高中平面几何讲义
高一数学必修第二册平面课件
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1.证明三线共点的思路：先证明两条直线交于一点，再证明第三条 直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题．
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2.点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依 据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点， 根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上； (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．
又∵A1B═∥═D1C，∴EF═∥═12D1C，∴E，F，D1，C 四点共面．
设 D1F∩CE＝P，D1F⊂平面 A1D1DA，CE⊂平面 ABCD，
P
∴点 P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点．
又∵平面 A1D1DA∩平面 ABCD＝DA，∴P∈DA，
即 CE，D1F，DA 三线交于一点．
不在平面α内，记作l ⊄α. A∈l，B∈l 基本事实2的符号表示： A∈α，B∈α ⇒l⊂α
作用：判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内.
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如图，由基本事实1，给定不共线三点A，B，C，它们可以确定一个平面ABC； 连接AB，BC，CA，由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三 条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个 “直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC．组成这个“直线网”的直线 的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”．
l αP
P ,且P l,且P l
如无特殊说明， 本章中的两个平 面均指两个不重 合的平面.
作用：①判断两个平面相交的依据,②判断点在直线上．
我们在画两个平面相交时，如果其中一
人教版数学高一人教B必修2讲义平面的基本性质与推论
1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.(难点)2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题.(难点)[基础·初探]教材整理1平面阅读教材P35的内容，完成下列问题.1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如图1-2-1①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如图1-2-1②.①②图1-2-13.平面的表示法上图中图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.下列说法正确的是()A.生活中的几何体都是由平面组成的B.平面无厚薄，但有边界线C.任何一个平面图形都是一个平面D.平面多边形和圆都可以表示平面【解析】由平面的特性是无限延展性知，选项A、B错误；平面图形和平面是两个完全不同的概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，选项C错误；选项D正确.【答案】 D教材整理2平面的基本性质及推论阅读教材P35～P37“思考”以上的内容，完成下列问题.公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本性质2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本性质3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图1-2-2推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图1-2-2①).推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图1-2-2②).推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图1-2-2③).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面.()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.()(3)四边形是平面图形.()(4)两条相交直线可以确定一个平面.()【解析】(1)错误.不共线的三点可以确定一个平面.(2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.(3)错误.四边形不一定是平面图形.(4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理3共面与异面直线阅读教材P37～P38“练习”以上内容，完成下列问题.1.异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法：(通常用平面衬托)图1-2-32.空间两条直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行.()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行.()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线.()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()【解析】(1)错误.空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面.(2)正确.因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面.(3)错误.过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线.(4)错误.和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[小组合作型]文字语言、图形语言、符号语言的相互转化出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【精彩点拨】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形.【自主解答】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示.图(1)图(2)图(3)1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示.3.由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.[再练一题]1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.图1-2-4(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.【解】(1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.点、线共面问题内.【导学号：45722037】【精彩点拨】四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况.【自主解答】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面.证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内.由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面.(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面.综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.证明点线共面常用的方法1.纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.2.重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.[再练一题]2.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【解】已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面.证明：法一∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面.法二由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内.同理可证c在a、l确定的平面α内.∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.空间两直线位置关系的判定如图1-2-5，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图1-2-5①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据定义判断.【自主解答】根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C 相交于D1点，所以③应该填“相交”.【答案】①平行②异面③相交④异面1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.[再练一题]3.若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A.a∥cB.a、c是异面直线C.a、c相交D.a、c平行或相交或异面【解析】若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.【答案】 D[探究共研型]点共线与线共点问题探究1如图1-2-6，在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图1-2-6【提示】如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.探究2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？【提示】由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线.如图1-2-7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.图1-2-7【精彩点拨】欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可.【自主解答】∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1，又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.点共线与线共点的证明思路1.点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上.2.线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上.[再练一题]4.如图1-2-8，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC 分别与平面α相交于点E，G，H，F.图1-2-8求证：E，F，G，H四点必定共线.【证明】∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.【答案】 B2.下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.A.1B.2C.3D.4【解析】圆上两点为直径端点时，它们与圆心共线，此时这三个点不能确定平面，故③不正确，①②④正确，故选C.【答案】 C3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.【导学号：45722038】【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.【答案】 C4.有以下三个说法：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交.其中正确的序号是________.【解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确.【答案】①③5.如图1-2-9，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.图1-2-9求证：a，b，c三条直线必过同一点.【证明】∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交.设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点.。
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。
平面几何的26个定理
高一数学竞赛班二试讲义第1讲 平面几何中的26个定理班级 姓名一、知识点金1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理： 设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
AB AE AC ADBC ED AC AD==⇒又4. 西姆松定理：若从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。
西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。
若,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。
5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。
证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ，，OY ，OM ，SM ，MT 。
∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∴∠OMX+∠OSX=180°∴O，S ，X ，M同理，O ，T ，∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6． 坎迪定理：设AB 是已知圆的弦，M 是AB 上一点，弦,CD EF 过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则1111LM MN AM MB-=-。
高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)
HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。 （7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN
1 2
AM
AD sin
1 2
AD
AN sin(
)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE
AB
A'
F
=
1 2
s
in
A
EF
A
C
A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相 交于一点。
高一数学讲义 第八章 空间直线与平面
高一数学讲义 第八章 空间直线与平面8．1平面及其基本性质几何里的平面与直线一样，是无限延伸的，我们不能把一个无限延伸的平面在纸上表现出来，通常用平面的一部分表示平面．例如，我们常用平行四边形表示平面（图8-1）．但我们要把它想象成无限延展的．通常我们用一个希腊字母如：αβγ、、…来表示平面，也可以用表示平面的平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面AC ．DCBAβα图81平面的基本性质公理l 如果一条直线上有两个点在同一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上（即直线在平面上）．公理2 如果两个平面存在一个公共点，那么它们所有公共点的集合是一条直线．公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面（即经过不在同一直线上三点有且仅有一个平面）． 在上述公理的基础上，可以得到以下三个推论： 推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面．证明：如图8-2，在直线l 上任取两个点A B 、，则A B C 、、是不在同一直线上的三点，由公理3可知，经过此三点的平面有且仅有1个，设为平面α，则A B ∈、平面α，又A B 、在直线l 上，由公理1可知直线l 在平面α上．即经过直线l 和直线外一点的平面有且仅有一个．图82推论2 两条相交直线确定一个平面． 推论3 两条平行直线确定一个平面．例1．如图8-3，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱1AA 、1CC 的中点．试画出过点1D E F 、、三点的截面．B 1C 1D 1A 1EHF GDCB A 图83解：连1D F 并延长1D F 与DC 的延长线交于点H ，联结1D E 并延长与DA 的延长线交于点G ，联结GH 与AB BC 、两条棱交于点B ，联结BE BF 、，则1BED F 就是过点1D E F 、、三点的截面．例2．如图8-4，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1CC 和1AA 上的中点，画出平面1BED F 与平面ABCD 的交线．PF C E A DB A 1B 1D 1C 1图84解：在平面11AA D D 内，延长1D F ，1D F 与DA 不平行，因此1D F 与DA 必相交于一点，设为P ，则1P FD P DA ∈∈，． 又1FD ⊂平面1BED F ，AD ⊂平面ABCD 内，P ∴∈平面1BED F P ∈，平面ABCD ．又B 为平面ABCD 与平面1BED F 的公共点，∴联结PB PB ，即为平面1BFD F 与平面ABCD 的交线．例3．已知E F G H 、、、分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且联结点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）．