函数与导数经典例题--高考压轴题(word版含答案)

函数与导数

1. 已知函数3

2

()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．

2. 已知函数21

()32

f x x =

+，()h x x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；

（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33

lg[(1)]2lg ()2lg (4)24

f x h a x h x --=---；

（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1

()()[(1)(2)()]6

f n h n h h h n -+++≥．

3. 设函数ax x x a x f +-=2

2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数a ，使2

)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数．

4. 设2

1)(ax

e x

f x

+=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3

4

=

a 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.

5. 已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数

的底数）。

（I ）求实数b 的值；

（II ）求函数f （x ）的单调区间；

（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m

与曲线y=f （x ）（x ∈[

1

e

，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

6. 设函数32()2f x x a x b x a =+++，2

()32

gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。

（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；

（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fx g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。

答案解析

1.【解析】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函

数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3

2

2

()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-

(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-

（Ⅱ）解：2

2

()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2

t x t x =-=或

因为0t ≠，以下分两种情况讨论：

（1）若0,,2

t

t t x <<-则

当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x

,2t ⎛⎫-∞ ⎪⎝

⎭

,2t t ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

(),t -+∞

()f x ' + - + ()f x

所以，()f x 的单调递增区间是(),

,,;()2t t f x ⎛

⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭

。 （2）若0,2

t

t t >-<

则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x

(),t -∞

,2t t ⎛⎫- ⎪⎝

⎭

,2t ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

()f x ' + - + ()f x

所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞

⎪⎝⎭

的单调递减区间是,.2t t ⎛

⎫- ⎪⎝⎭

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

内的单调递减，在,2t ⎛⎫

+∞

⎪⎝⎭

内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22

t

t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减，

2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-⨯+⨯+<

所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

（2）当01,022t t <

<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫

⎪⎝⎭

内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫

∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭

2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>

所以(),12t f x ⎛⎫

⎪⎝⎭

在内存在零点。

若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫

∈=-+-<-+<

⎪

⎝⎭

(0)10f t =->

所以()0,2t f x ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

在内存在零点。

所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。

综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

2.本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、

函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，

2()312F x x '∴=-+．

令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．

当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，

故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233

log [(1)]log ()log (4)2f x h a x h x --=---，

即为4222log (1)log log 4log 4a x

x a x x x --=---，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩

①当14a <≤时，1x a <<，则14a x

x x

--=

-，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时620435a

x a ±-==±-1x a <<，

此时方程仅有一解35x a =-

②当4a >时，14x <<，由14a x

x x

--=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-，