空间向量的数乘运算(公开课)

AP, AB, AC共面
AP x AB y AC
OP xOA yOB zOC ( x y z 1)
P、A、B、C 四点共面
结论2:
例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任 一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一 定共面？ (1)OB OC 3OP OA (2)OP 4OA OB OC
A1
B1
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
C1 D1 解:连AN,则MN=MA+AN 1 1 MA=－ 3 AC =－ 3 (a+b)
N
A
D
M
B
C
AN=AD+DN=AD－ND 1 = 3 （2 b + c ) ∴MN= MA+AN
=
1 （－ 3
a + b + c )
小结
共线向量 定义 向量所在直线互相平 行或重合 定理 a // b (b 0) a b
b C A a B x
yb
p
P
xa, yb分别与a， b共线，
xa, yb都在a， b确定的平面内
并且此平行四边形在 a， b确定的平面内，
p xa yb在a， b确定的平面内,即p与a， b共面
2.共面向量定理：如果两个向量 a ，b 不共线， 则向量 p 与向量 a ，b共面的充要条件是 存在实数对x,y使 p x yb
对空间任意两个向量
a, b(b 0),
a // b(b 0) 有且只有一个实数 ， 使 a b
思考1：为什么要强调
b 0?
思考2：这个定理有什么作用？ 1、判定两个向量是否共线 2、判定三点是否共线
推论:如果 l 为经过已知点A且平行已知非零 向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 l上
OG kOC , OH kOD ,
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
例2 (课本例)已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG. 证明： ∵四边形ABCD为 ① ∴AC AB AD （﹡）
推论
共面向量 平行于同一平面的向量, 叫做共面向量.
a b p
p x yb共面
OP OA t AB
OP xOA yOB zOC OP xOA yOB( x y 1) ( x y z 1)
OP OA x AB y AC
运用 判断三点共线，或两 判断四点共面，或三向 向量平行 量共面
解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只 要证明存在有序实数对（x,y）使得
AP x AB y AC
(1)共面，因为OB OC 2OA 3OP 3OA 即(OB OA) (OC OA) 3 AP 1 1 所以 AB AC 3 AP, 所以 AP AB AC 3 3 又 AB， AC不共线，所以 AB， AC， AP共面且有公共点A 从而A, B, C , P四点共面。
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG。 证明： ② EF
OF OE kOB kOA
O
k (OB OA) kAB 由①知 EG kAC
EG // AC EF // AB
（3）非零共线向量的传递性：
若b 0, a // b, b // c, 则a // c,
探 究: 对空间任意两个向量 a与b, 如 果a b, a与b有 什 么 位 置 关 系 ? 反过来 , a与b有 什 么 位 置 关 系 时 ,a b?
b a 2b
a 3b
（4）空间共线向量定理：
D
O
EG OG OE kOC kOA
C
k (OC OA) kAC k ( AB AD) （﹡）代入 k (OB OA OD OA)
A
H
B
G
OF OE OH OE E F EF EH 所以 E、F、G、H共面。
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例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
仍然是一个向
a
3a 3a
（1）当 0 时， a 与 a 同向 （2）当 0 时， a 与 a 反向
（3）当 0 时， a 0
当 a 0, 有 0或a 0
(4) | a | | | | a |
3、空间向量的数乘的运算律
（1）数乘分配律1： (a b) a b
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在
有序实数对x,y使
AP x AB y AC
b
C
p
P
A a B
对空间任一点O,有 OP OA x AB y AC ③
p
b
C
P
A a B
填空：
O
OP (_____) 1-x-y OA (____) x OB (____) y OC
2
，
如果空间向量 p 与两不共线向量 a ，b 共面，那么
可将三个向量平移到同一平面 ，则有
a 1e1 2e2
p x yb
反过来，对空间任意两个不共线的向量 a ， b，如 果 p x yb ，那么向量 p 与向量 a , b 有什么 位置关系？
其中向量 a 叫做直线
若 OP OA t AB
的充要条件是存在实数t,满足等式OP OA ta
l
的方向向量.
P B A
a
(或 AP t AB)
则A、B、P三点共线。
若P 为 A,B中点 , ( x y 1)， O 若OP xOA yOB 1 OP 向量参数表示式 OA OB 则A则 、B 、 P三点共线。
③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意
平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
由此可判断空间任意四点共面
共面向量定理的剖析
如果两个向量
a，b 不共线,
(性质)存在唯一的一对实数x， ★ 向量c与向量a，b共面 y，使 c＝xa＋yb
★ c ＝xa ＋yb
(判定)
向量c与向量a，b共面
由面面平行判定定理的推论得：
A
H
D
C
B
G
F
面EG // 面AC
E
例3:如图,已知空间四边形ABCD中，向量
AB a, AC b, AD c, 若M为BC的中点，
c 表示下列向量： G为Δ BCD的重心，试用 a,b,
(1) DM
A
1 （ a+ b)- c 2
(2) AG
D B M C
G
练习 1．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一 1→ 2→ → 点，若由OP＝ OA＋ OB＋λ→ OC确定的一点 P 与 A，B，C 三 5 3
2 点共面，则λ＝________. 15
练习 2． 在下列条件中， 使 M 与 A、 B、 C 一定共面的是( C ) → → → → A.OM＝3OA－2OB－OC C． MA＋MB＋MC＝0 → → → → B．OM＋OA＋OB＋OC＝0 → 1→ → 1→ D．OM＝ OB－OA＋ OC 4 2
（2）数乘分配律2：( )a a a
（3）数乘结合律：
( a) ( )a
二、空间中的共线向量 1、定义： 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平 行或重合， 则这些向量叫做 共线向量 （或平行向量）
（1）零向量与任一向量共线， 即0 // a,
(2)若a // b, 则b // a,
→
→
→
解析： C 中MA＝－MB－MC.故 M、 A、 B、 C 四点共面．
→
→
→
练习3.下列说法正确的是：
C
(A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平
面AC外一点O引向量 OE kOA , OF kOB,
3.1.2 空间向量的数乘运算
回 顾 b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面
内，成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向
量中有关结论仍适用于它们.
一、空间向量的数乘：
1、定义： 实数 与空间向量 a 的乘积 量，称为空间向量的数乘 2、空间向量的数乘的性质
a
b c
d a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
e1 ， 由平面向量基本定理知，如果 e 是平面内的两个不共线的向量，
那么对于这一平面内的任意向量 a 1 2 有且只有一对实数 ， 使
1 （ a+ b + c) 3
例4 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1
D1 N C1
A B
D
分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可.
M
C
例4 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
2
结论1:
A、B、P三点共线
AP t AB
OP OA t AB
OP xOA yOB ( x y 1)
练习 1．已知 A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，
2 1 → → → OP＝ OA＋βOB，则β＝________. 3 3
三、共面向量:
1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.