回归直线方程—最小二乘法分析
最小二乘法 回归模型
最小二乘法回归模型
最小二乘法回归模型是统计学中常用的一种数据分析工具，用于探索两个或多个变量之间的关系。
该模型基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来找到最佳的回归线或回归面，从而实现对数据的拟合和预测。
最小二乘法回归模型的基本假设是，因变量与自变量之间存在线性关系，并且误差项独立同分布，服从正态分布。
在此基础上，我们可以通过建立线性回归方程来描述这种关系，并利用最小二乘法原理来求解回归系数。
在最小二乘法回归模型中，我们通常使用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）来估计回归系数。
OLS的核心思想是使得残差平方和（即预测值与实际值之差的平方和）达到最小。
通过求解最小化残差平方和的方程组，我们可以得到回归系数的估计值。
最小二乘法回归模型具有许多优点，如简单易行、计算方便、解释性强等。
它可以帮助我们了解变量之间的关系强度、方向以及预测未来的趋势。
同时，该模型还可以通过引入控制变量来消除其他因素的影响，提高回归分析的准确性。
然而，最小二乘法回归模型也存在一些限制和假设。
例如，它要求数据满足线性关系、误差项独立同分布等假设条件。
当这些假设不成立时，回归结果可能会受到偏差或误导。
因此，在应用最小二乘法回归模型时，我们需要对数据进行充分的探索和分析，以确保模型的有效性和可靠性。
总之，最小二乘法回归模型是一种强大的数据分析工具，它可以帮助我们揭示变量之间的关系并预测未来的趋势。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的模型和方法，以提高数据分析的准确性和可靠性。
算法学习笔记——最小二乘法的回归方程求解
算法学习笔记——最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最⼩⼆乘法的回归⽅程求解最近短暂告别⼤数据，开始进⼊到了算法学习的领域，这时才真的意识到学海⽆涯啊，数学领域充满了⽆限的魅⼒和乐趣，可以说更甚于计算机带给本⼈的乐趣，由于最近正好看到线性代数，因此，今天我们就来好好整理⼀下机器学习领域中的⼀个⾮常重要的算法——最⼩⼆乘法，那么，废话不多说，我们直接开始吧 !1. 最⼩⼆乘法介绍1.1 举例现实⽣活中，我们经常会观察到这样⼀类现象，⽐如说某个男的，情商很⾼，⾝⾼180，家⾥很有钱，有房，有车，是个现充，结果就是他有好⼏个⼥朋友，那么从⼀个观测者的⾓度来看，该男性具备好多个特征(⽐如EQ值较⾼，⾝⾼较⾼，有钱对应的布尔值是True等等)，输出结果就是⼥友的个数；这只是⼀条记录，那么，当我们将观测的样本数扩⼤到很多个时，每个个体作为输⼊，⽽输出就是每个个体的⼥朋友数量；于是在冥冥之中，我们就能感觉到⼀个男性拥有的⼥友数量应该和上述特征之间存在着某种必然的联系。
然后可以这样理解，决定⼀个男性可以交到⼥友数量的因素有很多，那么，在那么多的因素之中，肯定有⼏项因素⽐较重要，有⼏项相对不那么重要，我们暂时将每个因素的重要程度⽤⼀个数值来表⽰，可以近似理解为权重，然后将每个权重和因素的数值相乘相加，最后再加上⼀个常数项，那么这个式⼦就可以理解为⼀个回归⽅程。
1.2 SSE,SST和SSR有了上述的基础，我们就可以做这样⼀件事，预先设定好⼀个⽅程(先简单⼀点，假设该⽅程只有⼀个⾃变量)：y = ax + b，a和b是我们要求出来的；那么，我们可不可以这样理解，每输⼊⼀个x，即能通过这个计算式输出⼀个结果y，如果输出的y和真实的y偏差是最⼩的，那么不就能说明这个⽅程拟合的是最佳的了吗？顺着这个思路，原问题就可以演变成⼀个求解当a和b各为多少时能使得这个偏差值最⼩的求最优化问题了，或者说我们的⽬标就是求使得SSE最⼩的a和b的值。
高中数学最小二乘估计-例题解析
最小二乘估计-例题解析变量之间存在着一种不确定的关系——相关关系.在现实生活中,相关关系大量存在.因变量与自变量的关系有线性的和非线性的两种.反映相关变量之间线性关系的方程称为“线性回归方程”，这就是本节的重要内容.回归直线方程将部分观测值所反映的规律性进行了延伸,是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制,依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据,有广泛的应用.本节讨论回归分析中最简单、最基本的类型——只有一个自变量的类型,其原理与具有多个自变量的类型是一样的.因此了解本节的线性回归分析的基本思想是很重要的.线性回归分析涉及大量的计算,形成操作上的一个难点,好在这些运算只涉及+、－、×、÷,用科学计算器能方便的处理.【例1】 高三·一班学生每周用于数学学习的时间x(单位:h)与数学成绩y(单位:分)之间有如下对应数据:如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程.分析:本题数据表中,自变量x 的取值没有按从小到大排列,这更接近实际,对结论没有任何影响.从表中看出:同样是每周用16 h 学数学,一位同学成绩是64分,另一位却是68分,这反映了y 与x 只有相关关系,没有函数关系.解:(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算.设回归直线方程为y ˆ=bx+a,则b=53.34.1544.545101022101101≈=-∑-∑==xx yx y x i i i i i ,a=5.134.1753.39.74≈⨯-=-x b y ,因此所求的回归直线方程是y ˆ=3.53x+13.5.