中考数学总复习《第二十九讲相似三角形》基础演练新人教版
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《第二十九讲 相似三角形》基础演练
【基础演练】
1．(2012 ·陕西 ) 如图，在△ ABC中， AD， BE是两条中线，则 S ∶ △EDC
S ＝ △ABC
()
A． 1∶2
B． 2∶ 3
C． 1∶3
D． 1∶ 4
解析 ∵ AD、 BE是两条中线，
∴ DE是△ ABC的中位线， DE 1
∴ DE∥AB， AB＝2，∴△ EDC∽△ ABC，
CED＝∠ AEB，
在 BC上，顶点 G、 H分别在 AC、 AB上， AD与 HG的交点为 M. 求矩形的长与宽．
解 ∵四边形 EFGH为矩形，∴ HG∥EF，
∴△ AHG∽△ ABC，又∵ AD⊥ BC，∴ AM⊥ HG，
AM HG ∴ AD＝ BC
∵四边形 HEDM为矩形，
∴ MD＝HE，
∵ HG＝2HE，设 HE＝ x，则 HG＝ 2x，DM＝ x，
求证： (1) CG＝ BH， (2) FC2＝ BF· GF，
FC2 GF (3) AB2＝ GB.
顶点 A，再用皮尺量得 DE＝ 2.7 m，观测者目高 CD＝ 1.6 m，则树高 AB约是 ________．( 精
确到 0.1 m)
解析 由题意知∠ CDE＝∠ ABE＝ 90°，又由光的反射原理可知∠ CD AB 1.6 AB
∴△ CED∽△ AEB. ∴ DE＝BE，∴ 2.7 ＝ 8.7 ， ∴ AB≈5.2 米． 答案 5.2 m 8．如图，△ ABC是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边 BC 上的高， BC＝ 40 cm， AD＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下 一个长 HG是宽 HE的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF
________．
AE 2
解析
△
AFE∽△
CDE，
EC＝
为相似比，所以面积比为相似比 5
4
AF AE 2
的平方，即
. 25
由比例式
DC＝ EC＝ 5，所以
AF＝ 4，则
BF＝6.
4 答案 25 6
10．(2012 ·日照中考 ) 如图，在正方形 ABCD中， E 是 BC上的一点，连结 AE，作 BF⊥AE， 垂足为 H，交 CD于 F，作 CG∥ AE，交 BF于 G.
(1) 证明 连接 OD，∵ OB＝OD，
∴∠ OBD＝∠ ODB.
∵ BD平分∠ ABC，
∴∠ ABD＝∠ DBC，
∴∠ ODB＝∠ DBC，
∴ OD∥BC.
又∠ C＝90°，∴ OD⊥ AC，∴ AC是⊙ O的切线．
(2) 解 ∵ OD∥ BC，∴△ AOD∽△ ABC，
OD AO r 10－ r
DC× BC
S 2 △CDB
1
∴
S＝ △ABD
1
＝ 2，
AB× BC
2
S△ AEF
11
∴
＝ ＝ ，故选 C
S 3＋ 2 多边形 BCDFE 5
答案 C 6．(2012 ·衢州 ) 如图， 在 Rt △ ABC中，∠ C＝90°，∠ ABC
的平分线交 AC于点 D，点 O是 AB上一点， ⊙ O过 B、D 两点，且分别交 AB、 BC于点 E、 F. (1) 求证： AC是⊙ O的切线； (2) 已知 AB＝ 10， BC＝ 6，求⊙ O的半径 r .
S△EDC ED 2 1 2 1
∴
S＝ △ABC
AB
＝
2
＝ 4.
故选 D.
答案 D
2. (2012 ·北海 ) 如图，梯形 ABCD中 AD∥ BC，对角线 AC、 BD
相交于点 O，若 AO∶ CO＝2∶3， AD＝ 4，则 BC等于
()
A． 12
B．8
C． 7
D． 6
解析 ∵梯形 ABCD中 AD∥BC， ∴∠ ADO＝∠ OBC，∠ AOD＝∠ BOC，
解析 因为△ ABC∽△ DEF，所以△ ABC与△ DEF的面积比等于相似比的平方，
22 因为 S△ ABC∶ S ＝ △DEF 4∶25＝ 5 ，所以△ ABC与△ DEF的相似比为 2∶5.
答案 2∶５
4．(2012 ·孝感 ) 如图，在 △ABC中， AB＝AC，∠ A＝ 36°， BD 平
∴
30－ 30
x ＝
2x 40，解得
x＝ 12，
∴ HG＝2×12＝ 24，
∴矩形的长和宽分别为 24 cm 和 12 cm.
