运筹学 第06-08章 运输问题 整数规划 动态规划 PPT课件
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《运筹学整数规划》课件
应用案例
生产调度问题的整数规划 模型
交通流优化问题的整数规 划模型
使用整数规划解决生产调度问题， 提高生产效率和资源利用率。
应用整数规划优化交通流，实现 道路拥堵疏导和交通效率提升。
建模思路与求解过程的演示
分享一个实际问题的建模思路和 整数规划的求解过程。
总结
整数规划的意义和局限性
总结整数规划在实际问题中的意义和局限性，并思考其未来发展方向。
求解方法与难点
介绍整数规划的求解方法，以及其中的挑战和难点。
模型建立与求解
1
模型的建立
讲解整数规划模型的建立过程，包括约枚举法和割平面法 Nhomakorabea2
束条件和目标函数的设定。
简要介绍传统的枚举法和割平面法，并
讨论这些方法的优缺点。
3
分支定界法和分支限界法
详细解释分支定界法和分支限界法，并
分支定价法和混合整数线性规划
整数规划的发展趋势
展望整数规划领域未来的发展趋势和可能的研究方向。
《运筹学整数规划》PPT 课件
这是一份关于《运筹学整数规划》的PPT课件，旨在为大家介绍整数规划的定 义、背景和实际应用中的重要性。通过本课件，我们将深入探讨整数规划的 求解方法、工具以及一些实际应用案例。
引言
定义和背景
整数规划的概念和历史背景，为后续内容提供基础。
重要性
探讨整数规划在实际问题中的重要性和应用范围。
4
分享一些实际案例。
介绍分支定价法和混合整数线性规划方 法，以及它们的应用领域。
求解工具
Gurobi的介绍
详细介绍Gurobi求解器，包 括其功能、优势和适用范围。
Gurobi求解整数规划的 步骤
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
运筹学动态规划PPT
动态决策问题的特点： 系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统 所处的状态，不断地做出决策； 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。
多阶段决策问题： 是动态决策问题的一种特殊形式； 在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照时间 进程分为状态相互联系而又相互区别的各个阶段； 每个阶段都要进行决策,目的是使整个过程的决策 达到最优效果。
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
1 D
C3
最短路线为
A→B1→C1 →D
3 1
解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。
第一阶段（C →D）： C 有三条路线到终点D 。
显然有 f1 (C1 ) = 1 ； f1(C2 ) = 3 ； f1 (C3 ) = 4
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
C1
C2 4 C3 3
1 D
3 1
第二阶段（B →C）： B 到C 有六条路线。
4、确定状态转移方程
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态变 量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规 划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是 指从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最优 值，最后写出动态规划基本方程。 以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。由于动 态规划模型与线性规划模型不同，动态规划模型没有统一 的模式，建模时必须根据具体问题具体分析，只有通过不 断实践总结，才能较好掌握建模方法与技巧。
2、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前 一段和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合 起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策的选取 是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不 同的. 3、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是 已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优 策略所经过的各段状态便可逐段变换得到，从而确定 了最优路线。 最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的 性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决 策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优 子策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最 优的。
5 运筹学讲义[目标规划动态规划]PPT课件
![5 运筹学讲义[目标规划动态规划]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e5684381195f312b3169a5c9.png)
n
c kj x j
d
k
d
k
gk (k
1.2 K )
j1
n
a ij x j
( . )bi
(i 1.2 m )
j1
xj 0
(j 1.2 n)
d
k
.