各边AB AD CB CD 、、、上的点，且直线EF 和HG 交于点P ，如图8-5，求证：点B D P 、、在同一条直线上．G DPF ECBA图85证明：如图直线EF 直线HG P =．P ∴∈直线EF ．而EF ⊂平面ABD ， P ∴∈平面ABD ．同理，P ∈平面CBD ，即点P 是平面ABD 和平面CBD 的公共点．显然，点B D 、也是平面ABD 和平面CBD 的公共点，由公理2知，点B D P 、、都在平面ABD 和平面CBD 的交线上，即点B D P 、、在同一条直线上． 基础练习1．用符号语言表示下列语句（1）点A 在平面α内，但在平面β外；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a ． 2．已知a b c 、、空间三条直线，且a b ∥与a b 、都相交，求证直线a b c 、、在同一个平面上． 3．怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内?4．如图8-6所示，ABC △与111A B C △不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交，证明：三直线111AA BB CC 、、交于一点．PC 1B 1A 1C BA图865．已知ABC △在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P Q R ，，三点，证明P Q R ，，三点在同一条直线上．6．画水平放置的正五边形的直观图． 8．2空间直线与直线之间的位置关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（即平行线的传递性）． 例1．如图8-7所示，设E F G H ，，，分别是空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA ，，，上的点，且AE AH CF CGAB AD CB CDλμ====，，求证：F GH EDCBA图87（1）当λμ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当λμ≠时，四边形EFGH 是梯形． 证明：联结BD ， 在ABD △中，AE AHAB ADλ==，EH BD ∴，∥且EH BD λ=． 在CBD △中，CF CGCB CDμ==，FG BD ∴，∥且FG BD μ=． EH FG ∴∥，∴顶点E F G H ，，，在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当λμ=时，EH FG =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当λμ≠时，EH FG ≠，故四边形EFGH 是梯形．等角定理 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等．证明：当两组平行直线在同一平面内，即为初中几何中的等角定理． 当它们不在同一平面时，如图8-8所示．a 1O 1B 1A 1BA Oba 图88设直线a b 、相交于点O ，直线11a b 、相交于点1O ，且11a a b b ，∥∥，在直线a b 、上分别任取点A B 、（异于点O ），在直线11a b 、上分别任取点11A B 、（异于点1O ），使得11OA O A =，11OB O B =，111AOB AO B ∠∠，分别是a b 、，与11a b 、所成的角． 1111OA O A OA O A =，∥ ∴四边形11OO A A 为平行四边形． 1111OO AA OO AA ∴=，∥．同理1111OO BB OO BB =，∥．1111BB AA BB AA ∴=，∥．四边形11BB A A 为平行四边形． 11AB A B ∴=，因此111AOB AO B △△≌． 111AOB AO B ∴∠=∠．在平面中两条直线的位置关系可以根据交点个数来判断：当两条直线仅有1个交点时．它们是相交的；当没有交点时它们是平行的．但在空间中两条直线没有交点却未必是平行的，如图8-9直线a 在平面α上，直线b 与平面α交于点P ，且P 不在直线b 上，那么直线a 与直线b 即不平行也不相交．此时直线a 与直线b 不能在同一平面内，我们称直线a 、b 是异面直线．baP图89在空间任取一点Q 过Q 分别作a b 、的平行线11a b 、，我们把11a b 、所成的锐角或直角称为异面直线a b 、所成的角．当所成的角为90︒时称异面直线a b 、相互垂直．此外，我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度，叫做两条异面直线的距离．例2．如图8-10，在正方体1111ABCD A B C D -中，判断下列直线之间的位置父系，并求出它们所成角的大小．A 2D 2B 2C 2D 1C 1B 1A 1D CBA图810（1）AC 与1BC ；（2）1B D 与1BC ． 解：（1）AC 与1BC 是异面直线． 11AA CC ∥且11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，即11AC AC ∥．11AC B ∴∠为所求AC 与1BC 所成的角．易知11A C B △为等边三角形，即11π3AC B ∠=（2）1B C 与1BC 是异面直线如图8-10：在原正方体下方补一个相同大小的正方体11112222A B C D A B C D -中121B C BC ∥，12DB C ∴∠为所求1B D 与1BC 所成的角．设正方体的棱长为a ，在12DB C △中，112212π2DB B C DC DB C ==∴∠=，，，． 例3．空间四边形ABCD中，2AB BD AD BC CD =====，32AC =，延长BC 到E ，使BC CE =，取BD 中点F ，求异面直线AF 与DE 的距离和他们所成的角．F ED BA图811解：（1）2AB AD BD === ∴三角形ABD 为等边三角形 F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即AF FD ⊥90BC CD CE BDE DF DE ===∴∠=︒∴⊥， DF 长即为异面直线AF DE ，的距离，又112DF BD ==，AF ∴与DE 的距离为1．（2）联结CF F C ，，分别是BD ，BF 的中点， FC ∴平行且等于12DE ，AFC ∴∠即为异面直线AF 与DE 所成的角． 在等边三角形ABD中，AF == 在直角三角形BDE中，12CF DE ==． 三角形AFC 中，由余弦定理得2221cos 22AF FC AC AFC AF FC +-∠==⨯⨯．60AFC ∴∠=︒，即异面直线AF 与DF 成60︒角． 基础练习 1．从止方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为__________．2．如图8-12，已知三棱锥S ABC -中，90ABC ∠=︒，侧棱SA ⊥底面ABC ，点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E F 、，求证：EF SC ⊥．SGF E CBA 图8123．已知a b 、是两条异面直线，直线a 上的两点A B 、的距离为6．直线b 上的两点C D 、的距离为8，AC BD 、的中点分别为M N 、且5MN =，见图8-13．求异面直线a b 、所成的角．图813bMNO aDCBA4．已知四面体S ABC -的所有棱长均为a ．求： （1）异面直线SC 、AB 的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角．5．如图8-14，等腰直角三角形ABC中，90A BC DA AC DA AB ∠=︒=⊥⊥，，，若1DA =，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．图814FE D CBA6．如图8-15，在正三角形ABC 中，D E F ，，分别为各边的中点，G H I J ，，，分别为AF AD BE DE ，，，的中点．将ABC △沿DE EF DF ，，折成三棱锥以后，求GH 与IJ 所成角的度数．I JH GFEDCB A 图8157．长方体1111ABCD A B C D -中，143AB AA AD ===，，则异面直线1A D 与11B D 间的距离为__________．8．空间两条异面直线a b 、所成角α，过空间一定点O 与a b ，所成角都是θ的直线l 有多少条？ 8．3空间直线与平面空间中直线l 与平面α的位置关系，按照它们交点的个数分成以下三种情况：若直线l 与平面α没有公共点，那么称直线l 与平面α平行，记作l α∥；若直线l 与平面α仅有一个公共点，那么直线l 与平面α是相交的；若直线l 与平面α有1个以上的公共点，由公理1可知直线l 在平面α上．我们将直线与平面平行和相交统称为直线在平面外．直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 例1．已知：ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上任取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ．求征：AP GH ∥． 证明：如图8-16．联结AC 交BD 于O ，联结MO ，G HPOMD CBA图816ABCD 是平行四边形O ∴是AC 中点，又M 是PC 中点， AP OM ∴∥，又OM ⊂面BM DPA ∴∥平面BM D （线面平行判定定理）又PA ⊂平面PAHG ，且面PAHG 平面BMD GH =， PA GH ∴∥（线面平行的性质定理）例2．正方体1111ABCD A B C D -中，E G 、分别是BC 、11C D 的中点如图8-17．求证：EG ∥平面11BB D D ．D C 1A 1C图817证明：取BD 的中点F ，联结FF 、1D F ．E 为BC 的中点，EF ∴为BCD △的中位线，则EF DC ∥，且12EF CD =．G 为11C D 的中点，1D G CD ∴∥且112D G CD =，1EF D G ∴∥且1EF D G =， ∴四边形1EFD G 为平行四边形，∴1D F EG ∥，而1D F ⊂平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ， ∴EG ∥平面11BDD B ．直线l 与平面α相交，且与平面内所有直线都垂直，称直线l 垂直于平面α，记作l α⊥．直线l 称为平面α的垂线，l 与平向α的交点称为垂足．直线和平面垂直判定定理 如果直线l 与平面α内两条相交直线a b 、都垂直，那么直线与平面垂直． 证明：设直线a b O =，直线c 为平面α上任意一条直线 （1）当直线l 与直线c 都经过点O 时在直线l 上点O 的两侧分别取点P Q 、使得OP OQ =，在平面α上作一条直线，使它与a b c 、、分别交于点A B C 、、联结PA PB PC QA QB QC 、、、、、（见图8-18）． acb αO QB A P图818OA 垂直平分PQ ，PQ QA ∴=． 同理PB QB =． PA QA PB QB AB AB ===，，， PAB QAB PC QC ∴∴=，△△≌．PQ c ∴⊥，即l c ⊥．（2）若直线l 与直线c 不都经过点O ，则过O 引l 与直线c 的平行线1l 与直线1c ，由（1）可知11l c ⊥．由等角定理可知l c ⊥．综上所述，l α⊥．直线和平面垂直性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．过空间一点P 有且仅有一条直线l 和一个平面α垂直，反之过一点P 有且仅有一个平面α与直线l 垂直，垂足Q 称为点P 在平面α上的射影，线段PQ 的大小称为点P 到平面α的距离．若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线到平面的距离． 若一条直线与一个平面α相交且不垂直，称直线l 与平面α斜交，直线l 为平面α的斜线，交点称为斜足．平面的斜线与其在平面上的射影所成的角称为直线与平面所成的角．最小角定理 斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角． 例3．已知：一条直线l 和一个平面α平行．求证：直线l 上各点到平面α的距离相等． 证明：过直线l 上任意两点A B ，分别引平面α的垂线AA ，′BB ′，垂足分别为A B ，′′（见图8-19）．βαB'A'B A图819AA BB αα⊥⊥，′′ AA BB ∴∥′′设经过直线AA ′和BB ′的平面为A B ββα=，′′l l A B α∴∴，∥∥′′AA BB ∴′′是平行四边形 AA BB ∴=′′即直线l 上各点到平面的距离相等例4．如图8-20，已知正方形ABCD 的边长为4，E F ，分别是边AB AD ，的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．OSGH F E DCBA图820证明：联结DB AC ，，设DB AC O = E F ，分别为AB AD ，中点DB EF ∴∥；又DB ⊄平面EFG ， BD ∴∥平面EFG ．∴点B 到平面EFG 的距离就是DB 到平面EFG 的距离． ∴即点O 到平面X O 的距离．设EF AC H =，在平面CHG 中，作OS GH ⊥ DB AC ⊥，又EF BD ∥ EF AC ∴⊥又GC ⊥面ABCD ，GC EF ∴⊥ EF ∴⊥面CHG EF OS ∴⊥，又OS GH ⊥ OS ∴⊥面EFG ∴OS 即为O 点到平面EFG 的距离，即为所求 直角三角形HSO 与直角三角形HGC 相似 SO HOGC GH∴=，又124GC HO AC GH =====，2SO ∴= ∴B 到平面EFG的距离为11． 例5．相交成60︒的两条直线AB AC ，和平面α所成的角分别为30︒和45︒，求这两条斜线在平面α内的射影所成的角．解：如图8-21，作平面AO ⊥平面A ，垂足为O ，O CBA图821则30ABO ∠=︒，45ACO ∠=︒，设AO h =，则2AB h =，AC =，BO =，CO h =， 在三角形ABC 中，根据余弦定理有22222(2))cos606BC h h h =+-⨯⨯︒=-．同理，在三角形BOC 中，令BOC θ∠=，则有22222)cos 4cos BC h h h θθ=+-⨯⨯=-．222264cos h h θ∴-=-．cos θ∴=，θ∴=． 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．如图8-22，直线PM 为平面α的斜线，M 为斜足，Q 为P 在平面α内的射影，a 为平面α内一条直线，且a MQ ⊥．求证：a PM ⊥．图822ab a PQM证明：过点M 作的a 平行线b ，则b MQ b PQ ⊥⊥， 即b ⊥平面PMQ ，MQ ⊆平面PMQ 所以b PM a b ⊥，∥，即a PM ⊥．类似地，我们也可以证明：三垂线的逆定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 基础练习1.如果三个平面αβγ、、两两相交于三条交线a b c 、、，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论． 2．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11ABC D 均成30︒角，求这样的直线条数3．已知空间四边形ABCD P Q ，、分别是ABC △和BCD △的重心，求证：PQ ∥平面ACD ．4．在棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：11B D CD ⊥； （2）求证：1B D ⊥平面1ACD ； （3）求点D 到平面1ACD 的距离．5．正方体1111ABCD A B C D -中，求1B D 与平面11ABC D 所成角的大小．6．正方体ABCD A B C D -′′′′的棱长为a ，则异面直线CD ′与BD 间的距离等于__________． 7．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE BD 、上各取一点P Q 、．且AP DQ =．求证：PQ ∥面BCE ．8．如图8-23，已知AOB ∠在平面M 上，P 为平面外一点，满足POA ∠POB =∠θ=（θ为锐角），点P 在平面上的射影为Q ．P OQFE AM 图823（1）求证点Q 在AOB ∠的平分线OT 上；（2）讨论POA ∠、POQ ∠、QOA ∠之间的关系．9．若直线l 与平面α成角π3，直线a 在平面α内，且和直线l 异面，则l 与a 所成角的取值范围是多少? 10．如图8-24，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，,,ABH HBC ABC θαβ∠=∠=∠=，求证：cos cos cos βαθ=⋅． αθβH D CB Aα图82411．如图8-25，平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ．连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．N MBA HSα图825（1）求证：NH SB ⊥；（2）这个图形中有多少个线面垂直关系? （3）这个图形中有多少个直角三角形? （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线?12．如图8-26，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF 为异面直线1A D 与AC 的公垂线，求证：1EF BD ∥．FE D CBAD 1C 1B 1A 1图82613．如图8-27所示，90BAC ∠=︒．在平面α内，PA 是α的斜线，60PAB PAC ∠=∠=︒．求PA 与平面α所成的角．B αA CMO NP图8278．4空间平面与平面的位置关系空间两个平面根据交点的个数可以分为：若两个平面没有交点则称两个平面互相平行；若两个平面有交点则称两个平面是相交的．平行于同一平面的两个平面互相平行，分别在两个平行平面上的直线是异面或平行的．两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推论 如果一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 例1．平行四边形ABCD 和平行四边形ABEF 不在同一平面内，M ，N 分别为对角线AC ，BF 上的点，且AM ACFN FB=．求证：MN ∥平面BEC ．证明：如图8-28，在平行四边形ABCD 中，过M 作MP BC ∥交BC 于P ，联结PN ．FP MNEDCBA图828AM AP AC AB =，又AM AC FN BF =，即AM FNAC BF=． ,AP FN PN AF BE AB BF∴=∴∥∥． 又MP BC ∥，∴平面MPN ∥平面CBE ． 又MN ⊂平面MPN ， MN ∴∥平面BEC ．例2．如图8-29所示，平面α平面β，点A C α∈、，点B D β∈、，AB a =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若AC BD b ==，CD c =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点．图829（1）求证：MN β∥；（2）求MN 的长． 证明：（1）联结AD ，设P 是AD的中点，分别联结PM 、PN ． M 是AB 的中点，PM BD ∴∥．