【能力提升】
9．如图，在平行四边形 ABCD中， CD＝ 10， F 是 AB边上一点， DF
AE 2
S△ AEF
交
AC于点
E，且
EC＝
5，则
S△
＝Baidu Nhomakorabea
CDE
________
，
BF＝
∴△ AOD∽△ COB，∵ AO∶CO＝2∶3， AD＝ 4，
AD AO 2 4 2 ∴ BC＝ CO＝ 3，∴ BC＝ 3，解得 BC＝ 6.
故选 D.
答案 D
3．(2012 ·张家界 ) 已知△ ABC与△ DEF相似且面积比为 4∶25，则△ ABC与△ DEF的相似比
为 ________．
整理得： x2＋ 2x－ 4＝ 0，解得： x＝－ 1± 5 ，
∵ x 为正数，∴ x＝－ 1＋ 5. 故选 C.
答案 C
5．(2012 ·宜宾 ) 如图，在四边形 ABCD中， DC∥AB， CB⊥ AB，
1 AB＝ AD，CD＝ 2AB，点 E、F 分别为 AB、AD的中点， 则△ AEF
与多边形 BCDFE的面积之比为
分∠ ABC交 AC于点 D，若 AC＝ 2，则 AD的长是
(
)
5－ 1 A.
2
5＋ 1 B.
2
C. 5－ 1
D. 5＋ 1
解析 ∵∠ A＝∠ DBC＝ 36°，∠ C为公共角，
∴△ ABC∽△ BDC，且 AD＝BD＝ BC.
设 BD＝x，则 BC＝ x， CD＝2－ x.
BC AC
x2
由于 CD＝ BC，∴ 2－x＝ x，
15
∴ BC＝ AB，∴ 6＝ 10 ，解得 r ＝ 4 .
7．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据
光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：
把镜子放在离树
( AB)8.7 m 的点 E 处，然后观测者沿着直线 BE后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢
()
1
1
1
1
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
解析 连结 BD
∵ E、 F 分别为 AB、 AD中点，
1 ∴ EF＝2BD EF∥BD，
∴△ AEF∽△ ABD，
S△AEF EF 2 1
S△ AEF
1
∴
S＝ △ABD
BD
＝
4，∴
S四边形
＝
EFDB
3，
1 ∵ CD＝2AB， CB⊥DC， AB∥CD，
1
【基础演练】
1．(2012 ·陕西 ) 如图，在△ ABC中， AD， BE是两条中线，则 S ∶ △EDC
S ＝ △ABC
()
A． 1∶2
B． 2∶ 3
C． 1∶3
D． 1∶ 4
解析 ∵ AD、 BE是两条中线，
∴ DE是△ ABC的中位线， DE 1
∴ DE∥AB， AB＝2，∴△ EDC∽△ ABC，
CED＝∠ AEB，
在 BC上，顶点 G、 H分别在 AC、 AB上， AD与 HG的交点为 M. 求矩形的长与宽．
解 ∵四边形 EFGH为矩形，∴ HG∥EF，
∴△ AHG∽△ ABC，又∵ AD⊥ BC，∴ AM⊥ HG，
AM HG ∴ AD＝ BC
∵四边形 HEDM为矩形，
∴ MD＝HE，
∵ HG＝2HE，设 HE＝ x，则 HG＝ 2x，DM＝ x，
求证： (1) CG＝ BH， (2) FC2＝ BF· GF，
FC2 GF (3) AB2＝ GB.
顶点 A，再用皮尺量得 DE＝ 2.7 m，观测者目高 CD＝ 1.6 m，则树高 AB约是 ________．( 精
确到 0.1 m)
解析 由题意知∠ CDE＝∠ ABE＝ 90°，又由光的反射原理可知∠ CD AB 1.6 AB
∴△ CED∽△ AEB. ∴ DE＝BE，∴ 2.7 ＝ 8.7 ， ∴ AB≈5.2 米． 答案 5.2 m 8．如图，△ ABC是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边 BC 上的高， BC＝ 40 cm， AD＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下 一个长 HG是宽 HE的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF
________．
AE 2
解析
△
AFE∽△
CDE，
EC＝
为相似比，所以面积比为相似比 5
4
AF AE 2
的平方，即
. 25
由比例式
DC＝ EC＝ 5，所以
AF＝ 4，则
BF＝6.
4 答案 25 6
10．(2012 ·日照中考 ) 如图，在正方形 ABCD中， E 是 BC上的一点，连结 AE，作 BF⊥AE， 垂足为 H，交 CD于 F，作 CG∥ AE，交 BF于 G.