d
k
0
(k
1.2 K )
目标约束
其中：gk为第k个目标约束的预期目标值，
lk
和
lk
为pl
优先因子
对应各目标的权系数。
2x1
2x2
d
d
12
20
3. 目标的优先级与权系数
在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些 目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低 可分别通过优先因子P1,P2,…表示。对于同一层次优先级的不同 目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个 具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。 要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
15
• 线性规划模型存在的局限性：
• 1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际 问题中并非所有约束都需要严格满足。
• 整数规划问题 • 运输问题模型 • 某航运公司承担六个港口城市A、B、C、D、
E、F的四条固定航线的物资运输任务，已知各 条航线的起点、终点城市及每天航班数见表1， 假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市 间的航程天数见表2。 • 又知每条船只每次装卸货的时间各需1天，则该 航运公司至少应配备多少条船，才能满足所有 航线的运货需求？
运筹学导论第八版整数线性规划课件
16
m in z x1 x2 x3 x4 x5 x7 x8
s t x 1 x 2 （1 街 道 A ） x 2 x 3 （1 街 道 B ） 1
街道A
2
街道B
3
街道G 街道H 街道I 街道J 街道K
x 4 x 5 （1 街 道 C ）
x 7 x 8 （1 街 道 D ）
整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变量取 值仅限于0或1。指派问题就是一个0-1规划问题。
运筹学导论第八版整数线性规划
9
8.1 应用实例介绍
1. 资本预算
在个人项目中投资中，既要考虑这些在个人项目中投资的收益， 又要考虑有限的总预算。
例 在一个3年的规划周期内，有5个项目可供选择。下表给出
发射台
覆盖社区
1
1，2
2
2，3，5
3
1，7，9，10
4
4，6，8，9
5
6，7，9，11
6
5，7，10，12，14
7
12，13，14，15
各个社区人口数目
建造费用(百万) 3.6 2.3 4.1 3.15 2.8 2.65 3.1
社区
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
本例还可以用图解法来说明
图中(+) 表示可行整数解。 凑整的(5，0) 不在可行域内，
而C点又不合于条件⑤。
目标函数z的等值线必须向原点平行移动，直到首次遇到带“+”
号B点(x1=4，x2=1)为止。此时，z值就由z=96变到z=90，Δz=9690=6表示利润的降低，这是由于变量的不可分性(装箱)所引起的。
很容易求得最优解为：x1=4.8，x2=0，max z=96
运输问题_整数规划33页PPT
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——Байду номын сангаас 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
运输问题_整数规划
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——Байду номын сангаас 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
运输问题_整数规划
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
运筹学教案(运输问题).ppt
可利用价格表采用 西北角法 最小元素法 伏格尔法 等方法求平衡运输问题的初始调动方案 9
以例子说明表上作业算法 有如下表格描述的平衡运输问题
1
2
3
4
2
7
3
11
20
1 x11
x12
x13
x14
8
4
6
9
20
2 x21
x22
x23
x24
4
3
10
5
40
3 x31
x32
x33
x34
30
25
10
15
10
初始基础可行解—西北角法
15
x32=Min(a3,b2)=25 在三行二列填数25 调整行列供求 a3=25-25=0, b2 =40-25=15 划去已完全满足的第二15列
用同样的方法确定其它数字格的调运量
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
4
6
9 20 10 0
2
10
10
4
3
3 10
25
10
5
5 40 15 5 0
xlk=min(al,bk) （3）同时划去使行或列要求恰好满足的行 或列，调整行列供求量。
（4）重复（1）到（3）从而在m+n-1个方 格上填数字，构成运输问题的初始调运方 案
最小元素：min{cij}=c11=2
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
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9 20
2
4
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以例子说明表上作业算法 有如下表格描述的平衡运输问题
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1 x11
x12
x13
x14
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2 x21
x22
x23
x24
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3 x31
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x33
x34
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初始基础可行解—西北角法
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x32=Min(a3,b2)=25 在三行二列填数25 调整行列供求 a3=25-25=0, b2 =40-25=15 划去已完全满足的第二15列
用同样的方法确定其它数字格的调运量
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3 10
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5 40 15 5 0
xlk=min(al,bk) （3）同时划去使行或列要求恰好满足的行 或列，调整行列供求量。
（4）重复（1）到（3）从而在m+n-1个方 格上填数字，构成运输问题的初始调运方 案
最小元素：min{cij}=c11=2
1