又,PM ββ⊂∴∥． 同理N 是CD 的中点，PN AC ∴∥． AC α⊂，PN α∴∥．,,PN PM P αβ=∥PMN β∴∥． MN ⊂平面PMN ，MN β∴∥． （2）分别联结MC MD 、．1,,2AC BD b AM BM a ====又AB 是αβ、的公垂线，90CAM DBM ∴∠=∠=︒，Rt Rt ACM BDM ∴≌△△，CM DM ∴=，DMC ∴△是等腰三角形． 又N 是CD 的中点，MN CD ∴⊥．在Rt CMN △中，MN =一般地，当两个平面相交时，它们的交线l 将各平面分割为两个半平面，由两个半平面αβ、及其交线l 组成的空间图形叫做二面角（dihedral angle ），记作l αβ--．交线l 称之为二面角的棱，两个半平面αβ、叫做二面角的面．如果αβ、上分别有点P Q 、，那么二面角l αβ--也可以记作P l Q --．为了刻画二面角的大小，我们在棱l 上任取一点O ，在面αβ、上分别作棱l 的垂线OM 、ON ，则[](0,π)MON θ∠=∈称为二面角l αβ--的平面角．若π2α=，则称平面αβ⊥． 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．例3．如图8-30，在空间四边形SABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DE 在平面SAC 内，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于D ，E ，又SA AB =，SB BC =，求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的大小．E DCBAS图830解：SB SC =，且E 为SC 的中点，BE SC ∴⊥． 又DE 垂直平分SC ，SC ∴⊥面,BDE SC BD ∴⊥． 又BD ⊥平面SAC ，,,BD DE BD DC ∴⊥⊥EDC ∴∠即为E BD C --的平面角．设SA a =，则,,AB a SB ==SA ⊥面ABC ，BC AB ⊥．,SB BC SC ∴⊥∴为等腰直角三角形SBC的斜边，又BC =，2,,cos ,30SC a AC SCA SCA ∴==∠=∴∠=︒． DE SC ⊥，∴在直角三角形EDC 中，60EDC ∠=︒，即为所求．例4．已知：如图8-31所示，平行四边形ABCD中，AB =AD BD ==，沿BD 将其折成一个二面角A BD C --，若折后AB CD ⊥．63223DCBA图831（1）求二面角A BD C --的大小；（2）求折后点C C 到平面ABD 的距离．解：（1）在平行四边形ABCD中AB =AD BD ==．222AB AD BD ∴=+ ,AD BD BC BD ∴⊥⊥． 作AH ⊥平面BDC ，联结DH （见图8-32）．HEDCB A图832AD BD ⊥，由三垂线定理逆定理得DH BD ⊥， ∴ADH ∠是二面角A BD C --的平面角．联结BH，AB DC ⊥，由三垂线定理逆定理， 得BH DC ⊥，设垂足为E ，在直角三角形ABC中，2BD BC BE DC ⋅===，DE ∴ 三角形DHB 与三角形DBE 相似，DH DEDB BE∴=，即DE BD DH BE ⋅=在直角三角形ADH中，1cos 2DH ADH AD ∠===，π3ADH ∴∠=． 即二面角--A BD C 的大小为π3． （2）由对称性，C 到平面ABD 的距离等于A 到平面ABD 的距离． AH ⊥平面BCD ，∴点A 到平面BCD 的距离即是线段AH 的长， 直角三角形ADH中，sin 3AH AD ADH =⋅∠==， ∴点C 到平面ABD 的距离为3． 例5．如图8-33，已知A B 、在平面α上，点C 是平面外一点，且在平面α上的射影为D ，且A B D、、三点不共线，二面角C AB D --的大小为θ，求证：cos DABCABS S θ=．αM DCBA图833证明：过点D 作DM 垂直AB ，垂足为M ，联结CM ． 因为,CD AB αα⊥⊆，所以CD AB ⊥，又AB DM ⊥，因此AB ⊥平面CDM ，即AB CM ⊥． 所以CMD ∠为二面角--C AB D 的平面角． 在直角三角形CDM △中有cos cos ABDCBDS DM CMD CM S θ=∠==． 例6．如图8-34，已知两异面直线,a b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA ′的长度为d ．在直线,a b 上分别取点,E F ，设,A E m AF n ==′，求EF ．A'βnb a m F G A图834解：设经过b 且与AA ′垂直的平面为α，经过a 和AA ′的平面为β，c αβ=；则c a ∥，因而b ，c 所成角为θ，且AA c ⊥′；又,AA b AA a ⊥∴⊥′′， 根据两个平面垂直的判定定理，βα⊥． 在平面β内作EG c ⊥，则EG AA =′． 并且根据两个平面垂直的性质定理，EG α⊥ 联结FG ，则EG FG ⊥．在直角三角形EFG 中，222EF EG FG =+AG m =，三角形AFG 中，2222cos FG m n mn θ=+-；又22ED d =，22222cos EF d m n mn θ∴=++-，因此EF =1．已知平面αβ∥，AB ，CD 为夹在,αβ间的异面线段，E 、F 分别为AB CD 、的中点． 求证：,EF EF αβ∥∥．2．如果αβ∥，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB AC ⊥，且2AB =，直线AB 与平面α所成的角为30︒，求线段AC 长的取值范围．3．如图8-35，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1AB AA 、的中点．求平面1CEB 与平面11D FB 所成二面角的平面角的正弦值．CB E AF D 1C 1B 1A 1图8354．如图8-36，点A 在锐二面角MN αβ--的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为45︒，与面β所成的角大小为30︒，求二面角MN αβ--的大小．NM APβα图8365．正方形ABCD 边长为4，点E 是边CD 上的一点，将AED △沿AE 折起到1AED 的位置时，有平面1ACD ⊥平面ABCE ，并且11BD CD ⊥．（1）判断并证明E 点的具体位置； （2）求点D ′到平面ABCE 的距离．6．在正三角形ABC 中，E F P 、、分别是AB AC BC 、、边上的点，满足12AE EB CF FA CP PB ===∶∶∶∶，如图8-37．将AEF △沿EF 折起到1A EF △的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，联结1A B 、1A P ，如图8-38．A BP FEC图837CEF P BA 图838（1）求证：1A E ⊥平面BEP ；（2）求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小；（3）求二面角1B A P F --的大小（用反三角函数表示）．7．如图8-39，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --′．C'DCB A图839（1）指出这个二面角的面、棱、平面角； （2）若二面角C AD C --′是直二面角，求C C ′的长； （3）求AC ′与平面C CD ′所成的角； （4）若二面角C AD C --′的平面角为120︒，求二面角A C C D --′的平面角的正切值． 8．在棱长为a 的正方体中．求异面直线BD 和1B C 之间的距离．9．设由一点S 发出三条射线,,,,SA SB SC ASB BSC ASC αβθαβθ∠=∠=∠=、、、、均为锐角，且cos cos cos θβθ⋅=．求证：平面ASB ⊥平面BSC ．10．如图8-40，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2PB =，PB 与平面PCD 所成的角为45︒，PB 与平面ABD 成30︒角，求：PF EDCBA图840（1）CD 的长；（2）求PB 与CD 所在的角；（3）求二面角C PB D --的余弦值． 11．如图8-41，线段PQ 分别交两个平行平面αβ、于A B 、两点，线段PD 分别交αβ、于C D 、两点，线段QF 分别交αβ、于F E 、两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF △的面积为72．求BDE △的面积．βαAB Q ED CPF图84112．如图8-42，已知正方形ABCD ．E F 、分别是AB CD 、的中点．将ADE △沿DE 折起，如图8-43所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）．FEDCBA图842F EDCBA 图843（1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．13．在矩形ABCD 中，已知1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =． （1）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ QD ⊥，说明理由；（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ QD ⊥，求AD 与平面PDQ 所成角的弦值； （3）在（2）的条件下，求出平面PQD 与平面PAB 所成角的大小．14．两个平行平面α和β将四面体ABCD 截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．求平面α和β截四面体所得的截面面积之比． 8．5空间向量及其坐标表示我们把具有大小和方向的量叫做向量．同向且大小相等的两个向量是同一个向量或相等的向量，大小相等方向相反的两个向量是互为负向量，大小为0的向量称为零向量．对空间任意两个向量a b 、．作OA a OC AB b ===，，则O A B 、、三点共面，见图8-44．因此，空间任意两个向量都可以用在同一平面内的两条有向线段表示．与平面向量运算一样，我们可以定义空间向量的加法、减法与数乘运算如下：a图844OB OA AB a b =+=+； CA OA OC a b =-=-；0000a a a λλλλλλ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩方向相同，大小，，方向相同，大小，为为- 与平面向量类似，在空间两个向量的方向相同或相反，则称他们为共线向量或平行向量，共线向量所在直线平行或重合．类似我们可以验证空间向量的加法与数乘运算满足如下规律： （1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+类似地，可以定义两个向量的夹角和向量的数量积：cos a b a b θ⋅=，其中θ为两个向量的夹角，[]0πa b θ∈，，、表示向量a b 、的大小 当π2θ=时称两个向量垂直记作a b ⊥． 与平向向量类似有下列性质成立： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=． （2）2a a a =⋅． （3）()()ab a b λλ⋅=⋅．（4）a b b a ⋅=⋅． （5）()()()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅．例1．A B C D 、、、为空间不共面的四点，以A B C D 、、、四点为顶点的线段围成一个空间四面体，若AC BD BC BD ==，，求证AB CD ⊥．图845DBA解：BC AC AB BD AD AB =-=-，， BC BD =， 22BC BD ∴=．2()()BC BC BC AC AB AC AB =⋅=-⋅- 222AC AC AB AB =-⋅+．同理2222BD AD AD AB AB AD AC =-⋅+=，， AD AB AC AB ∴⋅=⋅即()AD AC AB -⋅=0．即CD AB ⋅=0，AB CD ∴⊥．通常我们将可以平移到同一个平面的向量，叫做共面向量．对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定是共面向量．如上例中a b c 、、中任意两个共面，但a b c 、、却不共面．下面讨论三个向量共面的条件．已知a b 、为不共线的向量，而a b c 、、三个向量共面，则表示可以将它们平移到同一个平面上．由平面向量唯一分解定理．存在实数()λμ，满足c a b λμ=+．反之，若存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+，对空间任意一点O 作111OA a OB b OA a A B b λμ====，，，，则1111OB OA A B a b c λμ=+=+=即c 可以平移到O A B 、、三点所在平面上，因此a b c 、、共面．由此可得a b c 、、共面的充要条件是：存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+．例2．求证：任意三点不共线的四点A B C D 、、、共面的充要条件是：对空间任意点O 有：OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．证明：A B C D 、、、共面的充要条件是存在实数对()λμ，满足AD AB AC λμ=+（见图8-46）．图846()()OD OA AD OB OA OC OA μμ∴-==-+-， (1)OD OA OB OC λμλμ∴=--++．令1x λμ=--，y z λμ==，，则OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．定理 如果三个向量a b c 、、不共面，那么对于空间任意向量P ，存在唯一的实数对()x y z ，，满足：P xa yb zc =++证明：如图8-47，过空间任意点O 作OA a OB b OC c OP P ====，，，， 图847P过点P 作1PP OC ，∥交平面OAB 于点1P ；则11P OP OP PP ==+． 11PP OC PP zc z ∴=∈R ，，∥． 在平面AOB 中存在z ，y ∈R ，满足1OP xOA yOB =+， 因此有11P OP OP PP xOA yOB zOC ==+=++． 若存在111()()x y z x y z ≠，，，，也满足：111P x a y b z c =++， 则有111P xa yb zc x a y b z c =++=++． 111()()x y z x y z ≠，，，，，不妨设1x x ≠，1111y y z za b c x x x x --∴=+--．a b c ∴、、共面，矛盾．由此定理可知，如果三个向量a b c 、、，那么所有空间向量均可以由a b c 、、唯一表示，此时我们称（a b c 、、）为空间向量的一个基底，a b c 、、都叫做基本向量．如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小为1，则称这个基底为单位正交基底，常用（i j k 、、）表示．在空间选定一点O 和一个单位正交基底（i j k 、、），以O 点为坐标原点，分别以i j k 、、的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O xyz -，那么对于任意向量P ，存在唯一的实数对（x y z ，，）满足：P OP xi y j zk ==++，简记为()P x y z =，，，此时称点P 的坐标为()x y z ，，，见图8-48．图848若111()OA a x y z ==，，，222()OB b x y z ==，，，则 121212()a b x x y y z z +=+++，，，121212()BA OA OB a b x x y y z z =-=-=---，，，111()a x y z λλλλ=，，．例3．在直三棱柱111A B C ABC -中，π2BAC ∠=，11AB AC AA ===．已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，求线段DF 的长度的取值范围解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，则112211(00)(01)0101(00)(01)22F t t E G D t t ⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，．所以12111122EF t GD t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，．因为GD EF ⊥，所以1221t t +=，由此推出2102t <<．又12(0)DF t t =-，，，21DF t =1DF <．例4．已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，它们所在的平面互相垂直，M AC ∈，N BF ∈，且AM FN =，见图8-49．求证：不论M 在AC 上何处，直线MN 不可能同时垂直AC 和BF ．MNFEDCBA图849证明：设BA a BE b BC c BN t BF ====⋅，，，， 则()(1)()BN t a b AM t c a =⋅+=--， 于是()(1)()(1)MN BN BM t a b t c a a tb t c ⎡⎤⎡⎤=-=+---+=--⎣⎦⎣⎦， 假设MN 同时垂直AC 和BF ，则00.MN AC MN BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由题设，知00a b b c ⋅=⋅=，， 由2(1)()(1)MN AC tb t c c a t c ⎡⎤⋅=--⋅-=-⋅⎣⎦，得10t -=即1t =．由2(1)()0MN BF tb t c a b t b ⎡⎤⋅=--⋅+=⋅=⎣⎦得0t =，矛盾！所以，MN 不可能同时垂直AC 和BF ．基础练习1．如图8-50，OA a OB b OC c ===，，，M N P 、、分别为AB 、BC 、CA 的中点，试用a b c 、、表示下列向量：OM MN AN ，，．图8502．已知空间三点(202)A -，，，(212)B -，，，(303)C -，，．设a AB b AC ==，，是否存在实数k ，使向量ka b +与2ka b -互相垂直，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．。
高中数学第二章平面解析几何课件新人教b必修2
k1≠k2 k1k2=-1 k1=k2, b1≠b2 k1=k2, b1=b2
A1B2-A2B 1≠0 当 A 2 B2 ≠ 0 时,记为
A1
A1A2+B1B 2=0 当 B1 B2 ≠ 0 时,记为
A2 B2 A1 A2 B1 B2
≠
B1
· = -1
A1 B2 -A 2 B1 = 0, A1 B2 -A 2 B1 = 0, 或 当 A 2 B2 C2 B2 C1 -B1 C2 ≠ 0 A1 C2 -A 2 C1 ≠ 0 A1 B1 C1 ≠ 0 时,记为 = ≠ A 2 B2 C2 A1B2-A2B 1=B2C1-B1C2=A1C2-A2C1= 0 当 A 2 B2 C2 ≠ 0 时,记为
即
������·
2
������0 -������
������ 0 -������ ������0 +������
= -1,
������ +������ 2
= ������· 0
+ ������.