点评:最小二乘估计是求回归直线方程的常用方法,可以通过本题的解答体会最小二乘估计的优越性.为了计算方便,通常将有关数据列成表格,然后借助于计算器算出各个量,为求回归直线方程扫清障碍. 【例2】 每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm3)之间的关系有如下数据:(1)对变量y 与x 进行相关性检验;解：如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程.分析:求回归直线方程和相关系数,通常是和计算器来完成的.在有的较专门的计算器中,可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数,而如果要用一般的科学计算器进行计算,先列出相应的表格,有了表格中的那些相关数据,回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了.解: b=2205126005186.7220512943182⨯-⨯⨯-=304.0300143474≈, a=y －b x =72.6－0.304×205=10.28. 于是所求的线性回归方程是y ˆ=0.304x+10.28.同类变式:以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系:(1)依据这些数据画出散点图并作直线yˆ=78+4.2x,计算101=∑i (yi －y ˆi)2;分析：见第（3）小题分析解：散点图与直线y ˆ=78+4.2x 的图形如下图所示,对x=1,3,…,13,有y ˆ=82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6, 101=∑i (yi －y ˆi)2=178.48.1413121110987验(年) (2)依据这些数据由最小二乘法求回归直线方程,并据此计算101=∑i (yi －y ˆi)2;分析：见第（3）小题分析解：x =101101=∑i xi=7,lxx=101=∑i (xi －x )2=142,y =108, lxy=101=∑i (xi －x )(yi －y )=568,所以b=xxxyl l =142568=4,a=y －b x =108－4×7=80, 故y ˆ=4x+80.y ˆi=84,92,96,96,104,112,120,120,124,132.101=∑i (yi －y ˆi)2=170.(3)比较(1)和(2)中的残差平方和101=∑i (yi －y ˆi)2的大小.分析:由一元线性回归方程的回归系数的最小二乘估计的计算公式进行计算. 解:比较可知,用最小二乘法求出的101=∑i (yi －y ˆi)2较小.点评:通过本题的解答体会最小二乘估计的优越性.【例3】 一机器可以按各种不同速度运转,其生产的物件有一些会有问题,每小时生产有问题物件的多寡,随机器运转的速度而变化,下列即为其试验结果:速度 每小时生产有问题物件数 8 5 12 8 14 9 1611(1)求出机器速度影响每小时生产有问题物件数的回归直线方程;分析:把题中的量用回归分析的专用术语改写成后再顺着回归分析的一般步骤解题.解：用x 来表示机器速度,y 表示每小时生产的有问题的物件数,那么有(x1,y1)=(8,5),(x2,y2) =(12,8),(x3,y3)=(14,9),(x4,y4)=(16,11),则x =12.5,y =8.25. 回归直线的斜率为b=2211xn x yx n y x i ni i i ni -∑-∑===0.7286.截距a=y －b x =－0.8571.所以所求的回归方程为y ˆ=0.7286x －0.8571.(2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10,那么,机器的速度不得超过多少转/秒?解:根据公式y ˆ=0.7286x －0.8571,要使y ˆ≤10,即0.7286x －0.8571≤10,∴x ≤14.9013, 即机器的速度不能超过14.9013转/秒.点评:求出回归直线方程后,往往用来作为现实生产中两变量之间相关关系的近似关系,从而可以用来指导生产实践.。
偏最小二乘回归分析
x y xy 101.8389 b 2 2 , x x a y b x -28.6883
y
2 [ y ( a bx )] i i
n2
0.931912
利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数 据，列表如下（n=16时,Cu=2.15)：
递推关系:
P0(x)=1, P1(x)=x,
2 P2 ( x) 1 ( 3 x 1) 2
则： a 28.7 0.4 b 101.8 0.1
即回归方程为：
y 28.7 101.8 x
附：临界相关系数 R表
N-2 a
0.05 0.01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576 1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.707
1.3 相关关系
相关关系的描述 相关关系最直观的描述方式——坐标图（散点图）
非线性相关
零相关
正相关
负相关
相关系数 — 相关程度的度量
X和Y的总体 相关系数： •
Cov( X , Y ) Var ( X )Var (Y )
其中： Var(X)-----X 的方差 Var(Y)-----Y的方差 Cov（X，Y）-----X和Y的协方差
解： 1.列表
n x
y x2 y2 xy
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.11
