列中的平均等待时间Tq，对相应的参数也进行整合，求得最佳的银行排队服务问题的模型。

第二问的本质就是优化窗口数目，我们认为这里有必要引入排队论的知识。银行系统属于多服务窗混合制排队模型，根据银行可实现的窗口我们分别计算窗口数为2的情况，由于已知了窗口数便可利用排队论的知识，加上限制条件，分别可得到~

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顾客必须等待的概率，平均队列长，平均队长，平均逗留时间，平均等待时间。

三、模型假设

1、假设银行顾客随机到达，并近似服从一个指数分布；

2、假设在多窗口排多个队伍的方式下，每个顾客到达后选择一个窗口排队，排队后坚

持不变；

3、假设尽管银行会有多个服务窗口，可能出现后到的人先得到服务。但是因为对于银

行来讲，每个需要服务的人都可以认为是一样的，故总体上考虑“先到先服务

4、假设需要服务的人总会选择较短的队伍，而且对各窗口没有偏好，所以

在拥挤的时候各窗口前的队伍总是趋于一样长；

5、假设每位顾客所需服务时间大致相同；

6、不同顾客之间到达相互独立；

7、服务系统评价不考虑银行成本影响，或者对于服务来讲对银行成本基本不影响或影

响极小，故可以忽略不计；

四、符号说明

五、模型的建立与求解

经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程

5.1问题一模型的建立与求解 5.1.1模型的建立

泊松分布和负指数分布推导

()N t 表示在时间[0,)t 内到达的顾客数，12(,)n P t t 表示在时间段1212[,)()t t t t >内有(0)n n ≥个顾客到达的概率，即

1221(,){()()}n P t t P N t N t n =-=，

当12(,)n P t t 满足以下三个条件时，则称顾客的到达形成泊松流。

无后效应：在不相交的时间去内顾客到达数是相互独立的，即在时间段[,]t t t +∆内到达个顾客k 的概率与时刻t 以前到达多少顾客无关。

平稳性：对于充分小的t ∆，在时间间隔[,]t t t +∆内有一个顾客到达的概率只与时间段的长度t ∆有关，而与起始时刻t 无关，且1(,)()P t t t t o t λ+∆=∆+∆，其中0λ>称为概率强度，即表示单位时间内有一个顾客到达的概率。

普通性：对于充分小的t ∆，在时间间隔[,]t t t +∆内有2个或2个以上顾客到达的概

率极小，可以忽略不计，即2(,)()n n P t t t o t ∞

=+∆=∆∑。

5.1.2模型的求解

如果取时间段的初始时间为0t =，则可记(0,)()n n P t P t =。在[,]t t t +∆内， 由于

02

01(,)(,)1(,)(,)n n n n P t t t P t t t P t t t P t t t ∞∞

==+∆=+∆=+∆++∆+∑∑， 故在[,]t t t +∆内没有顾客到达的概率为

2

01

1(,)1(,)(,)()n n P t t t P t t t P t t t t o t λ∞

=-+∆=-+∆=+∆-∆+∆∑. 将[0,]t t +∆分为[0,]t 和[,]t t t +∆，则在时间段[0,]t t +∆内到达n 个顾客的概率应为

(,){()(0)}n P t t t P N t t N n +∆=+∆-=

{()()}{()(0)}k P N t t N t k P N t N n k ∞

==+∆-=-=-∑ 0()(,)n k k k P t P t t t -∞

==+∆∑

11()()()()n n P t t P t t o t λλ--=∆+∆+∆，

即

1()()()(,)()n n n n o t t P t P t P t t t P t t

λλ-∆∆-+++∆-=∆，

令0t ∆→，则

1

()()()n n n P t P t P t d dt

λλ-=-+，

(0)0n P = (1)n ≥.

当0n =时，有

00

()()P t P t d dt

λ=-

0(0)1P =

由上式解得0()t P t e λ-=，同时可得

()!

()n t n t n P t e λλ-= (0,1,2,;0)n t =>， 表示在长为t 的时间内到达n 个顾客的概率，即为泊松分布，数学期望和方差分别为

[()],[()]E N t t D N t t λλ==.

当顾客流为泊松流时，用T 表示两个顾客相继到达的时间间隔，是一个随机变量，

其分布函数0(){}1{}1()T F t P T t P T t P t =≤=->=-。由泊松分布的推导公式可知

0()t P t e λ-=，于是()1T t F t e λ-=-，0t ≥；分布密度()T t f t e λλ-=，0t ≥.这里λ表示单

位时间内到达的顾客数。同时知T 服从负指数分布，且1

()E t λ

=

，2

1

()D t λ=

。

设系统对一个顾客的服务时间为v （即在忙期内相继离开系统的两个顾客的间隔时间）服从负指数分布，分布函数为()1v t F t e μ-=-，0t ≥，分布密度为()v t f t e μμ-=，0t ≥，其中μ表示平均服务率，且期望值为1()E v μ

=，表示一个顾客的服务时间。

5.2.1模型的建立

首先讨论C ＝1时的情况，此时模型变为M|M|1，即模型表示只有一个服务窗口的情