椭圆及其标准方程导学案

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高中数学选修2-1椭圆导学案

椭圆及其标准方程（一）导学案【学习要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2. 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程焦点a 、b 、c 的关系探究点一椭圆的定义问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？探究点二椭圆的标准方程问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；（2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2探究点三椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________【当堂检测】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >83．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为________.4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________【课堂小结】1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.【拓展提高】1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，212121=⋅PF PF PF PF ，则21PF F ∆的面积为（） A ．33B ．3C ．32D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹是，它的方程是4．椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。

椭圆及其标准方程导学案(第1课时)

§2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时）【学习目标】1.能准确的说出椭圆的定义；2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程【学习过程】一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为；当122a F F <时，其轨迹为．试一试：1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验2．两种标准方程的比较2三：典型例题例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。

（2）待定系数法，先设出椭圆的标准方程22221x y a b +=或22221x y b a+=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可四、练习提升1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8；（2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。

椭圆的标准方程(公开课导学案)

时间：学习目标 1、利用待定系数法求椭圆的标准方程
2、判断二元二次方程是否为椭圆
3、掌握椭圆中c b a ,,三者的几何意义
重点难点
预测重点
用待定系数法求椭圆的标准方程，椭圆中c b a ,,三者的几何意义难点判断二元二次方程是否为椭圆
学习过程疑难梳理
方法总结
一、复习上节课内容 1、椭圆的定义：焦点：焦距： 2、椭圆的标准方程
（1）焦点在x 轴上的椭圆
建立平面直角坐标系，如图
椭圆的标准方程为
____________________
（2）焦点在y 轴上的椭圆
建立平面直角坐标系,如图
椭圆的标准方程为
____________________
3、c b 、、a 三者之间的关系
__________________
二、典例探究
例1 求下列椭圆的焦点和焦距
（1）14
52
2=+y x （2）16222=+y x
课题：椭圆的标准方程
例2已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程
例3 已知椭圆，116
252
2=+y x
（1）求a 、b 、c 的值长轴长、短轴长、焦距长；
（2）焦点坐标、顶点坐标、离心率；
（3）若CD 为过左焦点1F 的弦，求2CDF ∆、21F CF ∆的周长；
三、真题指路
1.(2021高考真题)椭圆06322=-+y mx 的一个焦点为（-2,0），则的值m
2.(2022高考真题) 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 经过A(2,0)和B(0,-1),则椭圆的离心率为
D C。

椭圆及其标准方程文普导学案

§2.1.1 椭圆及其标准方程文普导学案命题人：邵玉春时间：2010-11-07【重点】椭圆的定义及其标准方程.【难点】定义的灵活掌握，标准方程的求解.【复习回顾】圆的定义，中垂线的定义.【知识导航】认真预习课本回答以下问题：1．椭圆的定义是什么？两定点叫什么？两焦点间的距离叫什么？2．在椭圆的定义中，当时，轨迹才是椭圆，动手画画看；当时，轨迹是什么？当时，轨迹怎么样？3．椭圆满足什么条件时，得到的方程才叫标准方程？4．焦点在x轴上时，标准方程为焦点在y轴上时，标准方程为两种椭圆的相同点是：不同点是：5．怎样区分一个给出的标准方程的焦点在哪个坐标轴上？6．标准方程中，三个量a、b、c之间有怎样的关系？【例题选讲】例1．已知椭圆的两个焦点分别是并且经过点，求它的标准方程.提示：从焦点坐标可知应设为焦点在哪个坐标轴上的标准方程，并且知道a、b、c中的c，又知道过点，可利用待定系数法求方程.变式：写出适合下列条件的椭圆的标准方程.（1），焦点在x轴上（2），焦点在y轴上（3）.提示：你知道焦点所在的坐标轴吗？不知道怎样办？答案应有几种情况呢？经验总结：欲求椭圆的标准方程，只需求出待定系数a和b，但在椭圆的焦点不确定时，应分情况求解.例2．在经过两点的椭圆的标准方程.提示：此题一不知焦点所在位置，二要求待定系数a、b需分情况讨论.动动脑筋，仔细观察，两种情况的实质区别是、系数的大小，可否将方程设为呢？用两种方法作答.例3．如果椭圆上的一点P到焦点的距离等于6，那么P到另一个焦点的距离是，的周长是，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是，如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？【基础强化】1．的椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.以上均不对2．椭圆的焦点坐标为（）A. B.C. D.3．已知两定点点P是平面上一动点，且，则点P的轨迹是（）A.圆B.直线C.椭圆D.线段4．命题：动点m到两定点A、B的距离之和（，常数）；命题：动点m 的轨迹是椭圆，则是的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．设是椭圆上的点，若、是椭圆的两个焦点，则等于（）A. 4 B.5 C.8 D.106．已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则AB=7．椭圆的一个焦点是（0，2），那么 .8．设分别为椭圆的左、右两焦点，若椭圆C上的点到、两点的距离之和为4，求椭圆C的方程及焦点坐标.课后反思：①；②；③ .。

