用三线摆测量转动惯量

图3-2-1三线摆实验装置示意图

图3-2-2 三线摆原理图

用三线摆测量转动惯量

转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。 一. 实验目的

1. 学会正确测量长度、质量和时间。

2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。 二. 实验仪器

三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。 三. 实验原理

图3-2-1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处

于悬挂状态，并可绕OO ‘

轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。

设下圆盘质量为0m ，当它绕OO ＇扭转的最大角位移为o θ时，圆

盘的中心位置升高h ，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：

gh m E P 0= （g 为重力加速度）

当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速

度为

0ω，重力势能被全部转变为动能，有：

20021ωI E K =

式中0I 是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO ‘

轴的转动惯量。

如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：

200021ωI gh m =

（3-2-1）

设悬线长度为l ，下圆盘悬线距圆心为R 0，当下圆盘转过一角度

0θ时，从上圆盘B 点作下圆盘垂线，与升高h 前、后下圆盘分别交于C 和C 1，如图3-2-2所示，则：

1

2

!21)()(BC BC BC BC BC BC h +-=

-=

22222)()()()(r R AC AB BC --=-=

∴

10

2

102sin 4)cos 1(2BC BC Rr BC BC Rr h +=+-=θθ

在扭转角

0θ很小，摆长l 很长时，sin 22

θθ≈

，而BC+BC 1≈2H ，其中

)

cos 2()()()(022********θRr r R C A B A BC -+-=-=

H=22)(r R l -- （H 为上下两盘之间的垂直距离）

则

H Rr h 220θ=

（3-2-2） 由于下盘的扭转角度0θ很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角

位移与时间的关系是

t T 002sin

π

θθ=

式中，θ是圆盘在时间t 时的角位移，0θ是角振幅，0T 是振动周期，若认为振动初位

相是零，则角速度为：

t T T dt d 0002cos 2ππθθω==

经过平衡位置时

002θπ

ωT =

（3-2-3）

将（3-2-2）、（3-2-3）式代入（3-2-1）式可得

2

02004T H gRr m I π=

（3-2-4）

实验时，测出0m 、H r R 、、及0T ，由（3-2-4）式求出圆盘的转动惯量0I 。在下盘

上放上另一个质量为m ，转动惯量为I （对OO ′轴）的物体时，测出周期为T ，则有

2

2

004)(T H gRr m m I I π+=+ （3-2-5）

从（3-2-5）减去（3-2-4）得到被测物体的转动惯量I 为

])[(42

00202

T m T m m H gRr I -+=π （3-2-6）

在理论上，对于质量为m ，内、外直径分别为d 、D 的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的

转动惯量为)(81

])2()2[(212222D d m D d m I +=+=。而对于质量为0m 、

直径为0D 的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为2

0081D m I =。

四. 实验内容

测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量

1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm 左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。

2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间

0t ，重复

测量5次求平均值0t

，计算出下盘空载时的振动周期T 0。

3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t ，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T 。

4. 测出圆环质量（m ）、内外直径（d 、D ）及仪器有关参量（

H r R m 和,,0等）

。

图3-2-3 下盘悬点示意图

因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3-2-3）。若测得两悬点间的距离为L ，则圆盘的有效半径R （圆心到悬点的距离）等于 L/3。

5.将实验数据填入下表中。先由（3-2-4）式推出

0I 的相对不确

定度公式，算出0I 的相对不确定度、绝对不确定度，并写出0I 的测

量结果。再由（3-2-6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I ，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I 的测量结果。

五. 实验数据处理

1. 实验数据表格

下盘质量=0m g ， 圆环质量=m g

待 测 物

体 待 测 量 测 量 次 数

平均值 1

2

3

4

5

上 盘

半 径 R （m ）

下 盘

有效半径

3

L

R =（cm ）

周 期=0T 0t /50 （S ）

上、下盘

垂直距离H （cm ） 圆 环

内 径d （cm ）

外 径D （cm ）

下盘加圆

环

周 期=T t /50（S ）

2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：

下盘:

=__

0I 2

cm g ⋅, =∆___

0I 2cm g ⋅

0I ＝00I I ∆±＝( ± ) 2

cm g ⋅

圆环: __I ＝ 2cm g ⋅, ___

I ∆＝ 2

cm g ⋅

I ＝)(I I ∆±＝ ± （g.C 2

m ）

六.问题讨论

1. 在本实验中，计算转动惯量公式中的R 0，是否就是下盘的半径? 它的值应从何处测量到何处?

2. 2. 当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测

量?