82.5 1.2321 6806.25 91.575
最小二乘法确定直线回归方程的原则
最小二乘法确定直线回归方程的原则1. 直线回归方程的基本概念嘿，大家好！今天我们来聊聊一个数学上的小神奇——最小二乘法。
你可能会觉得数学这个词听起来有点儿吓人，但别担心，我们会用简单的语言来搞明白它的意思。
最小二乘法其实就是一种帮我们找出最合适直线来描述数据的方法。
想象一下，你有一堆点，最小二乘法就是要找到那条线，让这条线跟点们的距离加起来最小。
1.1 直线回归的基本原理直线回归方程，其实就是找一条直线，让它尽量贴近一组数据点。
这条直线的方程一般长这个样子：[ y = mx + b ]。
其中，(m)是斜率，表示直线的倾斜程度；而(b)是截距，也就是直线在y轴上的位置。
我们的目标就是找出最合适的(m)和(b)的值，让直线尽量接近所有的数据点。
1.2 最小二乘法的基本思路说到最小二乘法，它的名字听起来挺拗口，其实意思简单明了。
最小二乘法的核心思想就是找一条直线，使得每个数据点到这条直线的垂直距离的平方和最小。
这个距离的平方和，咱们就叫做“误差平方和”。
简单点说，最小二乘法就是用来“最小化”这些误差的总和。
2. 最小二乘法的应用步骤明白了基本原理后，我们来看一下怎么一步步应用最小二乘法来确定回归方程。
2.1 收集数据首先，我们得有数据。
这些数据点可以来自你做的实验、收集的调查结果，或者其他任何数据来源。
比如，你想研究一个城市的房价跟房子的面积之间的关系，你就需要收集房子的面积和价格数据。
2.2 计算直线参数接下来，我们要计算出最适合这些数据的直线。
这里就得用到最小二乘法的具体步骤了。
大致来说，我们需要计算每个数据点的“预测值”和实际值之间的差异，然后将这些差异的平方加起来，找出使这个总和最小的直线参数。
具体的数学公式可能看起来有点复杂，但不必担心，实际应用时，很多计算软件都会帮你搞定这些公式。
最重要的是，了解了这些背后的原理，你就能更好地理解结果了。
3. 最小二乘法的实际应用了解了原理和步骤后，我们来看看最小二乘法实际中的一些应用场景。
最小二乘法求出直线拟合公式
最小二乘法求出直线拟合公式最小二乘法是一种常用的线性回归方法，用于求出最佳的拟合直线公式。
其基本思想是通过最小化观测数据与拟合直线之间的误差来确定最佳的直线参数。
假设我们有一组观测数据(xi, yi)，其中xi表示自变量的取值，yi表示因变量的取值。
我们的目标是找到一条直线y = mx + c，使得观测数据点到这条直线之间的误差最小。
首先，我们定义观测数据点到拟合直线的误差为：ei = yi - (mx + c)。
我们的目标是最小化所有观测数据点的误差之和：min Σ(ei^2) = min Σ(yi - (mx + c))^2为了求解上述最小化问题，我们需要对误差函数关于参数m和c进行求导，并令导数等于零。
这样可以得到参数的最优解。
对于参数m的求解，我们有以下等式：d/dm Σ(ei^2) = d/dm Σ(yi - (mx + c))^2 = 0通过对上述等式进行求导和化简，我们得到以下方程：m * Σ(xi^2) + c * Σ(xi) = Σ(xi * yi)类似地，对于参数c的求解，我们有以下等式：d/dc Σ(ei^2) = d/dc Σ(yi - (mx + c))^2 = 0通过对上述等式进行求导和化简，我们得到以下方程：m * Σ(xi) + c * n = Σ(yi)其中，n表示观测数据点的数量。
最终，我们可以通过解上述方程组，求得最佳的直线参数m和c，从而得到直线的拟合公式。
拓展：最小二乘法不仅可以应用在线性回归问题中，还可以拓展到非线性回归问题。
例如，如果观测数据点遵循多项式分布，则可以使用多项式回归来拟合数据。
此时，最小二乘法的基本原理是相同的，只是拟合的模型变为多项式函数。
此外，最小二乘法还可以应用于其他问题，例如数据平滑、参数估计等。
它是一种常用的统计学方法，可以在各种实际问题中得到广泛的应用。
认识最小二乘法
认识最小二乘法——对“用最小二乘法探求回归直线方程”的教学反思北京师范大学数学系李勇人民教育出版社中学数学室宋莉莉第六次课题研讨会开设的研究课之一——《数学3》中“2.3 变量间的相关关系”的第3课时“用最小二乘法探求回归直线方程”引起了广泛的讨论.包括执教者在内的许多一线教师都反映自己在讲授统计知识时，往往由于对知识内容一知半解不得不“照本宣科”，有时甚至会出现理解上的偏差；在指导学生体会统计思想时，更是感到“心有余而力不足”.教师的这些感受都是真实自然的，主要原因有三：其一是绝大多数教师自己虽然学过“概率论与数理统计”类课程，但这些课程大都是统计学的数学基础，少有统计思想的介绍；其二是以往的高中数学教材中几乎不涉及统计学思想，教师在教学过程中远离统计学内容，结果使自己对概率统计知识变得陌生；其三是缺乏必要的适于中学概率统计的教学参考资料.统计学是一门“实践性”和“过程性”都很强的学科，任何一个单独的统计概念、公式、统计方法及其所蕴涵的统计思想都与解决特定实际问题的过程相关联.因此应在统计知识的教学过程中，重视渗透和明确统计思想.统计思想既深刻又有其独特性，正如统计学家陈希孺先生所说“统计学不止是一种方法或技术，还含有世界观的成分——它是看待世界上万事万物的一种方法”.统计教学不容忽视的一个目标就是培养学生的“统计思想”.以上是统计教学非常重要的两个方面，但在教师的知识储备不足时是不可能实现的，所以当务之急是提高教师自身的统计水平.“高水平数学教学的前提是教师自己准确理解所教内容”.因此本文想以“最小二乘法”为载体，通过挖掘其产生的历史背景、思想源头、来龙去脉、与其他统计知识的联系等，为教师提供一个感受统计思想的内涵、统计方法的特征、统计学家创设统计方法时的思想火花等的机会.一、最小二乘法与最小一乘法1.什么时候用最小二乘法在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。