高中数学选择性必修一3 1 1 椭圆及其标准方程导学案

3.1.1椭圆及其标准方程导学案1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程难点：运用标准方程解决相关问题1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这_______叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236+y 235=1 B.y 236+x 235=1 C.x 236+y 21=1 D.x 236+y 235=1或y 236+x 235=12. 椭圆x 225+y 2=1上一点P 到一个焦点的距离为2,则点P 到另一个焦点的距离为( )A.5B.6C.7D.83. 椭圆4x 2+9y 2=1的焦点坐标是( ) A.(±√5,0) B.(0,±√5) C.(±√56,0) D.(±536,0)一、情境导学椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。

取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F 1,F 2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？一般地，如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，|PF1|+|PF2|=2a其中a>c>0. 以F1F2所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为F1（−c,0）和F2（c,0）√(x+c)2+y2+√(x−c)2+y2=2a. ①为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得得√(x+c)2+y2=2a−√(x−c)2+y2.②对方程②两边平方，得(x+c)2+y2=4a2−4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2整理，得a2−cx=a√(x−c)2+y2③对方程③两边平方，得a4−2a2cx+c2x2=a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2整理得(a2−c2)x2+a2y2=a2(a2−c2)④将方程④两边同除以a2(a2−c2)，得x2 a2+y2a2−c2=1⑤由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，所以a2−c2>0.观察图，你能从中找出表示a，c，√a2−c2的线段吗？由图可知，|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c,|PO|=√a2−c2令b=|PO|=√a2−c2,那么方程⑤就是；x 2a2+y2b2=1(a>b>0) ⑥称焦点在x轴上的椭圆方程.设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足|PF1|+|PF2|=2a,其中a>c>0. 以F1F2所在直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？（2）能否通过x 2a2+y2b2=1(a>b>0) 来得到此时椭圆方程的形式？y 2a 2+x 2b 2=1 (a >b >0),称焦点在y 轴上的椭圆方程.二、典例解析例1求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)或整式形式mx 2＋ny 2＝1(m＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c (或m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．跟踪训练1．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．例2 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法． 2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法． 3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．跟踪训练2．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．82．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．5.如图所示,在圆C :(x+1)2+y 2=25内有一点A (1,0).Q 为圆C 上任意一点,线段AQ 的垂直平分线与C ,Q 的连线交于点M ,当点Q 在圆C 上运动时,求点M 的轨迹方程.参考答案：知识梳理1. 常数(大于|F 1F 2|) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半思考： [提示] (1)点的轨迹是线段F 1F 2. (2)当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．小试牛刀：解析: (1) 易得为D 选项.(2)设椭圆的左、右焦点分别为F 1,F 2,若|PF 1|=2,结合椭圆定义|PF 2|+|PF 1|=10,可得|PF 2|=8.(3)∵椭圆的标准方程为x 214+y 219=1,∴a 2=14,b 2=19,∴c 2=a 2-b 2=14−19=536,且焦点在x 轴上,∴焦点坐标为(±√56,0). (3)∵椭圆的标准方程为x 214+y 219=1,∴a 2=14,b 2=19,∴c 2=a 2-b 2=14−19=536,且焦点在x 轴上,∴焦点坐标为(±√56,0). 学习过程例1[解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4,2a ＝10，所以a ＝5， b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝4－02＋32＋22＋4－02＋32－22＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a 2＋16b 2＝1.又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(3)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与a ＞b ＞0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.跟踪训练1． [解] 法一：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16 ①.又点(3，15)在所求椭圆上，所以32a 2＋152b 2＝1，即9a 2＋15b2＝1 ②. 由①②得a 2＝36，b 2＝20，法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1.又椭圆过点(3，15)，将x ＝3，y ＝15代入方程得925＋λ＋159＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.例2 [思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解． (1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1，所以2x 24＋2y28＝1，即x 2＋y 22＝1.] (2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ |＝|MA |， ∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |， ∴|CM |＋|MA |＝5.∴点M 的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1 ，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1.跟踪训练2． [解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)．利用中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y . ∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得2x －124＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝⎛⎭⎫x －122＋4y 2＝1. 达标检测1．D [根据椭圆的定义知，P 到另一个焦点的距离为 2a －2＝2×5－2＝8.]2．B [椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎨⎧ 4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＞12且m ≠1[由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，2m －1＞0，m ≠2m －1，解得m ＞12且m ≠1.]4． [解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝⎛⎭⎫3，32是椭圆上的一点，∴324＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．5.解:如图所示,连接MA.由题意知点M 在线段CQ 上,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点M 在AQ 的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A (1,0),C (-1,0),故点M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆, 且2a=5,c=1,故a=52,b 2=a 2-c 2=254-1=214.故点M 的轨迹方程为x 2254+y 2214=1.。