2
3
4
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11 20 0
1 20
8
4
6
9 20
2
4
3
10
运输问题(运筹学教学)演示课件.ppt
精选课件
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
运筹学整数规划PPT课件
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
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6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
整数规划及运输问题优秀课件
分枝定界法
1、先不考虑整数约束，解( IP )的松弛问题( LP )，可 能得到以下情况之一：
⑴.若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停 止计算。
⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则 ( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。
⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件， 转入下一步。为讨论方便，设( LP )的最优解为：
i1
x1x2 1 s.t. x6x7x81
x6 x2 xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题
问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。
拔5名球员上场参赛，要求： （1）中锋只有1人上场 （2）后卫至少有一人上场 （3）只有2号上场，6号才上场 要求平均身高最高，应如何选拔队员？
队 员 1 2 3 4 5 6 7 8
身 高 1.92 1.90 1.88 1.86 1.85 1.83 1.80 1.78
专 长 中 锋中 锋 前 锋前 锋 前 锋后 卫 后 卫后 卫
（ IP） 的 最 优 解
x1≤1
LP1
x1≥2 LP2
为： x1=2， x2 =3,
x1=1, x2=3 Z(1) ＝－16
＃
x1=2, x2=10/3 Z(2) ＝－18.5
x2≤3
x2≥4
Z* = Z(5) ＝－17 以上的求解过程 可以用一个树形
x1≤2
LP3 x1=12/5, x2=3 Z(3) ＝－17.4
min Z x1 5 x 2
x1 x2 2
5
x
1
6 x2
30
运筹学运输问题、整数规划、目标规划和动态规划
整数规划案例一案例二案例三动态规划案例四:某开发区养老保险定量分析模型养老保险属于社会保障系统的重要内容，社会保障系统作为一个国家社会制度的重要组成部分，其内容、形式和其中所使用的各种计算方法不仅关系到国民的自身利益，而且对一个国家的政治和社会经济的发展具有重要的作用。
社会保障系统中所包含的定量分析和计算是多种多样的，主要包括三个方面：第一，对社会保障基金提取量的测算；第二，对职工享受社会保障待遇的标准测算；第三，对社会保障基金各阶段收付额的预测。
基本养老保险金的提取比例一般是一年或若干年调整一次，从数学模型的角度看两者并无实质性区别，这里定义一年为一个阶段。
考虑到养老保险制度是一个长期制度，具体年限并不确定，因而阶段数可以根据实际问题的研究目标制定。
如：要确定10年内各年的提取比例，则阶段数就定为10；也可以将老龄化程度最高、养老保险金支付额最大的年份作为决策过程的终止年。
不失一般性，将整个决策过程定义为n个阶段。
状态变量x k定义为阶段k开始时的储备基金，M是最大储备金额。
为阶段k基本养老保险金按工资总额提取的比例，这一比例也决策变量uk应在一定范围之内。
按照国际标准，提取比例达到20%时即为社会预警线，29%即达到社会承受的极限，因此我们设定R为提取的最大比例，若s为阶段k的k工资总额，则有：d k -xk≤sk•uk≤min{sk•R,dk+dk+1+…+dn+A-xk}其中sk•R就是基本养老保险金所能提取的最大金额。
已知阶段k开始时的储备基金是x k，阶段k的基本养老保险金收入额为s k•u k ，支付额是dk。
假定储备基金的年增值率为ik，考虑资金的时间价值，则阶段末即阶段k+1的初始储备基金为：x k+1=（1+ik）xk+sk•uk-dk，即状态转移方程。
可以看出，k+1阶段的储备基金xk+1完全由k阶段的储备基金xk和基本养老保险金的提取比例uk所决定，与前面的状态和决策无关，即满足无后效性。
《运输问题》课件
动态规划模型
动态规划是一种数学方法，用于解决具有重叠子问题和最 优子结构的问题。在运输问题中，动态规划模型通常用于 解决具有时间序列或阶段性的运输问题。
动态规划模型将运输问题分解为一系列的子问题，并逐一 解决这些子问题以找到最优解。
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的 算法，用于在可接受的时间内找到近 似最优解。在运输问题中，启发式算 法通常用于解决大规模或复杂的运输 问题。
注意事项：载重优化需要考虑货物的特 点和限制条件，如易碎、易燃、易腐蚀 等货物需要特殊处理，同时需要关注货 物的安全性和稳定性，防止发生意外事
故。
时间优化
总结词
时间优化是运输问题中的关键策略，通过合理安排运输时间，降低运输延迟和提高运输效率。
详细描述
时间优化主要考虑如何将运输时间进行合理的安排和管理，以最小化运输延迟和提高运输效率。这需 要考虑运输需求的时间分布、交通状况、天气等多种因素，以及如何合理安排运输计划和调度。
分类
根据货物的需求量、运输能力、运输方式等因素，运输问题可以分为多种类型 ，如产销平衡运输问题、产销不平衡运输问题、多品种运输问题、多模式运输 问题等。
运输问题的特点
01
优化目标
最小化运输成本。
02
03
04
约束条件
货物的需求量、运输能力、时 间限制等。
决策变量
每个运输路线的运输量。
线性规划
运输问题的目标函数和约束条 件都是线性的，可以使用线性
04
运输问题的优化策略
路径优化
总结词
路径优化是运输问题中常用的策略，通 过合理规划运输路线，降低运输成本和 时间。
VS
详细描述
路径优化主要考虑如何选择最佳的运输路 径，以最小化运输时间和成本。这需要考 虑路况、距离、交通状况等多种因素，以 及如何合理安排车辆和人员，确保运输效 率最大化。
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2.重要概念:
➢闭回路 ➢闭回路的顶点
18
为了说明这个特征，我们不加证明的给出一些 概念和结论。下面的讨论建立在运输问题求解作业 数据表中决策变量格的基础上。
定义6.1 在运输问题求解作业数据表的决 策变量格中，凡是能够排列成下列形式的
xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb
或
3.人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
4.运输问题求解的有关概念 考虑产销平衡问题，由于我们关心的量均在数
据表与变量表中，因此考虑把两个表合成一个表, 如下表：运输问题作业平衡表
16
销地
B1
产地
B2
…
Bn
产量