当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程.例如，在现实世界中，这样的情形大量存在着：两个变量X和Y（比如身高和体重）彼此有一些依赖关系，由X可以部分地决定Y的值，但这种关系又是不确定的.人们常常借助统计学中的回归模型来寻找两个变量之间的关系，而模型的建立当然是依据观测数据.首先通过试验或调查获得x和Y的一组对应关系(x1，Y1)，(x2，Y2)，…，(x n，Y n)，然后回答下列5个问题：1. 这两个变量是否有关系？(画出散点图，作直观判断)2. 这些关系是否可以近似用函数模型来描述？（利用散点图、已积累的函数曲线形状的知识和试验数据，选择适当的回归模型，如一元线性模型y=b0＋b1x，二次函数模型y=b0＋b1x＋b2x2等）3. 建立回归模型.4. 对模型中的参数进行估计，最小二乘法是这些参数的一种常用估计方法.5. 讨论模型的拟合效果.在上述第3步中，设所建立的回归模型的一般形式是，其中Y称为响应变量，x称为解释变量或协变量；是一个由参数决定的回归函数；是一个不可观测的随机误差.为了通过试验数据来估计参数的值，可以采用许多统计方法，而最小二乘法是目前最常用、最基本的.由的估计值决定的方程称为经验回归方程或经验方程.教科书中涉及的回归模型是最简单的一元线性模型Y=b0+b1x+，是一个不可观测的随机误差此时模型的拟合效果可以通过Pearson相关系数来描述。
最小二乘法经验公式
最小二乘法经验公式最小二乘法是一种常用的回归分析方法，可以用来找到最佳拟合直线或曲线，使得实际观测值与预测值之间的误差最小化。
它广泛应用于各个领域，例如经济学、统计学、工程学等等。
在这篇文章中，我们将详细介绍最小二乘法的核心原理、步骤和应用示例，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一方法。
首先，让我们来了解最小二乘法的核心原理。
最小二乘法的目标是找到一条直线或曲线，使得数据点与拟合线之间的误差平方和最小。
换句话说，最小二乘法在拟合曲线时，会尽量使得实际观测值与拟合值之间的偏差最小化，从而得到更加准确的预测结果。
那么，最小二乘法的具体步骤是什么呢？通常情况下，我们可以按照以下几个步骤进行：1. 收集数据：首先要收集一组相关的数据，通常会包括自变量（即解释变量）和因变量（即要预测的变量）。
这些数据可以通过实验、调查或者从现有数据集中获取。
2. 假设模型：根据收集的数据，我们要假设一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。
这个模型可以是一个简单的线性方程，也可以是一个复杂的非线性方程。
3. 拟合曲线：接下来，我们要使用最小二乘法来找到最佳的拟合曲线。
具体做法是，将观测值代入模型中，计算出拟合值，并计算观测值与拟合值的差异，即残差。
我们希望这些残差的平方和最小，即最小化残差。
4. 参数估计：通过最小化残差来计算拟合曲线的参数估计值。
这些参数估计值代表着最佳的拟合曲线，能够最好地描述观测值和预测值之间的关系。
最小二乘法不仅仅是一个理论的计算方法，它还有着广泛的应用。
下面，我们将通过一个实际的应用示例来进一步说明其用处。
假设我们要研究一个产品的销售情况，我们可以收集到与销售相关的数据，如广告投入和销售额。
通过应用最小二乘法，我们可以建立一个拟合曲线，用来预测不同广告投入下的销售额。
这样一来，我们就可以根据实际的广告投入来预测销售额，从而制定更加科学合理的市场推广策略。
除了此例，最小二乘法还可以应用于其他领域，如经济学中的需求分析、金融学中的资产定价、统计学中的回归分析等等。
最小二乘估计及其应用
最小二乘估计及其应用在许多实际问题中，我们需要从已知的数据集中预测一些未知的结果，这时候统计学中的回归分析就派上用场了。
回归分析旨在通过输入变量（预测因子）和输出变量（预测结果）之间的数学关系，来预测未知值。
其中最小二乘估计（Least Squares Estimation）是回归分析的一种基本方法，也广泛应用于其他实际问题中。
最小二乘估计是一种方法，通过最小化预测数据与实际数据之间的误差平方和来构建回归方程。
这个方法可以用于线性回归和非线性回归，因为这两种回归方法都需要预测数据与实际数据之间的误差平方和尽可能的小。
最小二乘估计的核心思想是，找到一条线/曲线（回归方程），使该线/曲线与每个实际数据点的距离之和最小。
这个距离也称为残差（Residual），表示预测值与真实值之间的差异，而误差平方和则是所有残差平方和的总和。
在线性回归中，最小二乘估计会找到一条直线（回归直线），使得直线上所有数据点到该直线的距离之和最小。
回归方程可以用以下公式表示：y = β0 + β1x其中y是输出变量，β0是y截距，β1是y与x之间的斜率，x是输入变量。
β0和β1的值是通过最小化残差平方和来估计。
非线性回归中，最小二乘估计会找到一条曲线（回归曲线），使得曲线上所有数据点到该曲线的距离之和最小。
在这种情况下，回归方程的形式不再是y=β0 + β1x，而是通过一些非线性函数（如指数、幂函数等）来表示。
这时候，估计β0和β1的完整算法由于模型的非线性而变得更加复杂，但最小二乘估计仍然是其中一个核心算法。
最小二乘估计可以应用于多种实际问题中。
在金融领域，最小二乘估计可用于计算资产回报和风险之间的关系。
在医学研究中，最小二乘估计可用于研究某种疾病与多个因素（如年龄、性别、生活方式）之间的关系。
在电子商务领域，最小二乘估计可用于分析客户购买行为，以制定更有效的市场营销战略。
