运筹学 第06-08章 运输问题 整数规划 动态规划 PPT课件
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2.重要概念:
➢闭回路 ➢闭回路的顶点
18
为了说明这个特征，我们不加证明的给出一些 概念和结论。下面的讨论建立在运输问题求解作业 数据表中决策变量格的基础上。
定义6.1 在运输问题求解作业数据表的决 策变量格中，凡是能够排列成下列形式的
xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb
或
s.t. x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
5
系数矩阵
1 1 1 00 0 0 0 0 11 1 1 0 0 10 0 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1
(1)闭回路均为一封闭折线，它的 每一条边，或为水平的，或为垂直的；
(2)闭回路的每一条边（水平的或 垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶 点（变量格）。
21
关于闭回路有如下的一些重要结论：
x中 psdtc变,(,1量p)xds所eb设,对…是应,x一a的bp个s系,t 闭,数x回pa列csb路,向线，量x性那dc 相么,p关a该bx；d,闭e p回,a…c路,, x该 psetf变,(…中2量),包组若p含所s变t一对线量个应性部组的相分系关x组数ab。构列,成向x闭c量d 回, 路pxae，bf ,,那…p么c,d,
最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可
直接加入（等式或不等式）约束；
(3)产销不平衡的情况。 ➢ 当销量大于产量时可加入一个虚设的产地去
生产不足的物资，这相当于在每一式中加上
1 个松弛变量，共 m 个；
nj=1xij ≤ai
13
➢当产量大于销量时可加入一个虚设的销地 去消化多余的物资，这相当于在每一式中
2
例6.1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销
地的销量和各产地运往个销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运可使总运输 费用最小？
3
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运
输量表：
4
Min Z= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
6
模型系数矩阵特征
1.共有m+n行，分别表示各 产地和销地；mxn列，分别表示
各变量； 2.每列只有两个 1，其余
为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
7
二、一般运输问题的线性规划模型
假 设 A1, A2,…,Am 表 示 某 物 资 的 m 个 产 地 ； B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地；ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的销量；cij 表示把物资 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。如果a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn ，则称该运输问题
3.人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
4.运输问题求解的有关概念 考虑产销平衡问题，由于我们关心的量均在数
据表与变量表中，因此考虑把两个表合成一个表, 如下表：运输问题作业平衡表
16
销地
B1
产地
B2
…
Bn
产量
A1
x11
x12
…
x1n
a1
c11
c12
c1n
A2
x21
x22
…
x2n
a2
c21
c22
c2n
┇
┇
┇
┇
┇
┇
Am
xm1
xm2
…
xmn
am
cm1
cm2
cmn
销量
b1
b2
…
bn
17
四、运输基本问题的基本概念
1.运输问题基变量
➢运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的 秩为 m + n -1 ➢运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的
充分必要条件是不含闭回路
为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。下面，首 先讨论产销平衡问题。
8
运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量， 根据这个运输问题的要求，可以建立运输变 量表
xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat
其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各
不相同，我们称之为变量集合的一个闭回
路，并将变量称为这个闭回路的顶点
19
例如闭回路 若把闭回路的各变量格看作节点，
在表中可以画出如下形式的闭回路：
闭回路示意图
20
根据定义可以看出闭回路的一些 明显特点：
第6章 运输问题
§6-1 运输问题的LP模型 §6-2 运输问题的求解—表上作业法 §6-3 运输问题应用—建模
1
§6-1 运输问题的LP模型
一、问题的提出
一般的运输问题就是要解决把某种产 品从若干个产地调运到若干个销地，在每个 产地的供应量与每个销地的需求量已知，并 知道各地之间的运输单价的前提下，如何确 定一个使得总的运输费用最小的方案。
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
11
对于产销平衡问题，运输问题的模型为
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
=ai
i = 1,2,…,m
m
i=1xij =bj j = 1,2,…,n
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
12
在实际问题建模时，还会出现如下一些变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额
加上 1 个松弛变量，共 n 个。 m i=x1ij ≤ bj
14
பைடு நூலகம்
三、运输问题的解题思路
1. 运 输 问 题 是 一 种 特 殊 的 线 性 规 划 问 题 ， 在求解时依然可以采用单纯形法的思路， 如图所示。
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
15
2.由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果 直接使用线性规划单纯形法求解计算，则 无法利用这些有利条件。
9
运输问题变量表
销地
产地 A1 A2 ┇ Am
销量
B1
B2 … Bn
x11
x12 … x1n
x21
x22 … x2n
┇ ┇ ┇┇
xm1
xm2 … xmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2 ┇ am
10
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
m
i=1xij
≤ai i = 1,2,…,m ≤ bj j = 1,2,…,n
➢闭回路 ➢闭回路的顶点
18
为了说明这个特征，我们不加证明的给出一些 概念和结论。下面的讨论建立在运输问题求解作业 数据表中决策变量格的基础上。
定义6.1 在运输问题求解作业数据表的决 策变量格中，凡是能够排列成下列形式的
xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb
或