知识网络
要点梳理
(4)直线关于直线的对称:求直线l关于直线g的对称直线l',主要依 据l'上任一点M关于直线g的对称点必在l上. 8.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及 半径构成直角三角形计算. (2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式
.
知识网络
要点梳理
(3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0(A2+B2≠0)与 l2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)的距离 d= |������1 -������2 | .
高考专题讲义 22平面解析几何(一).
二、命题分析从近几年各省份的高考信息可以看出，高考对本单元的命题呈现如下特点：(1)高考题型中选择、填空、解答题均有所涉及，分值约占20分左右，比重较高．3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为；(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为；(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为；[解析] 由已知，直线的斜率解得tan α＝3或tan α＝－13(舍去)．由点斜式得y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝02x －3y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－4，即两条直线的交点为(－5，－4)．由两点式得y －1－4－1＝x －2－5－2，即5x －7y －3＝0.（四）典型例题1.命题方向：直线的倾斜角与斜率[例1] 已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求实数m 的取值范围．[分析] 求m 的范围，关键是能够画出它们的图像，结合图像求解，能够知道直线l 过定点(0，－1)．[解析] 当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，显然l 与PQ 相交． 当m ≠0时，k PA ＝－1－10－－＝－2，k QA ＝－1－20－2＝32，l ：y ＋1＝－1mx .因为l 与线段PQ 相交， －1m ≥32或－1m≤－2， ∴m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0或m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.所以m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.[点评] 解答已知直线过定点A 且与已知线段PQ 有交点，求其中参数的取值范围问题时，常用数形结合法，求出定点A 与线段PQ 的两个端点连线的斜率，根据图形列出不等式组，解不等式组即可． 注意：研究两直线的位置关系时，一定要注意斜率不存在的情况．跟踪练习1：(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数到π2(α≠π2)时，k 由0增大到＋∞，当负无穷大趋近于0.解决此类问题时，也可采用数形结合思想，借助图形直观作出判断．，d<0，a>c，d>0，a<cd>0，从而c<a<0，b<0，c始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝A ．(－∞，1]B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(－∞，1)[答案] A[解析] 由题意知直线过圆心(－1，－2)， ∴－2a －2b ＋4＝0，∴a ＋b ＝2， ∴ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，∴ab ≤1.4．已知直线l 1∶y ＝x ，l 2∶ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值范围是( ) A ．(33，1)∪(1，3) B ．(33，3) C ．(33，1)D ．(1，3)[答案] A[解析] 因为k 1＝1，k 2＝a ，由数形结合知，直线l 2的倾斜角α∈(π6，π4)∪(π4，π3)，所以直线l 2的斜率a ∈(33，1)∪(1，3)． 5．过点P (－1,2)且方向向量为a ＝(－1,2)的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．x －2y ＋5＝0 C ．x －2y ＝0D ．x ＋2y －5＝0[答案] A[解析] 因为方向向量a ＝(－1,2)， 所以直线的斜率k ＝－2，又过点P (－1,2)， 所以由点斜式求得直线方程为2x ＋y ＝0.6．(2011·山东济宁)已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l ∶y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12[答案] D[解析] 如图，l 过P (2,1)，k PA ≤k ≤k PB ，k PA ＝3－11－2＝－2，而k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.7．过抛物线y 2＝43x 的焦点，且与圆x 2＋y 2－2y ＝0相切的直线方程是( ) A.3x ＋y －3＝0，y ＝0B.3x －y －3＝0，y ＝0C.3x ＋y ＋3＝0，3x －y ＋3＝0D.3x ＋3y －3＝0，3x －3y －3＝0 [答案] A[解析] 抛物线焦点F (3，0)，圆的方程x 2＋(y －1)2＝1，由图知过焦点F 且与圆相切的直线有两条，其中一条是y ＝0故排除C 、D.另一条斜率小于0，故选A.8．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f a a ，f b b ，f cc的大小关系是( ) A.f a a >f b b >f cc B.f c c >f b b >f aa C.f b b >f a a >f ccD.f a a >f c c >f bb[答案] B[解析] 作函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像，易知f x x 表示直线的斜率．∴f c c >f b b >f a a，故选B.二、填空题9．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋y b＝1(a ，b >0)． 因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16，所以S △AOB ＝12ab ≥8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0－x ＋－y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113y ＝163，k ＝163－0113－3＝8.∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 方法二 设所求的直线方程y ＝k (x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝3k －2k －2y A＝4kk －2由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1y B＝－6kk ＋1∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6k k ＋1＝0， ∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 又∵当k ＝0时，x A ＝1，x B ＝－3， 此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.方法三 设点A (x 1，y 1)在l 1上，点B (x 2，y 2)在l 2上，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0x 2＋y 2＋3＝0x 1＋x 2＝6y 1＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝113y 1＝163或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73y 2＝－163∴k ＝k AB ＝－163－16373－113＝8，∴所求的直线方程为8x －y －24＝0.13．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，经过原点O 以u ＝i ＋m j 为方向向量的直线与经过定点A (0,1)，以v ＝m i －j 为方向向量的直线相交于点P ，其中m ∈R ，当点P 变动时，试问是否存在一个定点Q ，使得|PQ |为定值？若存在，求出的前提下，参数的个数越少越好．．有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始分钟内既进水又出水，得到时间x(分)本题是一个实际应用问题，综合性较强，通过分析题意可知是一个分段函数问题，即直线的方程．因此，由直线的点斜式方程即可求出．时，直线段过点O(0,0)，A(10＝2010＝＝30－2040－10＝13，＝13(＝13x ＋503.＝13，所以＝－53.＝－53，又过点＝－53(＝－53＋2903.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x13x ＋503x ，－53x ＋2903x若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 3．直线l 1A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点坐标就是⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的 ．4．点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 125．点P (x 0，y 0)到直线lAx ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.6．两平行线间距离： 两平行直线l 1Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2. （三）基础自测1．(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A[解析] 该题考查直线方程的求法(点斜式)所求直线斜率为12，过点(1,0)由点斜式y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.2．(2009·安徽文)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0 [答案] A[解析] 本题考查直线方程的点斜式，以及两条的垂直关系．∵直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直， ∴直线l 的斜率k ＝－32，又∵直线l 过点(－1,2)， ∴其方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.3．曲线y ＝k |x |及y ＝x ＋k (k >0)能围成三角形，则k 的取值范围是( ) A ．0<k <1 B ．0<k ≤1 C ．k >1 D ．k ≥1 [答案] C[解析] 数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图像，可见k ≤1时围不成三角形，k >1时能围成三角形．4．(2011·庐江模拟)若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( )∴－3a ＋b ＋4＝0，即b ＝3a －4(不合题意) ∴此种情况不存在，即k 2≠0. 若k 2≠0，即k 1，k 2都存在，∵k 1＝a b，k 2＝1－a ，l 1⊥l 2， ∴k 1·k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2. 即a b＝1－a ③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2. ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数． 即4b＝b ④由③④联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23b ＝2.∴a ，b 的值为2和－2或23和2.（四）典型例题1.命题方向：两直线的位置关系[例1] 已知两条直线l 1(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 22x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？[解析] 当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m， 它们在y 轴上的截距分别为b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m .(1)由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m，m ≠－7且m ≠－1.∴当m ≠－7且m ≠－1时，l 1与l 2相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，解得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 4·(－25＋m )＝－1，解得m ＝－133.∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．[点评] 运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线位置关系时，要紧紧抓住k 1，k 2及b 1，b 2之间的关系，需要注意的是“有斜率”这一前提条件，否则会使解题不严谨甚至导致错误．如题：当k 取何值时，两直线x ＋ky ＝0和kx ＋(1－k )y ＝0互相垂直？很可能漏掉解k ＝0.判断两条直线平行、垂直、重合时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率均不存在的情况．在两条直线l 1、l 2斜率都存在且不重合的条件下，才有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2与l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.在斜率不存在或斜率为零情况下讨论两直线位置关系宜用数形结合求解． 跟踪练习1已知两直线l 1x ＋y sin θ－1＝0和l 22x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.[解析] (1)方法1：当sin θ＝0时，l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，l 1显然不平行于l 2， 当sin θ≠0时，k 1＝－1sin θ，k 2＝－2sin θ.欲使l 1∥l 2，只要－1sin θ＝－2sin θ，即sin θ＝±22.∴θ＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线截距不相等．∴当θ＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法2：要使l 1∥l 2，需2sin 2θ－1＝0，且1＋sin θ≠0， 即sin θ＝±22，∴θ＝k π±π4，k ∈Z. ∴当θ＝k π±π4，k ∈z 时，l 1∥l 2.(2)方法1：当sin θ＝0时，l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，故l 1⊥l 2.此时θ＝k π(k ∈Z)． 当sin θ≠0时，k 1＝－1sin θ，k 2＝－2sin θ，要使l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1，即－1sin θ·(－2sin θ)＝－1， 显然无解，故当θ＝k π(k ∈Z)时，l 1⊥l 2.[解析] 解法1：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A ′(3，－4)、B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意. 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1(k ≠－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x ＋y ＋1＝0，得A (3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x ＋y ＋6＝0，得B (3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1)．由|AB |＝5.得(3k －2k ＋1－3k －7k ＋1)2＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52.解之得，k ＝0，∴直线l 方程为y ＝1. 综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1. 解法2：因为平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段为5， 设直线l 与两平行线的夹角为θ， 则sin θ＝22，∴θ＝45°. 因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或零． 又因为直线l 过点P (3,1)， 所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.3.命题方向：对称问题[例3] 求直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程． [分析] 转化为点关于直线的对称，利用方程组求解．[解析] 解法1：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3y ＝x ＋1得直线l 1与l 2的交点坐标为(－2，－1)，在l 1上任取一点A (0,3)，则A 关于直线l 的对称点B (x 1，y 1)一定在l 2上，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1－3x 1＝－1y 1＋32＝x 12＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2y 1＝1，即B (2,1)．∴l 2的方程为y －1＝1＋12＋2(x －2)．即x －2y ＝0.解法2：设所求直线上一点P (x ，y )，则在直线l 1上必存在一点P 1(x 0，y 0)与点P 关于直线l 对称． 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在直线l 上．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－yx 0－x ·1＝－1y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，变形得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －1y 0＝x ＋1，代入直线l 1：y ＝2x ＋3得x ＋1＝2×(y －1)＋3， 整理得x －2y ＝0.所以所求直线方程为x －2y ＝0.解法3：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3y ＝x ＋1知直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|12＋k 2＝|2－2＋3|22＋－2， 解得k ＝12(k ＝2舍去)，[点评] 对称问题是解析几何中的一个重要题型，是高考热点之一．两条曲线关于一条直线对称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决．求点P (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点Q (x 1，y 1)的坐标，可利用PQ ⊥l 及线段PQ 被l 平分这两个条件建立方程组求解，本题解法2就是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题的．这是解这类问题的一个通法．∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.跟踪练习3在直线l 3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．[分析] (1)在直线l 上求一点P ，使P 到两定点的距离之和最小①当两定点A 、B 在直线l 的异侧时，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知，点P 为AB 连线与l 的交点；点P 到两定点距离之和的最小值为②当两定点A 、B 在直线l 的同侧时，作点A 、B 的距离之和最小．(2)在直线上求一点P ，使P 到两定点的距离之差的绝对值最大①当两定点A 、B 在直线l 的同侧时l 上任取一点P ′，则有||P ′B②当两定点A 、B 在直线l 的异侧时，作点||PB |－|PA ′||＝|A ′B |时，达到最大．∵||P ′B |－|P ′A ′||≤|A ′B[解析] (1)如图(1)所示，设点则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －a∴a ＋3b －12＝0①又由于线段BB ′的中点坐标为即3a －b －6＝0②解①②得a ＝3，b ＝3.∴B ′(3,3)．∴3×a 2－b ＋42－1＝0.即3a －b －6＝0②解①②得a ＝3，b ＝3.∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝02x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)如图(2)所示，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为(35，245)，∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 交点坐标为(117，267)，故P 点坐标为(117，267).（五）思想方法点拨1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为代数问题．2．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点．特别提示：求两平行线间的距离时，一定化成l 1Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2Ax ＋By ＋C 2＝0的形式．3．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下几点：(1)若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求点到直线的距离； (2)若P 在直线l 上，则点P 到直线l 的距离为0，公式仍成立．4．在使用两平行线间的距离公式时，要先把两直线中x 、y 的系数化为相同，且都化成一般式后再用公式． 5．判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l 1、l 2斜率都存在，且不重合的条件下，才有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2与l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时，A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔两直线垂直，但A 1B 2－A 2B 1＝0与两直线平行不等价．用比例关系A 1A 2≠B 1B 2判断相交，A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2判断平行，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2判断重合，应用方便，但前提是A 2B 2C 2≠0，它们都不是等价条件．6．直线系方程有些问题中所给的直线方程常常含有一个参数，对于含有一个参数的直线方程，往往不是平行线系，就是过定点的直线系．(1)平行线系．①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，其中m 为参数． ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋m ＝0，其中m 为参数． ③斜率为k (定值)的平行线系方程为y ＝kx ＋b ，其中k 为常数，b 为参数． (2)过定点的直线系．①过定点P (x 0，y 0)的直线系方程为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0(A 、B 不全为零)．②过两条直线l 1A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)(不包括直线l 2)．7．对称问题对称性问题是解析几何应用较为广泛的的一类问题，归纳起来有 (1)点关于点的对称点．①点P (x ，y )关于O (0,0)的对称点P ′(－x ，－y )． ②点P (x ，y )关于点(a ，b )的对称点P ′(2a －x,2b －y )． (2)点关于直线的对称点．①点(x ，y )关于x 轴，y 轴，直线y ＝x 的对称点分别为(x ，－y )，(－x ，y )，(y ，x )． ②点A (a ，b )关于直线x ＋y ＋C ＝0的对称点A ′的坐标为(－b －C ，－a －C )． ③点A (a ，b )关于直线x －y ＋C ＝0的对称点A ′的坐标为(b －C ，a ＋C )．④点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′的坐标为(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a －AB＝－1，A a ＋m 2＋B b ＋n2＋C ＝0.(3)曲线Cf (x ，y )＝0与曲线C ′g (x ，y )＝0关于点P (a ，b )对称，则曲线C ′上任一点M ′(x ，y )，关于P 的对称点M (2a －x,2b －y )在曲线C 上，即f (2a －x,2b －y )＝0.(4)曲线Cf (x ，y )＝0关于直线y ＝kx ＋b 对称曲线为C ′g (x ，y )＝0，则C ′上任一点P 关于直线y ＝kx＋b 对称的点，必在曲线C 上，即曲线关于直线的对称问题转化为点．关于直线的对称问题。
