自控原理习题解答

C22
=
d ds
[ F (s)i(s
−
s2 )2
] s = s2
L[e−αt ] = 1
s +α
L[t ne−αt ] =
n!
(s + α )n+1
解2-1（a）
Uc
=
R2
+
R2
+
1 sC2
1
+
R1
1 sC1
sC2
R1
+
1 sC1
Ur
+
Ui -
G(s) = Uc =
R2
+
1 sC2
Ur
R2
+
1 sC2
X2(s)
X3(s)
k2
k5 k3/s
C(s)
k4/(Ts+1)
C(s)
X4(s)
X5(s)
②系统的传递函数
C(s) = R(s)
k3k4
(τ
s
+
k1
)ik2
i 1
s(Ts +1) + k3k4k5
s(Ts +1)
k3k4
1
+
(τ
s
+
k1
)ik2
i 1
s(Ts +1) + k3k4k5
=
k2k3k4 (τ s + k1)
解：将系统开环传递函数与二阶系统典型开环传递函
数比较： 所以：
G(s) =
ωn2
s(s + 2ζωn )
ωn = 10K
2ζωn = 10 ζωn = 5
ζ= 5
10K
−πζ
σ = e 1−ζ 2 ×100%
tp
=π ωd
=
ωn
π 1−ζ 2
tS
(5%)
≈
3
ζωn
分别将K＝10 ，K＝20代入计算，结果如下：
解2-9（b）
R(s)
+
C(s)
G1
+
G2
G3
∴ C(s) = G1 − G2 R(s) 1− G2G3
2-11 系统结构如图所示,试求出系统的传递函数。
R+
G1
+
+
H2
①
G2
G3
C
②+
H1
G4
(a)
解：把局部反馈支路分开，并把分支点1后移到2
∴
G(s)
=
G4
+
1+
G2H1
+
G1G2G3 G2G3H2
⎡
⎤
∴CN
(s)
=ຫໍສະໝຸດ Baidu
⎢ ⎢(1 + ⎢ ⎢⎣
G1G3G4
+
G1G2G4 1+ G2H1
)i 1
+
G1G3
1 +
1
G1G2 + G2H1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
N
(s)
= 1+ G2H1 + G1G2G4 + G1G3G4 + G1G2G3G4H1 N (s) 1+ G1G3 + G2H1 + G1G2 + G1G2G3H1
x3 (t) = k 2 x2 (t)
R(s) − C(s) = X1(s) τ sX1(s) + k1X1(s) = X 2 (s) (τ s + k1) X1(s) = X 2 (s)
k2 X2(s) = X3(s)
x4 (t) = x3 (t) − k5c(t)
dx5 (t) dt
=
k3 x4
=
s2
+
K1ωn2 2ζωn s
+ ωn2
∴C(s)
=
s(s2
+
K1ωn2 2ζωn s
+ ωn2 )
= K1 + Bs + C s s2 + as + K2
h(∞)
=
lim
s→0
sC
(s)
=
K1
=
Φ(0)
K1 = 2
3-7解（续） 利用超调量的计算公式
−πζ
σ % = e 1−ζ 2 ×100%
s(s + 1)
Kts
1.试分析速度反馈系数Kt对系统稳定性的影响。 2.试求KP、Kv、Ka并说明内反馈对稳态误差的影响。 解: 1.如果没有内反馈，系统的开环和闭环传递函数为
− G1G2 H1
2-11(b)
R+
①
G4
+
G1
+
C G2
②
G3
解：把综合点2移到1，并合并
∴ G(s) = C(s) = (G4 +1)( G1G2 ) R(s) G1 1+ G1G2G3
= G2 (G1 + G4 ) 1+ G1G2G3
2-12
试写出系统在输入R(s)及扰动N(s)同时作用下输出 C(s)的表达式。
C2
-
-
G(s)
= Uc Ur
=
R2
+
R2
+
1 sC2
1 sC2
+
R1
+
1 sC1
−
=
(R1
R2C1C2s2 + C1s + R2)C1C2s2 + (C1 +C2)s
2-2
求图示运算放大电路的传递函数 （放大器视为理想放大器）
R2
G(s) = Uo(s) Ui (s)
Ui R1 -Uo
+
RU
解2-2（a）
+
R1
1 sC1
R1
+
1 sC1
=
s2C1C2 R1R2 + (R1C1 + R2C2 )s +1
s2C1C2 R1R2 + (R1C1 + R1C2 + R2C2 )s +1
C1
+
R1
R2
Uo
C2
-
解2-1（b）
Uc
=
R2
+
R2
+
1 sC2
1 sC2
+
R1
+
1 sC1
Ur
R1
+
+
C1 Ui
R2 Uo
第一、二章习题解答
作业
Ø1-3晶体管稳压电源如图所示，画出其方框图，并说 明电路中哪些元件起着测量、放大、执行的作用，系 统的给定值、输出量、干扰量分别是什么？
+
T1
+
R1
R2
R3
Ui
T2 +A
RL
U0
Uw
R4
–
–
–
解答：
输入量 T2 UW –
放大 元件
T1T2
执行 元件
T1
干扰量
被控 对象
RL
输出量 Uo
R4 R3 + R4
测量元件
干扰量为电源电压U1波动和负载波动
2-1
求图示RC电路的传递函数 G(s) = Uo (s)
Ui (s)
C1
+
Ui
R1
R2
C2
++
R1 +
C1
Uo
Ui
R2 Uo
C2
-
--
-
（a）
（b）
补充题3-2，求拉氏反变换
F (s)
=
s2 s2
+ 3s + 2s
+ +
3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为
1.
