第4节 电磁感应中的动力学、能量和动量问题

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二
查缺漏——盲点·短板·妙法
返回 “融会贯通”归纳好——“杆＋导轨＋电阻”四种模型剖析
说明
模型一
模型二
模型三
模型四
(v0≠0)
(v0＝0)
(v0＝0)
(v0＝0)
质量为m，电 阻不计的单 杆cd以一定 初速度v0在 光滑水平轨 道上滑动， 两平行导轨 间距为L
轨杆电平为定道c阻行Ld，质水不导拉量平计轨力为光，间Fm滑两距恒，，倾光角c电两轨d质斜滑为阻平间量轨 ， 不 行 距α，为道倾计导为杆m，L ，竖滑量阻平距直，为不行为轨杆m计导L ，道c，轨d电质光两间
解得：v＝12v0⑤ 由能量守恒定律得，最终稳定后电路中产生的电能为 Q＝12mv02－12(m＋m)v2＝14mv02。 (3)由法拉第电磁感应定律得，电路中产生的感应电动势 E＝ΔΔΦt ＝BΔlΔtx⑥ 这段时间内回路的电流为 I ＝2ER⑦ 对 cd 棒由动量定理得：－B I lΔt＝mv－mv0⑧ 由⑤～⑧解得 Δx＝mBR2lv20。⑨ [答案] (1)31B02ml2Rv0 (2)14mv02 (3)mBR2lv20
ma＝F－μmg① 设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有 v＝at0② 当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律， 杆中的电动势为
E＝Blv③ 联立①②③式可得
E＝Blt0mF－μg。④
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(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，
根据欧姆定律
考法(一) 导体棒在磁场中静止
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[例1] (2017·天津高考)如图所示，两根
平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有
电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接
触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。
现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正
确的是
()
A．ab中的感应电流方向由b到a
初速v0，求： (1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小； (2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为多大？
(3)两棒之间距离增长量x的上限。
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[解析] (1)设当cd棒速度减为0.8v0时ab棒的速度为v′，由动量守 恒定律得
mv0＝0.8mv0＋mv′① 解得：v′＝0.2v0 此时回路的电流是I＝Bl0.82－R0.2v0② cd棒的加速度为a＝BmIl③ 解得：a＝31B02ml2Rv0。 (2)设两棒稳定时共同的末速度为v，据动量守恒定律得 mv0＝(m＋m)v④
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例题及相关延伸思考旨在让考生掌握利用动量、能量的
观点解决电磁感应问题，会根据相关条件分析双杆切割磁感
线运动问题，会用“三大力学观点”解决此类问题。
动力学 观点
通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运 动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动， 最终两金属杆以共同的速度匀速运动
(1)末速度的大小v； (2)通过的电流大小I； (3)通过的电荷量Q。
[解析] (1)金属棒做匀加速直线运动，
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根据运动学公式有 v2＝2as
解得 v＝ 2as。
(2)金属棒所受安培力 F 安＝IdB
金属棒所受合力 F＝mgsin θ－F 安
根据牛顿第二定律有 F＝ma
解得 I＝mgsidnBθ－a。
[答案] D
考法(二) 导体棒在磁场中做匀速运动
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[例2] (2016·全国卷Ⅱ)如图，水平面
(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电
阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨
上。t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由
静止开始运动。t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂 直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运
左的初速度v0，在两棒达到稳定的过程中，下列说法正确的是( )
A．两金属棒组成的系统的动量守恒
B．两金属棒组成的系统的动量不守恒
C．ad棒克服安培力做功的功率等于ad棒的发热功率
D．ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与
两棒总发热功率之和
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[解析] 开始时，ad棒以初速度v0切割磁感线，产生感应电动势， 在回路中产生顺时针方向(俯视)的感应电流，ad棒因受到向右的安培力 而减速，bc棒受到向右的安培力而向右加速；当两棒的速度大小相 等，即两棒因切割磁感线而产生的感应电动势相等时，回路中没有感 应电流，两棒各自做匀速直线运动；由于两棒所受的安培力都向右， 两金属棒组成的系统所受合外力不为零，所以该系统的动量不守恒， 选项A错误，B正确。根据能量守恒定律可知，ad棒动能的减小量等于 回路中产生的热量和bc棒动能的增加量，由动能定理可知，ad棒动能 的减小量等于ad棒克服安培力做的功，bc棒动能的增加量等于安培力 对bc棒做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做 功的功率与两棒总发热功率之和，选项C错误，D正确。
动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良
好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：
(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
(2)电阻的阻值。
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[思路点拨]
分别画出金属杆进入磁场前、后的受力示意图，有 助于快速准确的求解问题。
[解析] 二定律得
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(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第
I＝ER⑤ 式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为 F安＝BlI⑥ 因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得
F－μmg－F安＝0⑦
联立④⑤⑥⑦式得
R＝B2ml2t0。⑧ [答案] (1)Blt0mF－μg
(2)B2ml2t0
考法(三) 导体棒在磁场中做加速运动
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[例3] (2018·江苏高考)如图所示，两条平行的光滑金属导轨
考法(三) 三大观点的综合应用 [例3] 如图所示，在大小为B的匀强磁场区
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域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的足
够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导
体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导
体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。设导体棒