高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直讲义苏教版必修2
2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】 已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________． 垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。
高一平面解析几何初步复习讲义
2011元旦假期数学作业高一平面解析几何初步复习讲义1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根． 2．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．第1课时 直线的方程1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．变式训练1.（1）直线3y – 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B．60° C．120° D．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7B ．－77C ．77D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：23++x y 的最大值与最小值.典型例题变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ） A.21B.33 C.23D.3例4. 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．变式训练4.直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA 取最小值时，求直线l 的方程．1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.小结归纳第2课时直线与直线的位置关系（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定2（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为．（三）两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．（五）五种常用的直线系方程.① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋ (A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).例1. 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.变式训练1.若直线l 1：ax+4y-20=0，l 2：x+ay-b=0，当a 、b 满足什么条件时，直线l 1与l 2分别相交？平行？垂直？重合？例2. 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C 的坐标并判断△ABC 的形状．例3. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点p ，使PB PA 为最小，并求出这个最小值．变式训练3：已知过点A （1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O 与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4第3课时 圆的方程1． 圆心为C(a 、b)，半径为r 的圆的标准方程为_________________．2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy ＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是．4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．典型例题例1. 根据下列条件，求圆的方程．(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（例3. 知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x-2y 的最大值和最小值； （3）求12--x y 的最大值和最小值.变式训练3：已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0. （1）求y-x 的最大值和最小值；（2）求x 2+y 2的最大值和最小值.例4. 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。
高中数学 第二章 平面解析几何初步本章整合课件 新人
平面直角坐标
数轴上的基本公式:������������ = ������������ + ������������,������������ = ������2-������1,d(A,B) = |������2-������1|
系中的基本公式 平面直角坐标系中的基本公式:������(������,������) = |������������| =
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
【应用 2】 若直线 3x+y+2n=0 与圆 x2+y2=n2 相切,其中 n∈N+,则 n 的
值等于( )
A.1
B.2
C.4
D.1 或 2
提示:利用圆心距等于半径列方程求解.
解析:圆心(0,0)到直线的距离为 d= 2������ =2n-1.由 n=2n-1,结合选项,得
(������2
-������1)2
+
(������2
-������1
2
)
+
(������2
-������1
2
)
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
专题一 位置关系问题
1.两条直线的位置关系 考查两条直线的平行与垂直关系时,通常有两种方式可以选择:一是直 线方程以斜截式给出,此时可通过斜率和直线在 y 轴上的截距来处理;二是 直线方程以一般式给出,此时可转化为斜率和直线在 y 轴上的截距来处理, 也可以直接利用系数处理.
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
2.直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点; (2)直线与圆相切,此时直线与圆只有一个公共点; (3)直线与圆相离,此时直线与圆没有公共点. 判定直线与圆的位置关系常有两种方法: (1)代数法:将直线方程与圆的方程联立得方程组,消去 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一元二次方程,计算其判别式 Δ,若 Δ>0,则相交;若 Δ=0,则相切;若 Δ<0,则相离. (2)几何法:由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断:若 d<r,则直 线与圆相交;若 d=r,则直线与圆相切;若 d>r,则直线与圆相离.
高中数学专题讲义：平面解析几何
高中数学专题讲义：平面解析几何第1讲 直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0,π). (2)直线的斜率①定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k 表示,即k ＝tan__α；②斜率公式：经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线3.若点P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过点P (x 0,y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示.( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°,α2＝45°时,α1＞α2,但其对应斜率k 1＝－1,k 2＝1,k 1＜k 2. (2)当直线斜率为tan(－45°)时,其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等.(4)当直线的斜率不存在时,不可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(2017·衡水金卷)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题得,直线y ＝x ＋1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tan α＝1,又0°≤α＜180°,故α＝45°,故选B. 答案 B3.如果A ·C <0,且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0,在y 轴上的截距－CB >0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限. 答案 C4.已知A (3,5),B (4,7),C (－1,x )三点共线,则x ＝______.解析 ∵A ,B ,C 三点共线,∴k AB ＝k AC ,∴7－54－3＝x －5－1－3,∴x ＝－3.答案 －35.(必修2P100A9改编)过点P (2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________. 解析 当纵、横截距为0时,直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时,设直线方程为x a ＋y a ＝1,则2a ＋3a ＝1,解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 (2)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为________.解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α, 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3,所以12≤cos α≤32,因此k ＝2·cos α∈[1,3].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,3]. 又θ∈[0,π),所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3,即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)如图,∵k AP ＝1－02－1＝1,k BP ＝3－00－1＝－3,∴直线l 的斜率k ∈(－∞,－3]∪[1,＋∞). 答案 (1)B (2)(－∞,－3]∪[1,＋∞)【迁移探究1】 若将题(2)中P (1,0)改为P (－1,0),其他条件不变,求直线l 斜率的取值范围.解 ∵P (－1,0),A (2,1),B (0,3), ∴k AP ＝1－02－（－1）＝13,k BP ＝3－00－（－1）＝ 3.如图可知,直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 将题(2)中的B 点坐标改为B (2,－1),其他条件不变,求直线l 倾斜角的范围. 解 如图：直线P A 的倾斜角为45°, 直线PB 的倾斜角为135°,由图象知直线l 的倾斜角的范围为[0°,45°]∪[135°,180°).规律方法 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0).【训练1】 (2017·惠州一调)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0,π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 解析 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1,1],所以－1≤ tan θ≤1,又θ∈[0,π),所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π,故选B. 答案 B考点二 直线方程的求法【例2】 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0),倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为α,则sin α＝1010(0≤α<π), 从而cos α＝±31010,则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4). 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为xa ＋y12－a＝1, 又直线过点(－3,4),从而－3a ＋412－a ＝1,解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时,设其为k ,则所求直线方程为y －10＝k (x －5), 即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点线距离公式,得|10－5k |k 2＋1＝5,解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知,所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.规律方法 根据各种形式的方程,采用待定系数的方法求出其中的系数,在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否,凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性. 【训练2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (4,1),且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1,－3),倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a ＝0,即l 过点(0,0)和(4,1), ∴l 的方程为y ＝14x ,即x －4y ＝0.若a ≠0,则设l 的方程为x a ＋ya ＝1, ∵l 过点(4,1),∴4a ＋1a ＝1, ∴a ＝5,∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知,直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α ,则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3,∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1,－3),因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1), 即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4),由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限,求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ,交y 轴正半轴于B ,△AOB 的面积为S (O 为坐标原点),求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0, 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值,直线总经过定点(－2,1).(2)解 由方程知,当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ,在y 轴上的截距为1＋2k ,要使直线不经过第四象限,则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时,直线为y ＝1,符合题意,故k 的取值范围是[0,＋∞).(3)解 由题意可知k ≠0,再由l 的方程, 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0,B (0,1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4,“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ,即k ＝12, ∴S min ＝4,此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.规律方法 在求直线方程的过程中,若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题,则可先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.【训练3】 已知直线l 过点P (3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程. 解 法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0,b ＞0), 点P (3,2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab ,得ab ≥24,从而S △ABO ＝12ab ≥12,当且仅当3a ＝2b 时等号成立,这时k ＝－b a ＝－23, 从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0. 法二 依题意知,直线l 的斜率k 存在且k ＜0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0), 且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0,B (0,2－3k ),∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k）＋4（－k）≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k）·4（－k）＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝4－k,即k＝－23时,等号成立,即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.[思想方法]1.直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<02.在求直线方程时,.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零；若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.[易错防范]1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3,又因为0°≤α＜180°,所以α＝60°. 答案 B2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心,且与直线x ＋y ＋1＝0垂直,则直线l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3),又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直,所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0,化简得x －y ＋3＝0. 答案 D3.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1,∴－1≤k ＜0,则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 B4.(2017·高安市期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( )A.6x －4y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0.答案 A5.(2016·广州质检)若直线l 与直线y ＝1,x ＝7分别交于点P ,Q ,且线段PQ 的中点坐标为(1,－1),则直线l 的斜率为( ) A.13B.－13C.