椭圆及其标准方程导学案

2.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）导学案【学法指导】1.仔细阅读教材（P28—P30），独立完成导学案，规范书写，用红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。

2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。

【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式。

2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【预习案】预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P28，回答下列问题）1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的，叫做椭圆的焦距。

3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a2>|1F 2F | )。

a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为； a2<|1F 2F |时，点的轨迹。

预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

【探究案】探究一、椭圆定义的应用 1.设P 是椭圆1162522=+yx 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（）A.10B.8C.5D.4 （解法指导：由椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。

椭圆及其标准方程导学案

§2.1．1椭圆及其标准方程导学案学习目标：1.了解椭圆的实际背景，通过作图探究抽象出椭圆的定义，了解椭圆标准方程的推导及化简过程． 2．掌握椭圆的定义及其标准方程．学习重点：椭圆的定义和标准方程的理解与应用．【课前知识准备】1.平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是 .2.圆心为)0,0(，半径为4的圆的标准方程是 .做一做：将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在板上的21,F F 两处，用铅笔把细绳拉紧，使铅笔（动点M ）在画纸上慢慢移动形成轨迹.想一想：你作出的点的轨迹是什么图形？①在作图过程中，哪些点的位置不变，哪些距离改变，哪些量不变？②改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？③绳长能小于两图钉之间的距离吗？新知1：椭圆的定义平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做，定点21,F F 叫做，两焦点间的距离||21F F 叫做符号表示：问题1：定义中需要注意什么?跟踪练习1：用定义判断下列动点:M 的轨迹是否为椭圆。

(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。

(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。

(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。

问题2：如何求椭圆的方程？（提示：类比求圆的轨迹方程的方法）新知2：椭圆的标准方程为( )【说明】①焦点在轴上②焦点坐标为1F ( , ), 2F ( , ); ③c b a ,,的关系为: .跟踪练习2：根据下列椭圆方程，说出方程中a 、b 、c 的值.(1)192522=+y x ; (2) 114416922=+y x ;问题3：回顾椭圆方程的探求过程，若把两焦点1F 、2F 放在y 轴上恰当的位置，椭圆的方程又是什么呢？( )【说明】①焦点在轴上②焦点坐标为1F ( , ), 2F ( , ); ③c b a ,,的关系为: .问题4：在图形中，a,b,c 分别代表哪段的长度？根据椭圆的标准方程,如何判断焦点的位置?跟踪练习3：判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标。

《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）

《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。

高中数学椭圆及其标准方程导学案

2.椭圆及其标准方程〔第一课时〕导学案【学习目标】1. 掌握椭圆的定义和标准方程；2. 会求简单的椭圆方程；3.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

4.稳固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

【重点难点】重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用难点：标准方程的建立与推导【课前探究】阅读并预习教材，找出疑惑之处，完成以下问题1、自制工具，使用拉线法在纸板上演示椭圆定义做出椭圆思考:改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？2、圆的定义：椭圆的定义：3、类比圆的方程的推导过程，尝试自己推导椭圆的标准方程【课中探究】研讨互动，问题生成1、椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数2a 〔大于12F F 〕的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c。

2、椭圆的标准方程：思考1：根据椭圆的定义，找出椭圆中的等量关系，并用集合表示？思考2：建系设点，推导椭圆的标准方程？以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系设M〔x , y〕,则F1(-c,0),F2(c,0)，设122MF MF a+=思考3：如果椭圆的焦点在y轴上呢？请大家小组讨论，猜测椭圆的方程有何改变？椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b ab+=>>课中反应练习：1、请判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出22,a b 。

