回归直线方程—最小二乘法分析

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上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强. 回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来刻画应具有怎样的关系？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
法二
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
问题:在一次对人体脂肪含量与年龄关系的研究中， 研究人员获得了一组样本数据：
年 龄
脂 肪
23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
散 点 图
存在样本 点不在直线上
x=27时，y=15.099% x=37时，y=20.901%
可利用回归方程 预测不同年龄段 的体内脂肪含量 的百分比。
（2012山东临沂二模，20,12）假设关于某设备的 使用年限x和所有支出的维修费用y（万元），有如 下表的统计资料：
使用年 限x 维修费 用y
2
2.2
3
3.8
年 龄 脂 肪
23
27
39
41
45
49
50
53
54
56
57
58
60
61
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考：将表中的年龄作为x代入回归方程，看看 得出的数值与真实数值之间的关系，从中你体会 到了什么？ y 0.577 x 0.48
2 2
2
这样通过求此式的最小值而得到回 归直线的方法，即使得样本数据的 点到回归直线的距离的平方和最小 的方法叫做最小二乘法. 根据有关数学原理推导，a，b的值由下列公式给出
b
x x y
n i 1 i n i 1 i
i
y
2
x y nx y
n
x x

i 1 n
3.它与实际收集得到的yi之间偏差是
yi-Yi=yi-(bxiHale Waihona Puke Baidua)（i=1，2，…，n）
这样，用这n个偏差的和来刻画 “各点与此直线的整体偏差” 是比较合适的。
（x2，y2）
(xi ,yi) (x1 ,y1)
yi-(bxi+a)
(x2 ,y2)
因此用 y=bx+a的“整体距离”
表示各点到直线
由于绝对值使得计算不方便，在实际应用 中人们更喜欢用
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2
当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数 ； ；
(2)计算 xi 与 yi 的乘积,再求 (3)计算 ；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
13
年 龄 脂 肪
法三
1.在散点图中 多取几组点， 确定出几条直 线的方程 2.分别求出各 条直线的斜率、 截距的平均数 3.将这两个平 均数当成回归 方程的斜率与 截距。
法四
最 小 二 乘 法
求回归方程的关键
——如何使用数学方法来刻画“从整体上看， 各点到此直线的距离最小”。
假设两个具有线性相关关系的变量的一组数 据:(x1, y1),(x2, y2),...... (xn, yn) 下面讨论如何表达这些点与一条直线y=bx+a 之间的距离。
23
27
39
41
45
49
50
53
54
56
57
58
60
61
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据最小二乘法公式， 利用计算机可以求出 其回归直线方程
y 0.577 x 0.48
散 点 图
回 归 直 线
Q y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
2 2
2
yi bxi a
(x1,y1) (xi ， yi) (xn ， yn)
(x2 ， y2)
Q y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
法二
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
法三
1.在散点图中 多取几组点， 确定出几条直 线的方程 2.分别求出各 条直线的斜率、 截距的平均数 3.将这两个平 均数当成回归 方程的斜率与 截距。
法四
回 归 直 线
回归直线概念：散点图中心的分布从整体上看 大致是一条直线附近，该直线称为回归直线 求出回归直线的方程 我们就可以比较清楚地了解年龄与体 内脂肪含量之间的相关性
由此可以预测相应年龄段的脂肪含量 那我们又该如何具体求这个回归方程呢？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
i
i
x
i 1
2
i
nx
2
a y bx
Σ（yi-Yi）的最小值
i=1
n
Σ|yi-Yi|的最小值
i=1
n
Σ（yi-Yi）2的最小值
i=1
n
n ( xi x )( yi y ) 1 b n 2 ( x x ) i 1 a y bx
最小二乘法的公式的探索过程如下：
1.设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
2.设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中a，b是 待定的系数。当变量x取x1，x2，…，xn时，可以得 到 Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）
y
（xi ，yi ） yi-Yi （x1，y1）
Q y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
2 2
2
yi bxi a
(x1,y1) (xi ， yi) (xn ， yn)
(x2 ， y2)
这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小？即 点到直线 y bx a 的“整体距离”最小.
4
5.5
5
6.5
6
7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求： （1）线性回归直线方程 （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？