－32D.23解析 依题意,设点P (a ,1),Q (7,b ),则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5,b ＝－3,从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 B6.(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中,直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0,b >0时,－a <0,－b <0.选项B 符合. 答案 B7.(2016·衡水一模)已知直线l 的斜率为3,在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数,则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12,∴直线l 在y 轴上的截距为2,∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2,故选A. 答案 A8.(2017·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0,b ＞0)过点(1,1),则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0,b ＞0)过点(1,1), ∴a ＋b ＝ab ,即1a ＋1b ＝1,∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4,当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为4. 答案 C 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5,0,),B (3,－3),C (0,2),则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12,∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5,即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝010.若直线l 的斜率为k ,倾斜角为α,而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π,则k 的取值范围是________.解析 当π6≤α<π4时,33≤tan α<1,∴33≤k <1. 当2π3≤α<π时,－3≤tan α<0, 3≤k ＜0,∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3,0).答案 [－3,0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，111.过点M (3,－4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 解析 ①若直线过原点,则k ＝－43, 所以y ＝－43x ,即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点,设直线方程为x a ＋ya ＝1, 即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1, 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝012.直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0,则直线l 恒过定点________. 解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0, 由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2,y ＝－2, 所以直线l 恒过定点(2,－2). 答案 (2,－2)能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知直线l 过点(1,0),且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍,则直线l 的方程为( )A.4x －3y －3＝0B.3x －4y －3＝0C.3x －4y －4＝0D.4x －3y －4＝0解析 由题意可设直线l 0,l 的倾斜角分别为α,2α,因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12,则tan α＝12,所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43,所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1),即4x －3y －4＝0. 答案 D14.(2017·成都诊断)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B.[－1,0] C.[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析 由题意知y ′＝2x ＋2,设P (x 0,y 0),则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,则0≤k ≤1,即0≤2x 0＋2≤1,故－1≤x 0≤－12.答案 A15.已知直线l 过坐标原点,若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ,y ). 则点P (x ,y )在线段AB 上移动,且A (2,4),B (3,2),设直线l 的斜率为k .又k OA ＝2,k OB ＝23.如图所示,可知23≤k ≤2. ∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，216.在平面直角坐标系xOy 中,设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点,直线OA 的倾斜角为45°,过点A 作x 轴的垂线,垂足为H ,过H 作OA 的平行线交半圆于点B ,则直线AB 的方程是________. 解析 直线OA 的方程为y ＝x , 代入半圆方程得A (1,1),∴H (1,0),直线HB 的方程为y ＝x －1, 代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1,即3x ＋y －3－1＝0. 答案3x ＋y －3－1＝0第2讲 两直线的位置关系最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地,当直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1,l 2斜率都存在,设为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地,两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0,l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2＋B1B2＝0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1,l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2,若l1的斜率k1＝0,则l2的斜率不存在.答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.(2016·北京卷)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C. 2D.2 2解析圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0),由y＝x＋3得x－y＋3＝0,则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C3.(2017·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行,则m＝()A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则有2m ＝m ＋13≠4－2,故m ＝2或－3.故选C. 答案 C4.直线2x ＋2y ＋1＝0,x ＋y ＋2＝0之间的距离是________. 解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0,则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324. 答案3245.(必修2P89练习2改编)已知P (－2,m ),Q (m ,4),且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0,则m ＝________.解析 由题意知 m －4－2－m ＝1,所以m －4＝－2－m ,所以m ＝1.答案 1考点一 两直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0,l 2：x ＋ay ＋3＝0平行,则a 等于( ) A.－1 B.2 C.0或－2D.－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1,l 2：ax ＋2y ＝0,若l 1⊥l 2,则a ＝________.解析 (1)若a ＝0,两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3,此时两直线相交,不平行,所以a ≠0；当a ≠0时,两直线平行,则有a －11＝2a ≠13,解得a ＝－1或2. (2)因为l 1⊥l 2,所以k 1k 2＝－1.即(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝－2. 答案 (1)D (2)－2规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x ,y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (1)(2017·重庆一中检测)若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直,则实数a 的值为( ) A.12B.32C.14D.34(2)(2017·西安模拟)已知a ,b 为正数,且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行,则2a ＋3b 的最小值为________.解析 (1)由已知得3(a －1)＋a ＝0,解得a ＝34.(2)由两直线平行可得,a (b －3)＝2b ,即2b ＋3a ＝ab ,2a ＋3b ＝1.又a ,b 为正数,所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a ≥13＋26a b ·6ba ＝25,当且仅当a ＝b ＝5时取等号,故2a ＋3b 的最小值为25.答案 (1)D (2)25考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是________.(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等,则直线l 的方程为________.解析 (1)法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0,即k ＝－12,则两直线平行)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.法二 如图,已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0),B (0,2). 而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2),表示这是一条过定点P (－2,1),斜率为k 的动直线. ∵两直线的交点在第一象限,∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点), ∴动直线的斜率k 需满足k P A ＜k ＜k PB . ∵k P A ＝－16,k PB ＝12. ∴－16＜k ＜12.(2)法一 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1),即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1,即|3k －1|＝|－3k －3|,∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1), 即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝－1,也符合题意. 法二 当AB ∥l 时,有k ＝k AB ＝－13,直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1),即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时,AB 的中点为(－1,4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1规律方法 (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0,y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |,到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ,y 的系数化为相等.【训练2】 (1)曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ,则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722B.922C.1122D.91010(2)(2017·河北省“五个一名校联盟”质检)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行,则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.833解析 (1)曲线y ＝2x －x 3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1,故切点坐标为(－1,－1).切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1,故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)],整理得x ＋y ＋2＝0.由点到直线的距离公式,得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. (2)因为l 1∥l 2,所以1a －2＝a 3≠62a ,所以⎩⎨⎧a （a －2）＝3，2a 2≠18，a ≠2，a ≠0，解得a ＝－1,所以l 1：x －y ＋6＝0,l 2：x－y ＋23＝0,所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823,故选B.答案 (1)A (2)B 考点三 对称问题【例3】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A (－1,－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1,－2)对称的直线l ′的方程.解(1)设A ′(x ,y ),再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ,则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3),∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点, 如M (1,1),N (4,3),则M ,N 关于点A 的对称点M ′,N ′均在直线l ′上.易知M ′(－3,－5),N ′(－6,－7),由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二 设P (x ,y )为l ′上任意一点, 则P (x ,y )关于点A (－1,－2)的对称点为 P ′(－2－x ,－4－y ),∵P ′在直线l 上,∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0, 即2x －3y －9＝0.规律方法 (1)解决点关于直线对称问题要把握两点,点M 与点N 关于直线l 对称,则线段MN 的中点在直线l 上,直线l 与直线MN 垂直.(2)如果直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若直线l 1,l 2关于直线l 对称,则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交,则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上,则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.【训练3】 光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入,遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射,求反射光线所在的直线方程.解 法一 由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1,2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0),设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0,y 0), 由PP ′⊥l 可知,k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02,又Q 点在l 上,∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0,y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),则y 0－y x 0－x＝－23,又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上,∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－（y ＋y 0）＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为 x 0＝－5x ＋12y －4213,y 0＝12x ＋5y ＋2813, 代入方程x －2y ＋5＝0中,化简得29x －2y ＋33＝0, ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.[思想方法]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1,l 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. [易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率,要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时,一定要注意将两方程中x ,y 的系数分别化为相同的形式.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2,直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12,则k 1≠k 2,且k 1k 2≠－1.故选C. 答案 C2.(2017·刑台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意得,直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧a （a －2）＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1,因此选C. 答案 C3.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A.19x －9y ＝0 B.9x ＋19y ＝0 C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0解析 法一由⎩⎨⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ,即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0, 即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0,又直线过点(0,0), 所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0, 解得λ＝－45,故所求直线方程为3x ＋19y ＝0. 答案 D4.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A.x ＋2y －1＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x ＋2y ＋3＝0D.x ＋2y －3＝0解析 设所求直线上任一点(x ,y ),则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ,y )在直线x －2y ＋1＝0上,即2－x －2y ＋1＝0,化简得x ＋2y －3＝0. 答案 D5.(2017·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10,则m ＝( ) A.7B.172C.14D.17解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0),即2x ＋6y ＋2m ＝0,因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离10,所以|2m ＋3|4＋36＝10,求得m ＝172,故选B. 答案 B6.平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( ) A.y ＝2x －1 B.y ＝－2x ＋1 C.y ＝－2x ＋3D.y ＝2x －3解析 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1),B (1,3),则点A 关于点(1,1)对称的点为M (2,1),点B 关于点(1,1)对称的点为N (1,－1).由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1,即y ＝2x －3,故选D. 答案 D7.(2017·成都调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°,直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直,则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( ) A.(3,3) B.(2,3) C.(1,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫1，32解析 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33,因为直线l 2与直线l 1垂直,所以k 2＝－1k 1＝－3,所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2),直线l 2的方程为y ＝－3(x －2).