总的来说，最小二乘估计可以应用于所有需要预测未知值的领域中。
线性回归之最小二乘法
1.最小二乘法的原理最小二乘法的主要思想是通过确定未知参数（通常是一个参数矩阵），来使得真实值和预测值的误差（也称残差）平方和最小，其计算公式为E=\sum_{i=0}^ne_i^2=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2 ，其中 y_i 是真实值，\hat y_i 是对应的预测值。
如下图所示（来源于维基百科，Krishnavedala 的作品），就是最小二乘法的一个示例，其中红色为数据点，蓝色为最小二乘法求得的最佳解，绿色即为误差。
图1图中有四个数据点分别为：(1, 6), (2, 5), (3, 7), (4, 10)。
在线性回归中，通常我们使用均方误差来作为损失函数，均方误差可以看作是最小二乘法中的 E 除以m（m 为样本个数），所以最小二乘法求出来的最优解就是将均方误差作为损失函数求出来的最优解。
对于图中这些一维特征的样本，我们的拟合函数为h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x ，所以损失函数为J(\theta_0,\theta_1)=\sum_\limits{i=0}^m(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))^2=\sum_\limits{i=0}^m(y^{(i)}-\theta_0-\theta_1x^{(i)})^2 （这里损失函数使用最小二乘法，并非均方误差），其中上标(i)表示第 i 个样本。
2.最小二乘法求解要使损失函数最小，可以将损失函数当作多元函数来处理，采用多元函数求偏导的方法来计算函数的极小值。
例如对于一维特征的最小二乘法， J(\theta_0,\theta_1) 分别对 \theta_0 ， \theta_1 求偏导，令偏导等于 0 ，得：\frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial\theta_0}=-2\sum_\limits{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta_0-\theta_1x^{(i)}) =0\tag{2.1}\frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial\theta_1}=-2\sum_\limits{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta_0-\theta_1x^{(i)})x^{(i)} = 0\tag{2.2}联立两式，求解可得：\theta_0=\frac{\sum_\limits{i=1}^m(x^{(i)})^2\sum_\limits{i=1}^my^{(i)}-\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)}\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)}y^{(i)}}{m\sum_\limits{i=1}^m(x^{(i)})^2-(\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)})^2} \tag{2.3}\theta_1=\frac{m\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)}y^{(i)}-\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)}\sum_\limits{i=1}^my^{(i)}}{m\sum_\limits{i=1}^m(x^{(i)})^2-(\sum_\limits{i=1}^mx^{(i)})^2} \tag{2.4}对于图 1 中的例子，代入公式进行计算，得： \theta_0 = 3.5, \theta_1=1.4,J(\theta) = 4.2 。
回归直线方程的公式
回归直线方程的公式回归直线，也被称为最小二乘线，是一种用于估计一组数据值之间真正关系的有效统计技术。
它允许我们建立总体数据的比较和预测，推导出它们之间的相关性及其对应的回归方程。
直线方程是数学中最基础的数学单元，在任何专业的领域都有其重要性，而回归直线方程是描述生物，社会学，经济学等实体领域的最常用的一条直线，它有许多作用。
一般来说，回归直线方程可以用来评估潜在的关系，两个变量之间的因果关系。
回归直线方程的公式已成为各专业研究学术研究的重要参考。
一、回归直线方程的公式回归分析之一是回归直线，它可以用来表示两个变量之间的线性关系，可以用其公式来描述。
回归直线的公式是：y = a + bx。
在这里，y表示输出量，x表示输入量，a和b分别是回归直线的截距和斜率。
二、求解回归直线的公式解决回归直线方程的公式要求分别求解斜率参数b和截距参数a，以如下的数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn为例，用梯度上升法可以求出a和b：（1）求解斜率参数b：b = sum（（xi-X平均）*（yi-y平均））/ sum（（xi-X平均）*（xi-X 平均））（2）求解截距参数a：a = y平均 - b*X平均当上述几步求解完成之后，可以用以下的表达式来表示回归的直线的公式：y = a + bx三、回归直线的特点回归直线有许多特点：1. 回归直线是一条线性方程，由此可以清楚地表示出x和y之间的关系。
