专题三 第1讲

三角函数的图象与性质(文科）

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

例1 (1)(2017·河北省石家庄市第二中学联考)已知点M 在角q 终边的延长线上，且|OM |＝1，则M 的坐标为( ) A ．(cos q ，sin q ) B ．(－cos q ，sin q ) C ．(－cos q ，－sin q )

D ．(cos q ，－sin q ) (2)(2017届重庆期末)已知tan α＝2，则

sin α＋cos α

2sin α＋cos α

＝________.

跟踪演练1 (1)(2017·山西省高三名校联考)已知角α终边上一点P (－3，4)，则cos(－π－α)的值为( ) A ．－45 B.45 C.35 D ．－

3

5

(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α

＝________.

热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图： (2)图象变换：

y ＝sin x → y ＝sin(x ＋φ) → y ＝sin(ωx ＋φ) → y ＝A sin(ωx ＋φ)．

例2 (1)(2017届合肥模拟)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向 ( ) 平移 ( ) 个单位长度， 再向 ( ) 平移 ( )个单位长度 (2)(2017·河北省衡水中学调研)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的递增区间是( ) A ．[6k －1,6k ＋2](k ∈Z ) B ．[6k －4,6k －1](k ∈Z ) C ．[3k －1,3k ＋2](k ∈Z )

D ．[3k －4,3k －1](k ∈Z )

跟踪演练2 (1)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3的图象，可以将函数y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

6的图象向( ) 平移 ( ) 个单位长度

(2)(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图，则S ＝f (1)＋…＋f (2 017)等于( )

A ．0 B.4 0312 C.4 0352 D.4 0392

热点三 三角函数的性质 y ＝A sin(ωx ＋φ)，

周期为 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π

2(k ∈Z )求得．对称中心可由

单调区间可由 y ＝A cos(ωx ＋φ)，

周期为 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．对称中心可由 单调区间可由

例3 (2017·北京)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π

3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；

(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－1

2

. 跟踪演练3 已知函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π

6(ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )在区间(0，π)上的单调递增区间； (2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤

π8，3π8上的最大值和最小值．

真题体验

1．(2017·全国Ⅱ改编)函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

3的最小正周期为________． 2．(2017·全国Ⅰ改编)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π

3，则下面结论正确的是________．(填序号)

①把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6个单位

长度，得到曲线C 2；

②把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12个单位

长度，得到曲线C 2；

③把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长

度，得到曲线C 2；

④把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12个单位

长度，得到曲线C 2.

3．(2017·天津改编)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________. 4．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________． 押题预测

1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π

2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π

20个单位长度

C ．向左平移π5个单位长度

D ．向右平移π

5

个单位长度

2.如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π

2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2，0)，∠PQR ＝π

4，M 为QR 的中点，PM ＝25，

则A 的值为( )

A.83 3

B.1633 C ．8 D ．16 3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－

2

2

，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π

2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值．

A 组 专题通关

1．已知tan α＝3，则cos (π－α)

cos ⎝⎛⎭⎫α－π2的值为( )

A ．－13

B ．－3 C.1

3

D ．3

2．(2017届重庆市调研)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象( )

A ．向左平行移动π

3

个单位长度