两式联立,解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1,3).故选C. 答案 C8.从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上,则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12,所以直线的方程为y －3＝12(x －2),其与y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3),所以反射光线过点(－2,3)与(0,2),由两点式知A 正确. 答案 A 二、填空题9.点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________.解析设对称点为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3).答案 (0,3)10.若三条直线y ＝2x ,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________. 解析 由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0, 即m ×1＋2×2＋5＝0,∴m ＝－9. 答案 －911.(2017·沈阳检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2),B (4,－2)等距离,则直线l 的方程为________.解析 显然直线l 的斜率不存在时,不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3), 即kx －y ＋4－3k ＝0,由已知,得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2, ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝012.(2016·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程为________.解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ,b ),则反射光线所在直线过点M ′, 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0.又反射光线经过点N (2,6), 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1, 即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝0能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内,过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ,则|MP |2＋|MQ |2的值为( ) A.102B.10C.5D.10解析 由题意知P (0,1),Q (－3,0),∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直,∴M 位于以PQ 为直径的圆上,∵|PQ |＝9＋1＝10,∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10,故选D. 答案 D14.如图所示,已知两点A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( ) A.210 B.6 C.3 3D.2 5解析 易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4,由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2),点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0),则光线所经过的路程即A 1(4,2)与A 2(－2,0)两点间的距离. 于是|A 1A 2|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210. 答案 A15.设m ∈R ,过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ,y ),则|P A |·|PB |的最大值是________.解析 易知A (0,0),B (1,3)且两直线互相垂直, 即△APB 为直角三角形,∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5.当且仅当|P A |＝|PB |时,等号成立. 答案 516.在平面直角坐标系内,到点A (1,2),B (1,5),C (3,6),D (7,－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解析 设平面上任一点M ,因为|MA |＋|MC |≥|AC |,当且仅当A ,M ,C 共线时取等号,同理|MB |＋|MD |≥|BD |,当且仅当B ,M ,D 共线时取等号,连接AC ,BD 交于一点M ,若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小,则点M 为所求.∵k AC ＝6－23－1＝2, ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1), 即2x －y ＝0.①又∵k BD ＝5－（－1）1－7＝－1,∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1),即x＋y－6＝0.②由①②得⎩⎨⎧2x－y＝0，x＋y－6＝0，解得⎩⎨⎧x＝2，y＝4，所以M(2,4).答案(2,4)第3讲圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a,b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.平面上的一点M(x0,y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外,即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上,即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内,即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0,B＝0,D2＋E2－4AF>0.()解析(2)当a＝0时,x2＋y2＝a2表示点(0,0)；当a＜0时,表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0,即m＜14或m＞1时才表示圆.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(2015·北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2解析由题意得圆的半径为2,故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2,故选D.答案 D3.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部,则实数a的取值范围是()A.(－1,1)B.(0,1)C.(－∞,－1)∪(1,＋∞)D.a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部,所以(1－a)2＋(1＋a)2<4,所以－1<a<1.答案 A4.(2016·浙江卷)已知a∈R,方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.解析由已知方程表示圆,则a2＝a＋2,解得a＝2或a＝－1.当a＝2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.当a＝－1时,原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0,化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25,表示以(－2,－4)为圆心,半径为5的圆.答案(－2,－4) 55.(必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上,并且过点A(－1,1)和B(1,3),则圆C的方程为________.解析设圆心坐标为C(a,0),∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上,∴|CA|＝|CB|,即（a＋1）2＋1＝（a－1）2＋9,解得a＝2,所以圆心为C(2,0),半径|CA|＝（2＋1）2＋1＝10,∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝10考点一圆的方程【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1),则圆C的方程为________.(2)已知圆C经过P(－2,4),Q(3,－1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为________.解析(1)法一由已知k AB＝0,所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2),即x＋y－3＝0,②联立①②,解得⎩⎨⎧x＝3，y＝0，所以圆心坐标为(3,0),半径r＝（4－3）2＋（1－0）2＝2,所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0),∵点A(4,1),B(2,1)在圆上,故⎩⎨⎧（4－a）2＋（1－b）2＝r2，（2－a）2＋（1－b）2＝r2，又∵b－1a－2＝－1,解得a＝3,b＝0,r＝2,故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＝0),将P,Q两点的坐标分别代入得⎩⎨⎧2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②又令y＝0,得x2＋Dx＋F＝0.③设x1,x2是方程③的两根,由|x1－x2|＝6,得D2－4F＝36,④由①,②,④解得D＝－2,E＝－4,F＝－8,或D＝－6,E＝－8,F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)(x－3)2＋y2＝2(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0规律方法求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法：(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.【训练1】(1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x－y＝0的距离为455,则圆C的方程为________.(2)(2017·武汉模拟)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心,与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________.解析(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a＞0,所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455,解得a＝2,所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3,所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1,0),准线为x＝－1,故所求圆的圆心为(1,0),半径为2,所以该圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.答案(1)(x－2)2＋y2＝9(2)(x－1)2＋y2＝4考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k,即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时|2k－0|k2＋1＝3,解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3,最小值为－ 3.。
苏教版学高中数学必修二平面解析几何初步圆与圆的位置关系讲义
学习目标核心素养１．能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．（重点）２．当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．（易错点）３．了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．（难点）通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.圆与圆的位置关系１．几何法：若两圆的半径分别为r１，r２，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r１，r２的关系d>r１＋r２d＝r１＋r２|r１—r２|<d<r１＋r２d＝|r１—r２|d<|r１—r２|错误!错误!错误!错误!１．思考辨析（１）两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．（）（２）若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．（）（３）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．（）（４）若两圆有公共点，则|r１—r２|≤d≤r１＋r２. （）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）√２．两圆x２＋y２＋6x＋４y＝0及x２＋y２＋４x＋２y—４＝0的公共弦所在的直线方程为______________．x＋y＋２＝0 [联立错误!１—２得：x＋y＋２＝0．]３．圆x２＋y２＝１与圆x２＋y２＋２x＋２y＋１＝0的交点坐标为________．（—１，0）和（0，—１）[由错误!解得错误!或错误!]４．圆C１：x２＋y２＋４x—４y＋7＝0和圆C２：x２＋y２—４x—１0y＋１３＝0的公切线有________条．３[圆C１的圆心坐标为C１（—２，２），半径r１＝１．∵圆C２的圆心坐标为C２（２，５），半径r２＝４．∴|C１C２|＝错误!＝５，r１＋r２＝５，∴两圆外切．故公切线有３条．]两圆位置关系的判定１２２２２２２（１）m＝１时，圆C１与圆C２有什么位置关系？（２）是否存在m使得圆C１与圆C２内含？思路探究：（１）参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r１＋r和|r１—r２|的大小关系．（２）假设存在m使得圆C１与圆C２内含，则圆心距d<|r１—r２|.２[解] （１）∵m＝１，∴两圆的方程分别可化为：C１：（x—１）２＋（y＋２）２＝9．C２：（x＋１）２＋y２＝１．两圆的圆心距d＝错误!＝２错误!，又∵r１＋r２＝３＋１＝４，r１—r２＝３—１＝２，∴r１—r２<d<r１＋r２，所以圆C１与圆C２相交．（２）假设存在m使得圆C１与圆C２内含，则错误!<３—１，即（m＋１）２<0，显然不等式无解．故不存在m使得圆C１与圆C２内含．判断圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．１．已知圆C１：x２＋y２—２ax—２y＋a２—１５＝0，C２：x２＋y２—４ax—２y＋４a２＝0（a>0）．试求a为何值时两圆C１，C２（１）相切；（２）相交；（３）相离；（４）内含．[解] 对圆C１，C２的方程，经配方后可得：C１：（x—a）２＋（y—１）２＝１6，C２：（x—２a）２＋（y—１）２＝１，∴圆心C１（a，１），r１＝４，C２（２a，１），r２＝１，∴|C１C２|＝错误!＝a，（１）当|C１C２|＝r１＋r２＝５，即a＝５时，两圆外切，当|C１C２|＝r１—r２＝３，即a＝３时，两圆内切．（２）当３<|C１C２|<５，即３<a<５，时，两圆相交．（３）当|C１C２|>５，即a>５时，两圆外离．（４）当|C１C２|<３，即0<a<３时，两圆内含．两圆相交的问题１２２２２２（１）求公共弦所在直线的方程；（２）求公共弦的长．思路探究：错误!→错误!→错误!→错误![解] （１）设两圆的交点分别为A（x１，y１），B（x２，y２）．将点A的坐标代入两圆方程，得错误!１—２，得x１—２y１＋４＝0，故点A在直线x—２y＋４＝0上．同理，点B也在直线x—２y＋４＝0上，即点A，B均在直线x—２y＋４＝0上．因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB的方程为x—２y＋４＝0，即公共弦所在直线的方程为x—２y＋４＝0．（２）圆C１的方程可化为（x—１）２＋（y＋５）２＝５0，所以C１（１，—５），半径r１＝５错误!.C１（１，—５）到公共弦的距离d＝错误!＝３错误!.设公共弦的长为l，则l＝２错误!＝２错误!＝２错误!.１．利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．２．求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．２．求圆心在直线x—y—４＝0上，且经过两圆x２＋y２—４x—6＝0和x２＋y２—４y—6＝0的交点的圆的方程．[解] 由错误!得错误!或错误!即两圆的交点坐标为A（—１，—１），B（３，３）．设所求圆的圆心坐标C为（a，a—４），由题意可知CA＝CB，即错误!＝错误!，解得a＝３，∴C（３，—１）．∴CA＝错误!＝４，所以，所求圆的方程为（x—３）２＋（y＋１）２＝１6．两圆相切的问题１．若已知圆C１：x２＋y２＝a２（a>0）和C２：（x—２）２＋y２＝１，那么a取何值时C１与C２相外切？[提示] 由|C１C２|＝a＋１，得a＋１＝２，∴a＝１．２．若将探究１中，C２的方程改为（x—２）２＋y２＝r２（r>0），那么a与r满足什么条件时两圆相切？[提示] 若两圆外切，则a＋r＝|C１C２|＝２，即a＋r＝２时外切．若两圆内切，则|r—a|＝|C１C２|＝２．∴r—a＝２或a—r＝２．【例３】已知圆C１：x２＋y２＋４x—４y—５＝0与圆C２：x２＋y２—8x＋４y＋7＝0．（１）证明：圆C１与圆C２相切，并求过切点的公切线的方程；（２）求过点（２，３）且与两圆相切于（１）中切点的圆的方程．思路探究：（１）证明|C１C２|＝r１＋r２，两圆方程相减得公切线方程．（２）由圆系方程设圆的方程，将已知点代入．[解] （１）把圆C１与圆C２都化为标准方程形式，得（x＋２）２＋（y—２）２＝１３，（x—４）２＋（y＋２）２＝１３；圆心与半径长分别为C１（—２，２），r１＝错误!；C２（４，—２），r２＝错误!，因为|C１C２|＝错误!＝２错误!＝r１＋r２，所以圆C１与圆C２相切．由错误!得１２x—8y—１２＝0，即３x—２y—３＝0，这就是过切点的两圆公切线的方程．（２）由圆系方程，可设所求圆的方程为x２＋y２＋４x—４y—５＋λ（３x—２y—３）＝0．点（２，３）在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝错误!.所以所求圆的方程为x２＋y２＋４x—４y—５＋错误!（３x—２y—３）＝0，即x２＋y２＋8x—错误!y—9＝0．两圆相切有如下性质（１）设两圆的圆心分别为O１，O２，半径分别为r１，r２，则两圆相切错误!（２）两圆相切时，两圆圆心的连线过切点（两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦）．在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．３．求与圆C：x２＋y２—２x＝0外切且与直线l：x＋错误!y＝0相切于点M（３，—错误!）的圆的方程．[解] 圆C的方程可化为（x—１）２＋y２＝１，圆心C（１，0），半径为１．设所求圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r>0），由题意可知错误!解得错误!或错误!所以所求圆的方程为（x—４）２＋y２＝４或x２＋（y＋４错误!）２＝３6．１．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系．２．本节课要重点掌握的规律方法（１）判断两圆位置关系的方法及应用．（２）求两圆公共弦长的方法．３．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解．１．圆（x＋２）２＋y２＝４与圆（x—２）２＋（y—１）２＝9的位置关系为（）Ａ．相离Ｂ．相切Ｃ．相交Ｄ．内含C[两圆圆心分别为（—２，0），（２，１），半径分别为２和３，圆心距d＝错误!＝错误!.∵３—２<d<３＋２，∴两圆相交．]２．已知圆C１：x２＋y２—２mx＋m２＝１与圆C２：x２＋y２＋２y＝8外离，则实数m的取值范围是________．（—∞，—错误!）∪（错误!，＋∞）[圆C１可化为（x—m）２＋y２＝１，圆C２可化为x２＋（y ＋１）２＝9，所以圆心C１（m，0），C２（0，—１），半径r１＝１，r２＝３，因为两圆外离，所以应有C１C２>r１＋r２＝１＋３＝４，即错误!>４，解得m>错误!或m<—错误!.]３．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x２＋（y—３）２＝１内切，则此圆的方程为________．（x±４）２＋（y—6）２＝３6 [设圆心坐标为（a，b），由题意知b＝6，错误!＝５，可以解得a ＝±４，故所求圆的方程为（x±４）２＋（y—6）２＝３6．]４．已知圆C１：x２＋y２—２mx＋４y＋m２—５＝0，圆C２：x２＋y２＋２x—２my＋m２—３＝0，m为何值时，（１）圆C１与圆C２外切；（２）圆C１与圆C２内含．[解] 将圆C１，圆C２化为标准形式得C１：（x—m）２＋（y＋２）２＝9，C２：（x＋１）２＋（y—m）２＝４．则C１（m，—２），C２（—１，m），r１＝３，r２＝２，C１C２＝错误!＝错误!.（１）当圆C１与圆C２外切时，有r１＋r２＝C１C２，则错误!＝５，解得m＝—５或２，即当m＝—５或２时，两圆外切．（２）当圆C１与圆C２内含时，C１C２<r１—r２，∴错误!<１，即m２＋３m＋２<0．∵f（m）＝m２＋３m＋２的图象与横坐标轴的交点是（—２，0），（—１，0），∴由m２＋３m＋２<0，可得—２<m<—１，即当—２<m<—１时，两圆内含．。
数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)
数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)学习要点几何问题的转化圆幂与根轴P’tolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel点垂足三角形与等角共轭反演与配极，调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，sin sin tan 12。
求证：2EF=DE+DC。
（__-__.gsp）且2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O 上，P为圆O的AO'B弧段上任意一点。
∠APB的平分线交圆O'于Q点。
求证：PQ2=PA×PB。
（__-__-1. gsp）3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。
（__-__.gsp）4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。
求证：AP//BC。
（__-__.gsp）5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。
求证：AB、CE、DF共点。