可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的
(1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； (2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度 v 多大？ (3)从 cd 开始下滑到 ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离 x＝3.8 m，此过程中 ab 上产生的热量 Q 是多少？
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[解析] (1)由右手定则可判断出 cd 中的电流方 向为由 d 到 c，则 ab 中电流方向为由 a 流向 b。
第4节
电磁感应中的动力学、能量和 动量问题
目录
一 研究好——题型·考法·技巧 二 查缺漏——盲点·短板·妙法 三 课时跟踪检测
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一 研究好——题型·考法·技巧
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高考对本节内容的考查常以压轴计算题的形式呈现， 即便以选择题的形式考查，通常题目难度也较大，因为这 类题目可以说是以电磁感应为载体，把直线运动、相互作 用、牛顿运动定律、机械能、动量、电路、磁场，甚至包 括电场和交变电流等力学、电学知识全部综合到一起进行 考查。
所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d。导轨处于匀强磁场中，
磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的金属棒
被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使
金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下
滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到
底端的过程中，金属棒
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02
考点二
电磁感应中的能量与动量问题
[多维探究类]
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考法(一) 电磁感应中的能量问题 [例 1] 如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 θ＝
30°的斜面上，导轨电阻不计，间距 L＝0.4 m，导轨所在空间被分成 区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为 MN。Ⅰ中的匀强磁场方 向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感
应强度大小均为 B＝0.5 T。在区域Ⅰ中，将质量 m1＝0.1 kg、电阻 R1＝0.1 Ω 的金属条 ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑。然后，在区域
Ⅱ中将质量 m2＝0.4 kg、电阻 R2＝0.1 Ω 的光滑导体棒 cd 置于导轨
返回 上，由静止开始下滑。cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中， ab、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取 g＝10 m/s2， 问：
考法(二) 电磁感应中的动量问题
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[例2] (多选)如图，在水平面内固定有两根
相互平行的无限长光滑金属导轨，其间距为L，
电阻不计。在虚线l1的左侧存在竖直向上的匀强
磁场，在虚线l2的右侧存在竖直向下的匀强磁
场，两部分磁场的磁感应强度大小均为B。ad、bc两根电阻均为R的
金属棒与导轨垂直，分别位于两磁场中，现突然给ad棒一个水平向
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此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，
由平衡条件有F安＝m1gsin θ＋Fmax⑤ 百度文库合①②③④⑤式，代入数据解得v＝5 m/s。
(3)设cd棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒
定律有m2gxsin θ＝Q总＋12m2v2
又Q＝R1R＋1R2Q总 解得Q＝1.3 J。 [答案] (1)由a流向b
(2)5 m/s
(3)1.3 J
[题型技法] 电磁感应问题中的能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
其他形式 的能量
克服安培 ―力―做――功→
电 能
电流做功 ――――→
焦耳热或其他 形式的能量
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(2)求解焦耳热Q的三种方法
焦耳定律 Q＝I2Rt
功能关系 Q＝W克服安培力
能量转化 Q＝ΔE其他能的减少量
B．ab中的感应电流逐渐减小
C．ab所受的安培力保持不变
D．ab所受的静摩擦力逐渐减小
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[解析] 根据楞次定律，可判断ab中感应电流方向从a到b，A 错误；磁场变化是均匀的，根据法拉第电磁感应定律，感应电动 势恒定不变，感应电流I恒定不变，B错误；安培力F＝BIL，由于 I、L不变，B减小，所以ab所受的安培力逐渐减小，根据力的平衡 条件，静摩擦力逐渐减小，C错误，D正确。
(2)开始放置时 ab 刚好不下滑，ab 所受摩擦力为 最大静摩擦力，设其为 Fmax，有 Fmax＝m1gsin θ①
设 ab 刚要上滑时，cd 棒的感应电动势为 E，由法拉第电磁感应 定律有 E＝BLv②
设电路中的感应电流为 I，由闭合电路欧姆定律有 I＝R1＋E R2③ 设 ab 所受安培力为 F 安，有 F 安＝BIL④
(3)金属棒的运动时间 t＝av，
通过的电荷量 Q＝It
解得
Q＝mgsin
θ－a dBa
2as。
[答案]
mgsin θ－a (1) 2as (2) dB
mgsin θ－a 2as
(3)
dBa
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[易错提醒] 导体棒或线框做匀变速直线运动时，才能应用牛 顿第二定律和运动学公式解题，如果是加速度变化的 问题，一般要应用能量或动量观点。
[答案] BD
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[延伸思考] (1)双棒稳定时，是否还受安培力？ (2)若ad、bc棒的质量分别为m、2m，则两棒达到稳定时 的速度为多大？ (3)接(2)问中，ad棒向左运动的过程中，ad棒产生的总焦 耳热是多少？ 提示：(1)稳定时，产生电动势相等，回路中无感应电 流，不受安培力。
(2)稳定时，va＝vb，由动量定理 对ad棒：－B I Lt＝mva－mv0 对bc棒：B I Lt＝2mvb－0 得va＝vb＝13v0 (3)对系统应用能量守恒定律 Q总＝12mv02－12mva2－12×2mvb2 由公式Q＝I2Rt得：QQ总a ＝2RR＝12 则Qa＝16mv02。
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0 1
考点一
电磁感应中的动力学问题
[多维探究类]
1．两种状态及处理方法
状态
特征
处理方法
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平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
根据牛顿第二定律结合运动 非平衡态 加速度不为零
学公式进行分析
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2．抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流 I、 切割速度 v，“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
能量 其中一个金属杆机械能的减少量等于另一个金属杆 观点 机械能的增加量与回路中产生的焦耳热之和
动量 观点
对于两导体棒在平直的光滑导轨上运动的情况，如 果两棒所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒 定律处理问题
由BL·Δt＝m·Δv、q＝·Δt可知，当题目中涉及电荷 量或平均电流时，可应用动量定理来解决问题