G(s) =
100
s(s 2 + 8s + 24)
3.
G(s)
=
(s + 2) s(s + 0.5)(s + 1)
2. G(s) = 10(s + 1)
s(s + 5)(s −1)
试判别系统的稳定性。
解： 1. D(s) = s3 + 8s2 + 24s +100 = 0 ∵各项系数均大于0，且a1a2>a0a3，故系统稳定。
K1K2 s
Gn (s)
−
K4
=
0
Gn (s)
=
K4s K1K2
2-9
Ø简化图中各系统结构图，并求出传递函数
R(s)+
G1
+
C(s)
R(s)
+
+
G1
C(s)
Ⅰ
G2
+
①
G2
+
G3
Ⅱ
G3
G4
解2-9（a）
R(s)+
G1 G2 + G3 G4
+ C(s) +
∴ C(s) =
G1 + G2
R(s) 1+ (G1 + G2 )(G3 − G4 )
有lnσ = − πζ ⇒
1−ζ 2
（lnσ）2 =
− π 2ζ 2 1−ζ 2
⇒（lnσ）2 −（lnσ）2ζ
2
=π
2ζ
2
∴ζ =
（lnσ）2 π 2 +（lnσ）2
=
0.552
利用峰值时间的计算公式有
ωn =
tp
π =18.838 1−ζ 2
故开环传递函数
G(s) = 354.87 s(s + 20.80)
K
ζ
ωn
σ％
tp
ts
10s-1 0.5 10rad/s 16.3% 0.363s 0.6
20s-1 0.35 14.1rad/s 30.3% 0.238s 0.6
从表中可知，K值增大，即系统开环增益增大，系 统阻尼比减小，自然振荡频率增大，系统超调量增 大，相对稳定性变差，初期响应加快，但调节时间不 变。
R(s) K1
G (s) C(s)
–
K2
Ø解：加了负反馈后系统的闭环传递函数为
Φ(s) =
K1G(s)
=
K1
10 s +1
=
10K1 1 + 10 K 2
1+ K2G(s) 1+ 10K2
1 s +1
s +1 1+10K2
将上式与题目所给原式对比：
得 1 = 0.1
1 + 10 K 2
G(s) = 10 s +1
Ø3-7 二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示。若该系统属单位
反馈。确定其开环传递函数。
解：由图中可得
h(∞)
=
2, σ
%
=
2.25 − 2
2
= 12.5%,
tp
=
0.2s
可得系统框图如下
h (t) 2.25 2.00
K1
ω
2 n
C(s)
s(s + 2ζωn )
0 0.2
t (s)
Φ(s)
=
K1ωn2 s(s + 2ζωn ) 1+ ωn2 s(s + 2ζωn )
s(Ts +1)
s(Ts +1) + k2k3k4 (τ s + k1) + k3k4k5
C(s)
R(s)
X1(s)
τs+k1
X2(s)
X3(s)
k2
k5 k3/s
C(s)
k4/(Ts+1)
C(s)
X4(s)
X5(s)
2-8
Ø系统结构图如图所示。
Ø求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。
2-13
Ø试简化图示系统结构图，并求出传递函数 C(s) R(s)
③
R+
+
G1 (s)
+
G2(s)
④
+
H3(s) H2(s)
G3 (s)
H4 (s)
①
C
G4 (s)
②
H1(s)
解：把分支点1后移至2，并合并汇合点3和4
G1G2G3G4
C(s) =
1+ G3G4H4 + G2G3H3
R(s)
1+
G1G2G3G4
i( H2
1+ G3G4H4 + G2G3H3 G4
−
H1)
=
G1G2G3G4
1+ G2G3H3 + G3G4H4 + G1G2G3H3 − G1G2G3G4H1
第三章部分习题解
Ø3-2 已知惯性环节的传递函数为
G(s) = 10 s +1
希望采用负反馈的方法将调节时间ts减小为原来的0.1 倍，并保证总放大系数不变，试选择图中的K1和K2的值。
R2
Ui = 0 − (−Uo )
Ui R1
-Uo
R1
R2
+
RU
∴ Uo = R1 Ui R2
2-4
Ø系统微分方程组如下：
x1 (t) = r(t) − c(t)
x2 (t)
=τ
dx1 (t) dt
+ k1 x1 (t)
x3 (t) = k 2 x2 (t)
x4 (t) = x3 (t) − k5c(t)
dx5 (t) dt
=
k3 x4
(t)
T
dc(t) dt
+ c(t)
=
k 4 x5 (t)
式中,τ,T,k1,…,k5均为常数。试建立以 r(t)为输入、
c(t) 为输出的系统动态结构图，并求系统的传递函数
解2-4
x1 (t) = r(t) − c(t)
x2 (t)
=τ
dx1 (t) dt
+ k1 x1 (t)
Ø若要消除干扰对输出的影响[即C(s)/N(s)=0]， 问Gn(s)=?