2. 根据直线方程，当x给定时，可以预测出y值；当y给定时，可以预测出x值，即可以根据回归直线预测出另一变量的值。
3. 对于已知数据，可以根据拟合度来评估回归直线算出的参数是否准确，从而避免存在过拟合或者欠拟合等情况。
4. 对于已知的数据（x，y），可以对未知数据进行推断，从而对建立线性关系相关的定量分析提供依据。
因此，回归直线方程是分析相关变量关系最基本的途径，它可以用来评估潜在的关系，有着很强的实证性。
熟练掌握回归直线方程的计算公式，可以帮助研究者以更准确的方式看到领域中的客观规律并提出正确的解决方案。
最小二乘法算法
最小二乘法算法概述最小二乘法是一种常见的回归分析方法，用于估计线性回归模型中的未知参数。
该方法通过最小化观测值与模型估计值之间的残差平方和来求解最优参数。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于数据拟合、回归分析、信号处理等领域。
算法原理线性回归模型最小二乘法的基础是线性回归模型，该模型基于以下假设： - 目标变量与自变量之间存在线性关系； - 自变量的观测值是准确的，不存在测量误差； - 目标变量的观测值是独立的，并且具有相同的方差。
线性回归模型可以表示为：y=β0+β1x1+β2x2+...+βn x n+ε其中，y是目标变量，x1,x2,...,x n是n个自变量，β0,β1,β2,...,βn是对应的参数，ε是误差项。
最小二乘法优化目标最小二乘法通过最小化残差平方和来求解最优参数。
假设有m个观测样本(x i1,x i2,...,x in,y i)，对于每个观测样本，可以计算出预测值y î，即：y î=β0+β1x i1+β2x i2+...+βn x in残差r i定义为观测值y i减去预测值y î，即r i=y i−y î。
那么，残差平方和RSS可以表示为：mRSS=∑(y i−y î)2i=1最小二乘法的目标是找到使RSS最小的参数值β0,β1,β2,...,βn。
最小二乘法解法最小二乘法的求解可以通过求解正规方程组来实现。
对于线性回归模型，正规方程组的解为：[β0̂β1̂β2̂...βn̂]=(X T X)−1X T y其中，X是一个m行n+1列的矩阵，每行为观测样本的自变量取值，第一列为全1向量；y是一个m行1列的向量，每行为观测样本的目标变量取值。
算法流程1.准备数据：收集观测样本的自变量和目标变量；2.构建设计矩阵X：将自变量和全1向量组合成一个设计矩阵；3.计算参数估计值：通过计算(X T X)−1X T y求解参数的最优估计值；4.进行预测：利用估计的参数进行目标变量的预测；5.评估模型：计算残差平方和RSS，分析模型的拟合程度。
05_最小二乘法与回归分析
y a1 x1 a2 x2 a3x3
这是三元一次方程组, 理论上讲只要测得三组数据(pH1,A1), (pH2,A2)和(pH3,A3), 就可以 解出三元一次方程组, 算出a1，a2和a3。但是在实验中，常常带有实验误差，只凭三组 测量值进行计算会使结果很不可靠，所以，通常要测量许多组实验数据pH1,A1pH2,A2; 跳转到第一页 pH3A3;…; pHn,An,得到n个方程, 因为n>>3, 该方程组为矛盾方程组, 可用最小二乘法求解。
Q 0 a1
Q 0 a2
…
Q 0 am
解此方程即得参数 aj(j=1,2,…,m) 近似函数 y＝φ(x,a1,a2,…,am) 这就是曲线拟合的最小二乘法原理。
跳转到第一页
应用举例-1
问题: 改变某有色有机酸H2L的溶液的pH，测得溶液的吸光度A，计算该有机酸 的离解常数Ka1，Ka2。 解:根据吸光度的加和性可得： Ａ＝ＡH2L'＋ＡHL'＋ＡL' 将它们用[H+]及Ka1、Ka2表示,则有
由实验测得n组相互独立的实验数据
多元线性回归方程的检验
2 ˆ S y i y i yi y 2 i 1 i 1 n n
[ H ]2 AH 2 A K a1[ H ] AHL K a1K a 2 AL A [ H ]2 K a1[ H ] K a1K a 2
AH2L、AHL和AL为溶液全部以H2L、HL-或L2-形式存在时的吸光度。其中AH2L和AL 都可由实验直接测定，因为在足够高的酸度下，有机酸将全部以H2L形式存在， 这时溶液的吸光度即AH2L；同理, 在足够高的pH值时, 测得的吸光度为AL。所以 只剩下AHL不易测准。
回归直线知识点总结
回归直线知识点总结回归直线的基本概念回归直线通常表示为y = β0 + β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1分别是截距和斜率。
这条直线能够最好地拟合自变量和因变量之间的关系，使得预测结果和实际观测值的差异最小。
通过回归直线，我们可以得到对于自变量的变化，因变量的预测值，从而进行数据分析和预测。
模型的拟合方法回归直线的拟合通常使用最小二乘法来进行。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过求解使得残差平方和最小的参数值来拟合模型。
残差是观测值与拟合值之间的差异，残差平方和就是所有残差平方的和。
通过最小二乘法，我们可以得到最优的回归直线参数估计值。
参数估计在回归直线模型中，我们通常使用最小二乘法来进行参数估计。
最小二乘法通过最小化残差平方和来估计模型的参数值，得到截距和斜率的估计值。
这些参数估计值反映了自变量和因变量之间的关系，可以用来进行预测和模型分析。
模型评估在回归直线模型中，模型的拟合度是一个非常重要的指标。
我们通常使用R方值来评估模型的拟合度，R方值越接近1，说明模型拟合度越好，预测结果与实际观测值的差异越小。
除了R方值，我们还可以使用残差分析、假设检验等方法来评估模型的拟合度和参数的显著性。
应用领域回归直线在实际应用中有着广泛的应用。