(1) 证明 连接 OD，∵ OB＝OD，
∴∠ OBD＝∠ ODB.
∵ BD平分∠ ABC，
∴∠ ABD＝∠ DBC，
∴∠ ODB＝∠ DBC，
∴ OD∥BC.
又∠ C＝90°，∴ OD⊥ AC，∴ AC是⊙ O的切线．
(2) 解 ∵ OD∥ BC，∴△ AOD∽△ ABC，
OD AO r 10－ r
DC× BC
S 2 △CDB
1
∴
S＝ △ABD
1
＝ 2，
AB× BC
2
S△ AEF
11
∴
＝ ＝ ，故选 C
S 3＋ 2 多边形 BCDFE 5
答案 C 6．(2012 ·衢州 ) 如图， 在 Rt △ ABC中，∠ C＝90°，∠ ABC
的平分线交 AC于点 D，点 O是 AB上一点， ⊙ O过 B、D 两点，且分别交 AB、 BC于点 E、 F. (1) 求证： AC是⊙ O的切线； (2) 已知 AB＝ 10， BC＝ 6，求⊙ O的半径 r .
S△EDC ED 2 1 2 1
∴
S＝ △ABC
AB
＝
2
＝ 4.
故选 D.
答案 D
2. (2012 ·北海 ) 如图，梯形 ABCD中 AD∥ BC，对角线 AC、 BD
相交于点 O，若 AO∶ CO＝2∶3， AD＝ 4，则 BC等于
()
A． 12
B．8
C． 7
D． 6
解析 ∵梯形 ABCD中 AD∥BC， ∴∠ ADO＝∠ OBC，∠ AOD＝∠ BOC，
解析 因为△ ABC∽△ DEF，所以△ ABC与△ DEF的面积比等于相似比的平方，
22 因为 S△ ABC∶ S ＝ △DEF 4∶25＝ 5 ，所以△ ABC与△ DEF的相似比为 2∶5.
答案 2∶５
4．(2012 ·孝感 ) 如图，在 △ABC中， AB＝AC，∠ A＝ 36°， BD 平
∴
30－ 30
x ＝
2x 40，解得
x＝ 12，
∴ HG＝2×12＝ 24，
∴矩形的长和宽分别为 24 cm 和 12 cm.
【能力提升】
9．如图，在平行四边形 ABCD中， CD＝ 10， F 是 AB边上一点， DF
AE 2
S△ AEF
交
AC于点
E，且
EC＝
5，则
S△
＝Baidu Nhomakorabea
CDE
________
，
BF＝
∴△ AOD∽△ COB，∵ AO∶CO＝2∶3， AD＝ 4，
AD AO 2 4 2 ∴ BC＝ CO＝ 3，∴ BC＝ 3，解得 BC＝ 6.
故选 D.
答案 D
3．(2012 ·张家界 ) 已知△ ABC与△ DEF相似且面积比为 4∶25，则△ ABC与△ DEF的相似比
为 ________．
整理得： x2＋ 2x－ 4＝ 0，解得： x＝－ 1± 5 ，
∵ x 为正数，∴ x＝－ 1＋ 5. 故选 C.
答案 C
5．(2012 ·宜宾 ) 如图，在四边形 ABCD中， DC∥AB， CB⊥ AB，
1 AB＝ AD，CD＝ 2AB，点 E、F 分别为 AB、AD的中点， 则△ AEF
与多边形 BCDFE的面积之比为
分∠ ABC交 AC于点 D，若 AC＝ 2，则 AD的长是
(
)
5－ 1 A.
2
5＋ 1 B.
2
C. 5－ 1
D. 5＋ 1
解析 ∵∠ A＝∠ DBC＝ 36°，∠ C为公共角，
∴△ ABC∽△ BDC，且 AD＝BD＝ BC.
设 BD＝x，则 BC＝ x， CD＝2－ x.
BC AC
x2
由于 CD＝ BC，∴ 2－x＝ x，
15
∴ BC＝ AB，∴ 6＝ 10 ，解得 r ＝ 4 .
7．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据
光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：
把镜子放在离树
( AB)8.7 m 的点 E 处，然后观测者沿着直线 BE后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢
()
1
1
1
1
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
解析 连结 BD
∵ E、 F 分别为 AB、 AD中点，
1 ∴ EF＝2BD EF∥BD，
∴△ AEF∽△ ABD，
S△AEF EF 2 1
S△ AEF
1
∴
S＝ △ABD
BD
＝
4，∴
S四边形
＝
EFDB
3，
1 ∵ CD＝2AB， CB⊥DC， AB∥CD，
1