A1
x11
x12
…
x1n
a1
c11
c12
c1n
A2
x21
s.t. x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
5
系数矩阵
1 1 1 00 0 0 0 0 11 1 1 0 0 10 0 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1xBiblioteka 2…x2na2
c21
c22
c2n
┇
┇
┇
┇
┇
┇
Am
xm1
xm2
…
xmn
am
cm1
cm2
cmn
销量
b1
b2
…
bn
17
四、运输基本问题的基本概念
1.运输问题基变量
➢运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的 秩为 m + n -1 ➢运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的
充分必要条件是不含闭回路
9
运输问题变量表
销地
产地 A1 A2 ┇ Am
销量
B1
B2 … Bn
x11
x12 … x1n
x21
x22 … x2n
┇ ┇ ┇┇
xm1
xm2 … xmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2 ┇ am
10
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
m
i=1xij
≤ai i = 1,2,…,m ≤ bj j = 1,2,…,n
第6章 运输问题
§6-1 运输问题的LP模型 §6-2 运输问题的求解—表上作业法 §6-3 运输问题应用—建模
1
§6-1 运输问题的LP模型
一、问题的提出
一般的运输问题就是要解决把某种产 品从若干个产地调运到若干个销地，在每个 产地的供应量与每个销地的需求量已知，并 知道各地之间的运输单价的前提下，如何确 定一个使得总的运输费用最小的方案。
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
11
对于产销平衡问题，运输问题的模型为
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
=ai
i = 1,2,…,m
m
i=1xij =bj j = 1,2,…,n
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
12
在实际问题建模时，还会出现如下一些变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额
6
模型系数矩阵特征
1.共有m+n行，分别表示各 产地和销地；mxn列，分别表示
各变量； 2.每列只有两个 1，其余
为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
7
二、一般运输问题的线性规划模型
假 设 A1, A2,…,Am 表 示 某 物 资 的 m 个 产 地 ； B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地；ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的销量；cij 表示把物资 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。如果a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn ，则称该运输问题
加上 1 个松弛变量，共 n 个。 m i=x1ij ≤ bj
14
三、运输问题的解题思路
1. 运 输 问 题 是 一 种 特 殊 的 线 性 规 划 问 题 ， 在求解时依然可以采用单纯形法的思路， 如图所示。
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
15
2.由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果 直接使用线性规划单纯形法求解计算，则 无法利用这些有利条件。
(1)闭回路均为一封闭折线，它的 每一条边，或为水平的，或为垂直的；
(2)闭回路的每一条边（水平的或 垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶 点（变量格）。
21
关于闭回路有如下的一些重要结论：
x中 psdtc变,(,1量p)xds所eb设,对…是应,x一a的bp个s系,t 闭,数x回pa列csb路,向线，量x性那dc 相么,p关a该bx；d,闭e p回,a…c路,, x该 psetf变,(…中2量),包组若p含所s变t一对线量个应性部组的相分系关x组数ab。构列,成向x闭c量d 回, 路pxae，bf ,,那…p么c,d,
最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可
直接加入（等式或不等式）约束；
(3)产销不平衡的情况。 ➢ 当销量大于产量时可加入一个虚设的产地去
生产不足的物资，这相当于在每一式中加上
1 个松弛变量，共 m 个；
nj=1xij ≤ai
13
➢当产量大于销量时可加入一个虚设的销地 去消化多余的物资，这相当于在每一式中
xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat
其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各
不相同，我们称之为变量集合的一个闭回
路，并将变量称为这个闭回路的顶点
19
例如闭回路 若把闭回路的各变量格看作节点，
在表中可以画出如下形式的闭回路：
闭回路示意图
20
根据定义可以看出闭回路的一些 明显特点：
为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。下面，首 先讨论产销平衡问题。
8
运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量， 根据这个运输问题的要求，可以建立运输变 量表
2
例6.1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销
地的销量和各产地运往个销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运可使总运输 费用最小？
3
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运
输量表：
4
Min Z= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
➢闭回路 ➢闭回路的顶点
18
为了说明这个特征，我们不加证明的给出一些 概念和结论。下面的讨论建立在运输问题求解作业 数据表中决策变量格的基础上。
定义6.1 在运输问题求解作业数据表的决 策变量格中，凡是能够排列成下列形式的
xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb
或
3.人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