在经济学中，回归直线可以用来预测商品价格、需求量等变量之间的关系，在金融学中，可以用来预测股票价格、汇率等变量之间的关系，在医学中，可以用来预测疾病的发展趋势等。
回归直线的应用领域非常广泛，可以用来进行数据的分析和预测。
总结回归直线是统计学中一个非常重要的概念，它在数据分析、模型拟合、预测等领域都有着广泛的应用。
通过回归直线，我们可以得到自变量和因变量之间的关系，进行数据分析和预测。
回归直线的拟合方法通常使用最小二乘法进行，参数估计和模型评估是回归直线分析的重要步骤。
回归直线在经济学、金融学、医学等领域有着广泛的应用，可以用来预测价格、需求量、股票价格、疾病趋势等。
最小二乘法求解线性回归问题
最小二乘法求解线性回归问题最小二乘法是一种求解线性回归问题的常用方法，可以通过求解最小化残差平方和来得到回归系数。
在实际应用中，线性回归问题非常广泛，例如：用于根据人口、GDP等因素预测国家的经济增长；用于预测某个公司未来的销售额等等。
因此，掌握最小二乘法的原理及实现方法对于数据分析人员来说是非常有必要的。
一、线性回归问题的定义首先，我们需要了解什么是线性回归问题。
简单地说，线性回归问题是指在给定的一些输入自变量和输出因变量之间，通过线性函数建立它们之间的联系，然后预测新的自变量所对应的因变量的值。
例如，在预测房屋价格时，我们可以使用房屋面积等自变量来建立一个线性模型，模型的输出为房屋价值。
二、最小二乘法的原理最小二乘法的本质是通过找到一组能够最小化误差平方和的回归系数来进行预测。
对于给定的自变量和因变量，我们假设它们之间存在一个线性关系：$$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_nx_n+\epsilon$$其中，$\beta_0$表示常数项，$\beta_1, \beta_2,...,\beta_n$分别表示$x_1, x_2,...,x_n$的系数，$\epsilon$表示误差。
因此，我们需要求解出这些系数，使得误差平方和最小化。
误差平方和的表达式为：$$S(\beta_i)=\sum_{i=1}^n (y_i-\tilde{y_i})^2 =\sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-\beta_1x_{i1}-\beta_2x_{i2}-...-\beta_nx_{in})^2$$将上述表达式对系数进行求导，并令导数等于0，我们就可以得到最小二乘法的回归系数。
对于任意的自变量$x$，它所对应的因变量$y$的预测值$\tilde{y}$为：$$\tilde{y}=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_nx_n$$三、最小二乘法的实现最小二乘法的实现可以分为两步：Step 1：计算回归系数回归系数的计算可以使用矩阵的形式进行，公式如下：$$\begin{bmatrix}\beta_0 \\\beta_1 \\\beta_2 \\... \\\beta_n \\\end{bmatrix}=(\textbf{X}^T\textbf{X})^{-1}\textbf{X}^T\textbf{y}$$其中，$\textbf{X}$是自变量特征矩阵，形式为$n \times m$，即有$n$个样本和$m$个自变量；$\textbf{y}$是因变量向量，形式为$n \times 1$。
利用最小二乘法求线性回归方程
利用最小二乘法求线性回归方程
利用最小二乘法求线性回归方程 1使离差平方
和（i=1~n）∑（yi-yi'）最小的方法
结论：设回归方程为y'=bx+a;解得
回归直线方程：在一组具有相关关系的变量与数据的（x，y）间，最能体现x,y关系的直线（一条尽可能接近所有数据点的直线）
设回归方程为y'=bx+a;
要使直线最拟合，则使（i=1~n）∑（yi-yi'）最小，但yi-yi'可能为负，无法正确反映整体数据的切合程度，所以用平方，使得∑（yi-yi'）^2最小,由n组xi,yi,最终解得
利用最小二乘法求线性回归方程 1
线性回归模型
用最小二乘法最小化残差得损失函数为
最小化误差：
分别对W,b求偏导得：
对于比较简单的函数，我们令偏导=0就可求出最优值W与b:
其中
但对于下图所示的有多个最优解的情况，我们采用梯度下降法逐步寻找最优值，避免陷入局部最优解，计算量少很多。
多元线性回归最终求得：
推导过程
推导过程可见：。
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3.它与实际收集得到的yi之间偏差是
yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）
这样，用这n个偏差的和来刻画 “各点与此直线的整体偏差” 是比较合适的。
（x2，y2）
(xi ,yi) (x1 ,y1)
yi-(bxi+a)
(x2 ,y2)
因此用 y=bx+a的“整体距离”
表示各点到直线
由于绝对值使得计算不方便，在实际应用 中人们更喜欢用
问题:在一次对人体脂肪含量与年龄关系的研究中， 研究人员获得了一组样本数据：
年 龄
脂 肪
23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
散 点 图
存在样本 点不在直线上
x=27时，y=15.099% x=37时，y=20.901%
可利用回归方程 预测不同年龄段 的体内脂肪含量 的百分比。
（2012山东临沂二模，20,12）假设关于某设备的 使用年限x和所有支出的维修费用y（万元），有如 下表的统计资料：
使用年 限x 维修费 用y
2
2.2
3
3.8
i
i
x
i 1
2
i
nx
2