Gn (s)
N(s)
K4
R(s) + K1
K2 s
-
K3 C(s)
Ts+1
解2-8 (1)令N(s)=0，则
C(s) =
K1K2 K3
R(s) s(Ts +1) + K1K2K3
(2)令R(s)=0，则
R(s) +
对后一个环，有
10K1 = 10 1 + 10 K 2
解之得：K2＝0.9 K1＝10
Ø 3-4 单位反馈系统的开环传递函数为
G(s) = K = 10K s(0.1s + 1) s(s +10)
试分别求出K=10s–1和K=20s–1时，系统的阻尼比ζ 和
自然振荡角频率ωn，及单位阶跃响应的超调量σ%和
峰值时间tp。并讨论K的大小对过渡过程性能指标的影 响。
5 4
解：
F (s)
=
s2 s2
+ 3s + 2s
+5 +4
=
s2 s2
+ +
2s 2s
+ +
4 4
+
s2
s +1 + 2s +
4
= 1+ C21 + C22 (s + 2)2 (s + 2)2
=1+
(s
−1 + 2)2
+
−4 (s + 2)
c(t) = δ (t) − te−2t − 4e−2t
C21 = [F (s)i(s − s2 )2 ] s=s2
Gn (s)
K1
K2 s
N(s)
K4
-
K3 C(s)
Ts+1
K3
Ts +1 =
K3s
1+ K1K2K3 s(Ts +1) + K1K2K3
s(Ts +1)
若要消除干扰的影响，令 C(s)/N(s)=0，则应有
所以
C(s)
=
[ K1K2 s
Gn (s) −
K4 ]K3s
N (s) s(Ts +1) + K1K2K3
(t)
T
dc(t) dt
+ c(t)
=
k 4 x5 (t)
X 4 (s) = X3(s) − k5C(s)
sX5 (s) = k3 X 4 (s)
k3 s
X 4 (s)
=
X 5 (s)
(Ts +1)C(s) = k4 X5 (s)
C(s)
=
k4 Ts +
1
X
5
(s)
C(s)
R(s)
X1(s)
τs+k1
2. D(s) = s3 + 4s2 + 5s +10 = 0
∵各项系数均大于0，且a1a2>a0a3，故系统稳定。
3. D(s) = s3 +1.5s2 +1.5s + 2 = 0
∵各项系数均大于0，且a1a2>a0a3，故系统稳定。
Ø3-14 系统如图所示
R (s) –
s +1 s
–
10
C (s)
G4 (s)
N
R+
+
G1 (s)
+
G2(s)
++
C
+
H1(s)
G3(s)
解：合并汇合点，并作反馈运算
R单独作用时，（令N=0）
∴
CR
(s)
=
1+
G1G2 + G1G3 G1G3 + G2H1 +
+ G1G2G3H1 G1G2 + G1G2G3H1
R(s)
N单独作用时，（令R=0） ②
①
把汇合点1向上移动，并与汇合点2交换位置，有
②R(s)和N(s)同时作用时系统的输出
∴ C(s) = CR (s) + CN (s)
=
G1G2 + G1G3 + G1G2G3H1
R(s) +
1+ G1G3 + G2H1 + G1G2 + G1G2G3H1
+ 1+ G2H1 + G1G2G4 + G1G3G4 + G1G2G3G4H1 N (s) 1+ G1G3 + G2H1 + G1G2 + G1G2G3H1