〔1〕22110036x y += 〔2〕22136100x y += 〔3〕2213636x y += 〔4〕22110036x y -=请同学们总结分析椭圆标准方程的结构特点：，焦点在坐标轴上，则椭圆的标准方程为。

椭圆及其标准方程导学案

课题：3.1.1椭圆及其标准方程(第1课时)来宾高级中学执教教师：陈桢【三导：课前阅读案】一、学习目标导航1. 了解椭圆的形成过程，理解椭圆、焦点、焦距的定义2. 掌握椭圆标准方程的推导过程3. 会求椭圆的标准方程二、背景知识推送1.圆的定义及圆的标准方程2.两点间的距离公式3.三角形三边关系三、知识要点与方法1.椭圆的定义：我们把平面内两个定点12F F 、的距离之和等于（大于|F 1F 2|）的点的集合叫做椭圆。

定点12,F F 称为椭圆的， 12F F 、间的距离12F F 称为。

2.【三练：课前、中、后检测训练案】【一练：课前检测训练案】1.已知(3,0),(3,0)A B -，点M 到,A B 两点的距离为10，则M 的轨迹是（）.A 椭圆 .B 线段AB .C 圆 .D 不存在2.已知(3,0),(3,0)A B -，点M 到,A B 两点的距离为6，则M 的轨迹是（）.A 椭圆 .B 线段AB .C 圆 .D 不存在3.已知(3,0),(3,0)A B -，点M 到,A B 两点的距离为5，则M 的轨迹是（）.A 椭圆 .B 线段AB .C 圆 .D 不存在【二练：课中活动探究案】[动手探究]取一条一定长度的细绳，把它的两端都固定在绘图纸上同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个。

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在绘图纸上两个定点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？小组合作探究绘图纸上的三个问题：1. 笔尖视为点P ，绳两端分别固定于点12,F F 处，满足什么条件，其轨迹为椭圆？2. 点12,F F 间的距离恰等于绳长，画出的图形还是椭圆吗？3. 绳长能小于点12,F F 间的距离吗？观察后思考：移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数。

复习圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

椭圆及其标准方程(第一课时)导学案

课题：2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【课标要求】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【考纲要求】（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。

（2）了解圆锥曲线的初步应用。

编写者试图通过本节教材，使学生系统地掌握坐标法并进一步激活数形结合的数学思想。

【教学目标叙写】根据学生在日常生活中的经验积累，对椭圆形状有了初步的认识。

通过典故的课堂引入及从圆和相关的图片引入着手学生亲自体验画椭圆，激发学习的兴趣和研究椭圆定义的求知欲，去发现椭圆定义的本质，探索图形变化规律，掌握椭圆的概念。

从而推导出椭圆标准方程并会利用待定系数法求椭圆标准方程。

【使用说明与学法指导】1.阅读探究课本P38-P40的基础知识，自主高效预习；2.阅读导学案预习案部分的内容，自主自主完成各项要求；3.结合课本基础知识和例题及预习案，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。

4.本导学案中题号后凡标明A ，B ，C 的只要求相应层次的学生完成即可。

5.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。

【预习案】一. 温故夯基1．圆心为O ，半径为r 的圆上的点M 满足集合P ＝{M||MO|＝r}，其中r>0. 2．求曲线方程的基本方法有：_________，_________，__________ 二．知新益能1．课堂引入：这是一个发生在古希腊的故事：西西里岛的一个岩洞里，被关押的犯人不堪忍受这非人的待遇，他们偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论越狱和暴动的办法。

但是，他们商量好的计划很快就被看守人员掌握了，看守人员提前采取了措施，使商量好的计划无法实行，犯人们开始互相猜疑，认为一定是出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者是谁，这究竟是怎么回事呢？原来，并没有人当叛徒去告密，当然找不到告密者了。

【7A版】椭圆及其标准方程导学案(优质示范课)

2.2.1椭圆及其标准方程导学案（第一课时）王静【学习目标】知识目标：掌握椭圆的定义及标准方程，通过对标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法；能力目标：通过实验操作、自我探究、数学思想方法（待定系数法）的运用等，提高分析问题、解决问题的能力；情感目标：充分感受“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学习数学的兴趣，培养勇于探索的精神。

【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【创设问题情境】请同学们举出生活中你遇到的一些椭圆的实例。