a y bx
Σ（yi-Yi）的最小值
i=1
n
Σ|yi-Yi|的最小值
i=1
n
Σ（yi-Yi）2的最小值
i=1
n
n ( xi x )( yi y ) 1 b n 2 ( x x ) i 1 a y bx
2 2
2
这样通过求此式的最小值而得到回 归直线的方法，即使得样本数据的 点到回归直线的距离的平方和最小 的方法叫做最小二乘法. 根据有关数学原理推导，a，b的值由下列公式给出
b
x x y
n i 1 i n i 1 i
i
y
2
x y nx y
n
x x
i 1 n
4
5.5
5
6.5
6
7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求： （1）线性回归直线方程 （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
Q y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
2 2
2
yi bxi a
(x1,y1) (xi ， yi) (xn ， yn)
(x2 ， y2)
Q y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
法二
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
法三
1.在散点图中 多取几组点， 确定出几条直 线的方程 2.分别求出各 条直线的斜率、 截距的平均数 3.将这两个平 均数当成回归 方程的斜率与 截距。
法四
法三
1.在散点图中 多取几组点， 确定出几条直 线的方程 2.分别求出各 条直线的斜率、 截距的平均数 3.将这两个平 均数当成回归 方程的斜率与 截距。
法四
最 小 二 乘 法
求回归方程的关键
——如何使用数学方法来刻画“从整体上看， 各点到此直线的距离最小”。
假设两个具有线性相关关系的变量的一组数 据:(x1, y1),(x2, y2),...... (xn, yn) 下面讨论如何表达这些点与一条直线y=bx+a 之间的距离。
23
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60
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9.5
17.8
21.2
25.9
27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据最小二乘法公式， 利用计算机可以求出 其回归直线方程
y 0.577 x 0.48
散 点 图
回 归 直 线
Q y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
2 2
2
yi bxi a
(x1,y1) (xi ， yi) (xn ， yn)
(x2 ， y2)
这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小？即 点到直线 y bx a 的“整体距离”最小.
回 归 直 线
回归直线概念：散点图中心的分布从整体上看 大致是一条直线附近，该直线称为回归直线 求出回归直线的方程 我们就可以比较清楚地了解年龄与体 内脂肪含量之间的相关性
由此可以预测相应年龄段的脂肪含量 那我们又该如何具体求这个回归方程呢？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2
当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数 ； ；
(2)计算 xi 与 yi 的乘积,再求 (3)计算 ；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
13
年 龄 脂 肪
年 龄 脂 肪
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58
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9.5
17.8
21.2
25.9
27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考：将表中的年龄作为x代入回归方程，看看 得出的数值与真实数值之间的关系，从中你体会 到了什么？ y 0.577 x 0.48
？ ？
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强. 回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来刻画应具有怎样的关系？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数基本相同。
法二
1.画一条直线 2.测量出各点 与它的距离 3.移动直线， 到达某一位置 使距离的和最 小，测量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
最小二乘法的公式的探索过程如下：
1.设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
2.设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中a，b是 待定的系数。当变量x取x1，x2，…，xn时，可以得 到 Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）
y
（xi ，yi ） yi-Yi （x1，y1）