4.运输问题求解的有关概念 考虑产销平衡问题，由于我们关心的量均在数
据表与变量表中，因此考虑把两个表合成一个表, 如下表：运输问题作业平衡表
16
销地
B1
产地
B2
…
Bn
产量
A1
x11
x12
…
x1n
a1
c11
c12
c1n
A2
x21
s.t. x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
5
系数矩阵
1 1 1 00 0 0 0 0 11 1 1 0 0 10 0 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1xBiblioteka 2…x2na2
c21
c22
c2n
┇
┇
┇
┇
┇
┇
Am
xm1
xm2
…
xmn
am
cm1
cm2
cmn
销量
b1
b2
…
bn
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四、运输基本问题的基本概念
1.运输问题基变量
➢运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的 秩为 m + n -1 ➢运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的
充分必要条件是不含闭回路
9
运输问题变量表
销地
产地 A1 A2 ┇ Am
销量
B1
B2 … Bn
x11
x12 … x1n
x21
x22 … x2n
┇ ┇ ┇┇
xm1
xm2 … xmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2 ┇ am
10
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
m
i=1xij
≤ai i = 1,2,…,m ≤ bj j = 1,2,…,n
第6章 运输问题
§6-1 运输问题的LP模型 §6-2 运输问题的求解—表上作业法 §6-3 运输问题应用—建模
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§6-1 运输问题的LP模型
一、问题的提出
一般的运输问题就是要解决把某种产 品从若干个产地调运到若干个销地，在每个 产地的供应量与每个销地的需求量已知，并 知道各地之间的运输单价的前提下，如何确 定一个使得总的运输费用最小的方案。
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
11
对于产销平衡问题，运输问题的模型为
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
=ai
i = 1,2,…,m
m
i=1xij =bj j = 1,2,…,n
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
12
在实际问题建模时，还会出现如下一些变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额
6
模型系数矩阵特征
1.共有m+n行，分别表示各 产地和销地；mxn列，分别表示
各变量； 2.每列只有两个 1，其余
为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
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二、一般运输问题的线性规划模型
假 设 A1, A2,…,Am 表 示 某 物 资 的 m 个 产 地 ； B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地；ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的销量；cij 表示把物资 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。如果a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn ，则称该运输问题
加上 1 个松弛变量，共 n 个。 m i=x1ij ≤ bj
14
三、运输问题的解题思路
1. 运 输 问 题 是 一 种 特 殊 的 线 性 规 划 问 题 ， 在求解时依然可以采用单纯形法的思路， 如图所示。
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
15
2.由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果 直接使用线性规划单纯形法求解计算，则 无法利用这些有利条件。
(1)闭回路均为一封闭折线，它的 每一条边，或为水平的，或为垂直的；
(2)闭回路的每一条边（水平的或 垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶 点（变量格）。
21
关于闭回路有如下的一些重要结论：
x中 psdtc变,(,1量p)xds所eb设,对…是应,x一a的bp个s系,t 闭,数x回pa列csb路,向线，量x性那dc 相么,p关a该bx；d,闭e p回,a…c路,, x该 psetf变,(…中2量),包组若p含所s变t一对线量个应性部组的相分系关x组数ab。构列,成向x闭c量d 回, 路pxae，bf ,,那…p么c,d,
最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可
直接加入（等式或不等式）约束；
(3)产销不平衡的情况。 ➢ 当销量大于产量时可加入一个虚设的产地去
生产不足的物资，这相当于在每一式中加上
1 个松弛变量，共 m 个；
nj=1xij ≤ai
13
➢当产量大于销量时可加入一个虚设的销地 去消化多余的物资，这相当于在每一式中
xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat
其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各
不相同，我们称之为变量集合的一个闭回
路，并将变量称为这个闭回路的顶点
19
例如闭回路 若把闭回路的各变量格看作节点，
在表中可以画出如下形式的闭回路：
闭回路示意图
20
根据定义可以看出闭回路的一些 明显特点：
为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。下面，首 先讨论产销平衡问题。
8
运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量， 根据这个运输问题的要求，可以建立运输变 量表
2
例6.1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销
地的销量和各产地运往个销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运可使总运输 费用最小？
3
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运
输量表：
4
Min Z= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23