【基础预学】请同学们仔细阅读课本P38-P40内容（阅读到第40页思考题结束），要求读完课本后达到如下要求：1、会画出椭圆；2、能够准确给出椭圆的定义；3、能够说出椭圆方程的推导思路，初步掌握椭圆标准方程的推导过程。

【预学展示】1、小组成员合作画出椭圆，并说出在画椭圆的过程中移动的笔尖（动点）满足的几何条件。

2、同学们根据上面的几何条件准确地给出椭圆的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的，叫做椭圆的焦距。

3、对定义的理解：（1）将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”，其他条件不变，动点的轨迹是（2）将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”，其他条件不变，动点的轨迹存在吗？4、椭圆的标准方程及其推导：复习思考：用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤是什么？（1）（2）（3）（4）请同学们根据上面的步骤推导焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：请先写出已知条件：推导过程如下：令=-22c a ，可整理得方程)0(12222>>=+b a by a x ① 由曲线与方程的关系可知，方程①为焦点在G 轴上的椭圆的标准方程，两个焦点坐标分别是，其中c b a ,,满足的关系式为 . 观察右图，你能从中找出表示22,,c a c a - 的线段吗？a = ；c = ；22c a -= ；【探究与创新】探究一：如何得出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，两个焦点坐标分别是，其中c b a ,,满足的关系式为。

1椭圆的定义与标准方程导学案

高二椭圆的标准方程 7.26教学目的：1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3．能由椭圆定义推导椭圆的方程4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导一．问题情境1.圆的定义与标准方程2.生活中的椭圆结合“圆的定义” 以及实验,思考:椭圆应该如何定义？二．新知呈现1 .椭圆定义：平面内与两个定点的距离等于（）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的．注意:（1）在内（2）集合语言：巩固练习动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为10，则P 点的轨迹为 . 变 1. 动点P 到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为；变 2. 若点P(x,y)满足方程10)4()4(2222=++++-y x y x ，则P 点的轨迹为_______.2.学生活动♦ 探讨如何建立椭圆的方程3.建构数学1)椭圆的标准方程的推导2）椭圆的标准方程3.两类标准方程的对照表注: 1.椭圆的标准方程表示的是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；2.方程的形式：左边是平方和，右边是1.三.数学应用例1.口答：下列方程是否表示椭圆？若是, 判定其焦点在何轴，并写出焦点坐标.（1）；1161622=+y x （2）；1162522=+y x （3）；4222=+y x（4）；022525922=--y x （5）.112222=++m y m x小结： 1.若不是标准方程,先化成标准方程;2.焦点位置的判定：如果2x 项分母较大，焦点在x 轴; 如果 2y 项分母较大，焦点在y 轴.例2.求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两焦点的坐标分别是F1（0，2）、F2（0，-2），且椭圆经过点P )25,23(-.四．课堂小结1.知识点：（1）椭圆的定义；（2）椭圆的标准方程.2.数学思想与方法：五．课后探究1．(2011·东莞模拟)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于2．椭圆22110036x y +=上一点P 到左焦点的距离是6.5，则到右焦点的距离是_____； 3.下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是4、椭圆2214x y m+=焦距为2，则m=___________ 5．如果方程222=+ky x 表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 .620=化简的结果_______________7.△ABC 中，A （0，2），B （0，-2），周长等于10，则点C 轨迹方程为___________8.(2011·河北唐山市二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于9.椭圆171622=+y x 的左右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为；10.已知曲线C 的程：13222=-+-ky k x ，且32<<k ，试讨论曲线C 表示何种曲线.)0>>b。

高中数学《椭圆及标准方程》导学案 (2)

第二章圆锥曲线与方程2.1.1 椭圆及其标准方程一、学习目标1. 掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程，了解椭圆的实际背景。

2.会求椭圆的标准方程并能解决有关问题。

3.了解椭圆中参数a,b,c 的意义及相互关系.【重点、难点】椭圆的定义；椭圆的标准方程。

二、学习过程【情景创设】取一条定长的细绳,把它的两端分别固定在图板的两个不同点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖(动点)画出的轨迹是什么曲线?【导入新课】1. 椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的________等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，__________间的距离叫做椭圆的焦距．【归纳】（1）当常数2a 等于|F 1F 2|时轨迹为____________;(2)当常数2a 小于|F 1F 2|时，轨迹__________．2．椭圆的标准方程：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1（ a>b>0）表示焦点在x 轴上的椭圆；方程y 2a 2＋x 2b 2＝1（ a>b>0）表示焦点在y 轴上的椭圆。