s.t. x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
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系数矩阵
1 1 1 00 0 0 0 0 11 1 1 0 0 10 0 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1
(1)闭回路均为一封闭折线，它的 每一条边，或为水平的，或为垂直的；
(2)闭回路的每一条边（水平的或 垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶 点（变量格）。
21
关于闭回路有如下的一些重要结论：
x中 psdtc变,(,1量p)xds所eb设,对…是应,x一a的bp个s系,t 闭,数x回pa列csb路,向线，量x性那dc 相么,p关a该bx；d,闭e p回,a…c路,, x该 psetf变,(…中2量),包组若p含所s变t一对线量个应性部组的相分系关x组数ab。构列,成向x闭c量d 回, 路pxae，bf ,,那…p么c,d,
最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可
直接加入（等式或不等式）约束；
(3)产销不平衡的情况。 ➢ 当销量大于产量时可加入一个虚设的产地去
生产不足的物资，这相当于在每一式中加上
1 个松弛变量，共 m 个；
nj=1xij ≤ai
13
➢当产量大于销量时可加入一个虚设的销地 去消化多余的物资，这相当于在每一式中
2
例6.1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销
地的销量和各产地运往个销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运可使总运输 费用最小？
3
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运
输量表：
4
Min Z= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
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模型系数矩阵特征
1.共有m+n行，分别表示各 产地和销地；mxn列，分别表示
各变量； 2.每列只有两个 1，其余
为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
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二、一般运输问题的线性规划模型
假 设 A1, A2,…,Am 表 示 某 物 资 的 m 个 产 地 ； B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地；ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的销量；cij 表示把物资 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。如果a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn ，则称该运输问题
3.人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
4.运输问题求解的有关概念 考虑产销平衡问题，由于我们关心的量均在数
据表与变量表中，因此考虑把两个表合成一个表, 如下表：运输问题作业平衡表
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销地
B1
产地
B2
…
Bn
产量
A1
x11
x12
…
x1n
a1
c11
c12
c1n
A2
x21
x22
…
x2n
a2
c21
c22
c2n
┇
┇
┇
┇
┇
┇
Am
xm1
xm2
…
xmn
am
cm1
cm2
cmn
销量
b1
b2
…
bn
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四、运输基本问题的基本概念
1.运输问题基变量
➢运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的 秩为 m + n -1 ➢运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的
充分必要条件是不含闭回路
为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。下面，首 先讨论产销平衡问题。
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运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量， 根据这个运输问题的要求，可以建立运输变 量表
xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat
其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各
不相同，我们称之为变量集合的一个闭回
路，并将变量称为这个闭回路的顶点
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例如闭回路 若把闭回路的各变量格看作节点，
在表中可以画出如下形式的闭回路：
闭回路示意图
20
根据定义可以看出闭回路的一些 明显特点：
第6章 运输问题
§6-1 运输问题的LP模型 §6-2 运输问题的求解—表上作业法 §6-3 运输问题应用—建模
1
§6-1 运输问题的LP模型
一、问题的提出
一般的运输问题就是要解决把某种产 品从若干个产地调运到若干个销地，在每个 产地的供应量与每个销地的需求量已知，并 知道各地之间的运输单价的前提下，如何确 定一个使得总的运输费用最小的方案。
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
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对于产销平衡问题，运输问题的模型为
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
=ai
i = 1,2,…,m
m
i=1xij =bj j = 1,2,…,n
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
12
在实际问题建模时，还会出现如下一些变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额
加上 1 个松弛变量，共 n 个。 m i=x1ij ≤ bj
14
பைடு நூலகம்
三、运输问题的解题思路
1. 运 输 问 题 是 一 种 特 殊 的 线 性 规 划 问 题 ， 在求解时依然可以采用单纯形法的思路， 如图所示。
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
15
2.由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果 直接使用线性规划单纯形法求解计算，则 无法利用这些有利条件。
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运输问题变量表
销地
产地 A1 A2 ┇ Am
销量
B1
B2 … Bn
x11
x12 … x1n
x21
x22 … x2n
┇ ┇ ┇┇
xm1
xm2 … xmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2 ┇ am
10
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
m
i=1xij
≤ai i = 1,2,…,m ≤ bj j = 1,2,…,n