（__-__.gsp）6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。
求证：∠PQC=∠PQD。
（__-__-26.gsp）7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。
求证：DE=EF。
（__-__.gsp）8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥AB，BE=BD。
过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△A BD 的外接圆的劣弧AD于点F。
平面几何讲义之四点共圆(内容很详实)
BB高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二 线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三 线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒， 则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明 设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明 在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、（等角共轭点性质）已知 点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠.求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，B圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。
人教A版高中数学必修二讲义第八章 8.4 8.4.1
8.4.1平面知识点一平面的概念平面的概念及表示( 1)概念:几何里所说的“平面”是从生活中的物体中□01抽象出来的,是□02向四周无限延展的．( 2)平面的画法:①常用□03矩形的直观图,即平行四边形表示平面．当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成□04横向;当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成□05竖向．如图a.②在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常□06把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些．如图b.( 3)表示法:可以用□07希腊字母α,β,γ等来表示;用□08两个大写的英文字母( 表示平面的平行四边形的相对的两个顶点)来表示;用□09四个大写的英文字母( 表示平面的平行四边形的□10四个顶点)来表示．知识点二点、线、面之间的关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达知识点三平面的基本性质1．解决立体几何问题首先应过好文字语言、符号语言和图形语言三大语言关,即实现这三种语言的相互转换,正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义,恰当地用符号语言描述图形语言,将图形语言用文字语言描述出来,再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候,要注意符号语言所代表的含义,作直观图时,要注意线的实虚．2．对于证明几点( 或几条直线)共面的问题,先由其中几个点( 或几条直线)确定一个平面后,再证明其他点( 或直线)也在该平面内即可．3．证明三点共线通常采用以下方法:( 1)首先找出两个平面,然后证明这三个点都是这两个平面的公共点,由基本事实3可知这些点都在交线上;( 2)先由其中任意两点确定一条直线,再证明另一点也在这条直线上．4．证明三线共点,可先由两条直线交于一点,而这个点分别在两个平面内,这两个平面的交线就是第三条直线,由基本事实3可知该点在第三条直线上,即三线共点．1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)平行四边形是一个平面．( )( 2)若A∈a,a⊂α,则A∈α.( )( 3)两个平面的交线可能是一条线段．( )( 4)经过一条直线和一个点,有且只有一个平面．( )答案( 1)×( 2)√( 3)×( 4)×2．做一做( 1)如图所示,用符号语言表示以下各概念:①点A,B在直线a上:________;②直线a在平面α内:________;③点D在直线b上,点C在平面α内:________.( 2)若平面α与平面β相交于直线l,点A∈α,A∈β,则点A________l;其理由是__________________________．( 3) 根据图,填入相应的符号:A________平面ABC,A________平面BCD,BD________平面ABC,平面ABC∩平面ACD＝________.答案( 1)①A∈a,B∈a②a⊂α③D∈b,C∈α( 2)∈同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上( 3)∈∉⊄AC题型一平面概念的理解例1( 1)下列命题:①书桌面是平面;②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚;③有一个平面的长是50 m,宽为20 m;④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________;( 2)下图中的两个相交平面,其中画法正确的是________．[详细解析]( 1)由平面的概念,知它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确．( 2)对于①,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画,因此①的画法不正确．同样的道理,也可知②、③图形的画法不正确,④中图形的画法正确．[答案]( 1)1( 2)④平面概念的理解及特点( 1)平面是一个只描述而不定义的原始概念,它是由平时生活中常见的平面抽象出来的,是理想的,是无限延展的,是无厚薄、大小的．( 2)要注意平面具有如下特点:①平面是平的;②平面是没有厚度的;③平面是无限延展而没有边界的;④平面是由空间的点、线组成的无限集合;⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．下列四种说法正确的是________．①平面的形状是平行四边形;②任何一个平面图形都可以表示平面;③平面ABCD的面积为100 cm2;④空间图形中,后作的辅助线都是虚线．答案②详细解析①错误,通常用平行四边形表示平面,但平面的形状不一定是平行四边形;③错误,平面不能度量;④错误,看不到的线画成虚线.题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例2根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．( 1)点P与直线AB;( 2)点C与直线AB;( 3)点M与平面AC;( 4)点A1与平面AC;( 5)直线AB与直线BC;( 6)直线AB与平面AC;( 7)平面A1B与平面AC.[详解]( 1)P∈AB.( 2)C∉AB.( 3)M∈平面AC.( 4)A1∉平面AC.( 5)AB∩BC＝B.( 6)AB⊂平面AC.( 7)平面A1B∩平面AC＝AB.三种语言的转换方法( 1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着先用文字语言表示,再用符号语言表示．( 2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别．( 1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．①A∉α,a⊂α:________;②α∩β＝a,P∉α且P∉β:________;③a⊄α,a∩α＝A:________;④α∩β＝a,α∩γ＝c,β∩γ＝b,a∩b∩c＝O:________.( 2)根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形．①A∈α,B∉α;②l⊂α,m∩α＝A,A∉l;③P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.答案( 1)①C②D③A④B( 2)见详细解析详细解析( 2)①点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①.②直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图②.③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图③.题型三线共面问题例3已知直线b∥c,且直线a与b,c都相交,求证:直线a,b,c共面．[证明]∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α,设a∩b＝A,a∩c＝B,∴A∈a,B∈a,A ∈b,B∈c,又b⊂α,∴A∈α,同理B∈α,即a⊂α,∴三线共面．[条件探究]在本例中,若直线a∥b∥c,直线l∩a＝A,l∩b＝B,l∩c＝C,又该如何证明直线a,b,c,l共面?证明如图所示．∵a∥b,∴a,b可确定一个平面α.又l∩a＝A,l∩b＝B,∴A∈a,B∈b,A∈α,B∈α.∴AB⊂α.又A∈l,B∈l,∴l⊂α.又b∥c,∴b,c可确定一个平面β.同理l⊂β.∵平面α,β均经过直线b,l,且b和l是两条相交直线,∴l与b确定的平面是唯一的．∴a,b,c,l四线共面．证明多线共面的两种方法( 1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内．( 2)重合法:即先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内．下列说法中正确的是( )A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内答案 D详细解析经过同一条直线上的三点有无数个平面,故A不正确;当两两相交的三条直线相交于一点时,可能确定三个平面,故B不正确;有三个角为直角的四边形不一定是平面图形,如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,四边形ACC1D1满足∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°,但四边形ACC1D1不是平面图形,故C不正确;和同一条直线相交的三条平行直线一定共面,故选D.题型四点共线问题例4如图,已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB,BC,AC延长后分别交平面α于点P,Q,R.求证:P,Q,R三点在同一条直线上．[证明]证法一:由已知AB的延长线交平面α于点P,根据基本事实3,平面ABC与平面α必相交于一条直线,设为l.∵P∈直线AB,∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P,∴P∈平面α,∴P是平面ABC与平面α的公共点．∵平面ABC∩α＝l,∴P∈l.同理,Q∈l,R∈l.∴P,Q,R三点在同一条直线l上．证法二:∵AP∩AR＝A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α＝P,AC∩α＝R,∴平面APR∩α＝PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR,又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线．点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法:( 1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上;( 2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线．证明∵MN∩EF＝Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF,又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD.∴M,N∈平面ABCD,∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.题型五线共点问题例5如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,B1P＝2P A1,C1Q＝2QA1.求证:直线AA1,BP,CQ相交于一点．[证明]如图,连接PQ.由B1P＝2P A1,C1Q＝2QA1,得PQ∥B1C1,且PQ＝13B1C1.又BC綊B1C1,∴PQ∥BC,且PQ＝13BC,∴四边形BCQP为梯形,∴直线BP,CQ相交,设交点为R,则R∈BP,R∈CQ.又BP⊂平面AA1B1B,CQ⊂平面AA1C1C,∴R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C,∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上,即R∈AA1,∴直线AA1,BP,CQ相交于一点．证明线共点问题的步骤证明三线共点的思路是:先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这个点,把问题归结为证明点在直线上的问题．在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC ＝DH ∶HA ＝1∶3.求证:EF ,GH ,BD 交于一点．证明 如图所示,连接GE ,HF . ∵E ,G 分别为BC ,AB 的中点,∴GE ∥AC .又DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝1∶3, ∴HF ∥AC ,∴GE ∥HF , ∴G ,E ,F ,H 四点共面． 又GE ＝12AC , HF AC ＝DF DC ＝14,∴EF 与GH 不平行,∴EF 与GH 相交．延长EF ,GH ,设交点为O ,则O ∈平面ABD ,O ∈平面BCD ,而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ,∴O ∈BD .即EF ,GH ,BD 交于一点O .1．在空间中,下列结论正确的是( ) A ．三角形确定一个平面 B ．四边形确定一个平面C ．一个点和一条直线确定一个平面D ．两条直线确定一个平面 答案 A详细解析空间四边形不能确定一个平面,因此B错误;若点在直线上,则有无数个平面,因此C错误;若两条直线重合,则有无数个平面,因此D错误．2．两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对答案 C详细解析若三个点在同一直线上,则两平面可能相交;若这三个点不在同一直线上,则这两个平面重合．3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )A．0 B．1 C．0或1 D．1或3答案 D详细解析当三条互相平行的直线共面时,可确定1个平面;当三条互相平行的直线不共面时,可确定3个平面．4．如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1.( 1)AC∩BD＝________;( 2)平面AB1∩平面A1C1＝________;( 3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.答案( 1)O( 2)A1B1( 3)B1详细解析( 1)AC,BD同在平面ABCD中,交于点O.( 2)平面AB1与平面A1C1相交,交线为A1B1.( 3)A1B1,B1B,B1C1三条直线交于一点B1.5．如图,△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求证:AA1,BB1,CC1交于一点．证明如图所示,∵B1C1∥BC,∴B1C1与BC确定一个平面,记为平面β.同理,将C1A1与CA所确定的平面记为平面γ. 易知β∩γ＝C1C.∵△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,∴AA1与BB1相交,设交点为P,P∈AA1,P∈BB1.而AA1⊂γ,BB1⊂β,∴P∈γ,P∈β,∴P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C,∴P∈C1C,∴AA1,BB1,CC1交于一点．。
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高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。
求证：直线AD、BF、CE三线共点。
2．以△ABC的AB、AC两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD和ACE，使∠ABD＝∠ACE＝90°。
求证线段DE的中点的位置与顶点A的位置无关。
3．已知梯形ABCD中，AD∥BC。
分别以两腰AB、CD为边向外侧作正方形ABGE和正方形DCHF。
连接EF，设线段EF的中点为M。
求证：MA＝MD。
4．△ABC中，AM是中线，H是垂心，N是AH中点，过A作外接圆切线，交对边于D点。
求证：ND ⊥AM。
(06061602．gsp)5．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，求证：A、O、O1、O2四点共圆。
（Salmon定理）6．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，O′是A、O、O1、O2四点所共圆（Salmon圆）的圆心。
求证：（1）O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心！B C（2）记△ABC的九点圆心为N i 。
作O′E⊥BC，垂足为E。
则N i E∥AD！(06051705．gsp) (06052901．gsp)B C7．四边形ABCD 中，P 点满足∠PAB ＝∠CAD ，∠PCB ＝∠ACD ，O 1、O 2分别是△ABC 、△ADC 的外心。
求证：△PO 1B ∽△PO 2D 。
（06060301．gsp ）D8．设I 是圆外切四边形ABCD 的内心，求证：△IAB ，△IBC ，△ICD ，△IDA 的垂心共线。
9．已知凸四边形ABCD 满足：AB+AD=BC+CD ，延长BA ，CD 交于E 点，延长BC ，AD 交于F点。
求证：EB+ED=FB+FD （或EA+EC=FA+FC ）。
（05123102．gsp ）E10．（06.8.9）设A 、B 、C 、D 是椭圆22221x y a b+=上四点。
若直线AB 、CD 的斜率之积22AB CDb k k a=，则直线AC 、BC 或直线AD 、BC 的斜率之积也必等于22b a。
（注：这时经过A 、B 、C 、D 四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆22221x y a b +=的离心率──ca。
）（06080901．gsp ）（06081201．gsp ）1．在△ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。
求证：O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心。
B C【证明】取△ABC的外心O，则熟知A、O、O1、O2四点共圆（Salmon圆）。
易知△AO1O2∽△ABC，且O1O2是AD的垂直平分线。
作顶点A关于BC边的对称点A′，易看出△AO′D∽△AOA′。
设BC边高的垂足为G，再取AO连线的中点L，则LG是△AOA′的中位线，进而知△AO′D∽△ALG。
得∠O′DA＝∠LGA。
……………①再作外心O关于BC的对称点O′，由AH＝2OM＝OO′知A O′经过九点圆心Ni。
（注：△AHNi≌△O′ONi）由LM∥A O′知∠ADC＝∠LMG；在直角梯形AOMG中，得∠LMG＝∠LGM。
故∠ADC＝∠LGM。
……………②而∠LGM＋∠LGA＝90°。
将①、②代入得∠O′DA＋∠ADC＝90°。
∴O′D⊥BC。
2．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，设O 1、O 2分别是△ABD 、△ACD 的外心，O ′是经过A 、O 1、O 2三点的圆之圆心。
记△ABC 的九点圆心为N i 。
作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。
则N i E ∥AD 。
（叶中豪提供）B C【证明】作LK ⊥AH 。
由AH ＝2OM ，Ni F ＝（OM ＋HG ）/2易知AK ＝Ni F 。
……………① 又因O ′L 在BC 上的射影是EF ，而AL 在AG 上的射影是AK ，且两者夹角相等（都等于12B C ∠-∠），故O L ALEF AK'=。
……………② 由①、②知Rt △AO ′L ∽Rt △Ni EF 。
得∠AO ′L ＝∠Ni EF 。
……………③ME B C而由下图，又易知∠AO ′L ＝∠ADC 。
……………④ 由③、④得∠Ni EC ＝∠ADC ， ∴ Ni E ∥AD 。
B C3．△ABC 中，AH 是BC 边上的高，D 是直线BC 上任一点。
O 、O 1、O 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的外心，N 、N 1、N 2分别是△ABC 、△ABD 、△ACD 的九点圆心。
设O ′是A 、O 、O 1、O 2所共圆（Salmon 圆）的圆心，作O ′E ⊥BC ，垂足为E 。
则H 、E 、N 、N 1、N 2五点共圆。
（闵飞提供）【证明】引理△ABC 中，记外心O 关于BC 边的对称点为O ′，则九点圆心Ni 是A O ′的中点。
（证略）O'C如下图，作A 、O 、O 1、O 2诸点关于BC 边的对称点，这些对称点仍构成共圆四边形。
再以A 点为位似中心，作1/2的位似变换，即可知所得到点H 、N 、N 1、N 2一定共圆。
（且顺便得知所共圆的大小恰是Salmon 圆的一半！）再在Salmon 圆上取A ″，使AA ″∥BC 。
因此O ′E 所在直线是AA ″的中垂线。
作A ″关于BC 边的对称点A ″′。
易知AA ″′的中点恰是E ，于是E 也在上述位似后的圆上。
5．四边形ABCD中，P点满足∠PAB＝∠CAD，∠PCB＝∠ACD，O1、O2分别是△ABC、△ADC的外心。
求证：△PO1B∽△PO2D。
（叶中豪提供）D【证法1】（田廷彦提供）B如上图，延长CP 交△ABC 的外接圆于Q 。
连接QA 、QB 、QO 1、AO 2。
在等腰△O 1BQ 和等腰△O 2AD 中，由于∠BO 1Q ＝2∠BCQ ＝2∠ACD ＝∠AO 2D ，故△O 1BQ ∽△O 2AD 。
………① 又在△PAQ 中，由正弦定理()()()()2112sin sin sin sin sin sin sin sin sin 180/sin sin sin /PAB BAQ DAC BCQ DAC DCA PQ PAQ PA PQA CBA CBA CBA CDA AC R R CDA CBACBA AC R R ∠+∠∠+∠∠+∠∠====∠∠∠∠-∠∠====∠∠其中R 1、R 2分别是△BAC和△DAC 的外接圆半径。
而12sin BQ R BCQ =∠，22sin DA R ACD =∠，故12R BQ DA R =。
由此PQ BQ PA DA， 又∠BQP ＝∠BAC ＝∠PAD ，∴ △PQB ∽△PAD 。
………②由①、②，即可知O 1、O 2是相似三角形PQB 和PAD 中的对应点，从而得△PBO 1∽△PDO 2。
证毕。
【证法2】（柳智宇提供）柳智宇证法D如下图，延长AP 、CP 分别交△ACD 的外接圆于C ′、A ′。
首先证明△DA ′C ′∽△BAC ，而O 1、O 2分别是这两个三角形的外心。
然后说明P 是这对相似三角形中的自对应点，从而△PBO 1∽△PDO 2（具体过程略）。
【证法3】（邓煜提供）见下图，在AB 上取点Q ，使得△APQ ∽△ADC （具体过程略）。
C邓煜证法。