【归纳】焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．【典型例题】例1：如果椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)和F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，那么椭圆的方程是( )A ．x 216＋y 29＝1B ．x 216＋y 212＝1 C ．x 24＋y 23＝1 D ．x 23＋y 24＝1例2：椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________ ______；∠F 1PF 2的大小为__________ ________.【变式拓展】1.已知椭圆+=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是( )A.2B.4C.8D. 2.设P 是椭圆+=1上一点,F 1,F 2是椭圆的焦点,若∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2的面积.三、总结反思求椭圆的标准方程常用的方法有：定义法和待定系数法．无论何种方法都应做到：①先定位：即确定焦点的位置，以便正确选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，就需分类讨论，或者利用椭圆方程的一般形式(通常设为Ax 2＋By 2＝1(A>0，B>0，A ≠B))，避免讨论；②后定量：根据已知条件，列出方程组求解未知数．四、随堂检测1．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( )．A．椭圆B．圆C．直线D．线段2．若P是以F1，F2为焦点的椭圆22=1259x y+上一点，则三角形PF1F2的周长等于()．A．16 B．18 C．20 D．不确定3．已知方程22=1259x ym m+-+表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()．A．－9＜m＜25 B．8＜m＜25 C．16＜m＜25 D．m＞84．已知F1，F2为椭圆22=1259x y+的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝__________．。

椭圆标准方程的教案6篇

椭圆标准方程的教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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椭圆及其标准方程导学案

§2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时）【探究案】【知识要点】➢ 从具体情境中抽象出椭圆的模型 ➢ 掌握椭圆的定义 ➢ 掌握椭圆的标准方程【学习目标】✓ 了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ✓ 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程 ✓ 掌握椭圆的定义，标准方程的推导及标准方程✓ 通过对卫星发射的再现,培养学生爱国主义情操,民族自豪感,激发求知欲探究一：认识椭圆1.动手做做看：(两人一组，分组试验)取一要不可伸长的细绳，如右图所示，把它的两端固定在画板上，用铅笔尖把细绳拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？2.思考完成下列问题：(1)作图的过程中哪些量没有变？的位置不变，的长度不变。

无论笔尖移动到任何位置，笔尖到两定点到距离之和（2）笔尖所对应的动点M 到两个定点21,F F 的距离有什么长度之间的关系？= 绳长（用a 2表示）探究二：椭圆的定义1.平面内与两个定点1F ，2F 的的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的，叫做椭圆的焦距（用2c 表示）。

2.对椭圆定义的理解①将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是 ②将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？探究三：推导焦点在x 轴上的椭圆的标准方程思考：用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤是什么？（1）（2）（3）（4）（5）根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x M 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>) 由定义c a 22>,022>-∴c a两边同除以)(222c a a -得 122222=-+c a y a x ……① 观察右图，你能从中找出表示22,,c a c a -的线段吗？= =a ； = =c ； =22c a -令=-22c a 代入①，得 0(12222>>=+b a by a x 由曲线与方程的关系可知，方程②为焦点在x 它的焦点在x 轴上，两个焦点坐标分别是，其中c b a ,,满足的关系式为。

椭圆的标准方程及简单性质导学案

椭圆的标准方程及简单性质导学案1.1椭圆的标准方程(1)授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人解宏涛学习目标经历动手、对比，掌握椭圆定义；会推导椭圆标准方程；明确标准方程中a、b、c的关系及几何意义；能通过标准方程判断椭圆焦点位置及a、b 、c大小；能画简单的椭圆图形重点难点椭圆的定义和标准方程的形式特点是重点，椭圆标准方程的推导变形过程是难点，突破难点的方法是紧紧依靠定义和准确的代数变形学习过程与方法自主学习：椭圆的定义（阅读课本一、椭圆定义）平面中圆是如何定义的？圆的标准方程是什么? 推导用到那个公式？生活中哪里有椭圆？如何理解圆和椭圆的关系？如何定义椭圆？(1) （先画再回答）在画的过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？(1)椭圆上的点满足什么条件？椭圆定义：叫椭圆的焦点，叫椭圆的焦距精讲互动：一、椭圆标准方程的推导（阅读二、椭圆的标准方程）设两定点，且，为椭圆上任意一点。

1.能不能依据椭圆的几何特征，建立恰当的直角坐标系？2.椭圆上任意一点M满足什么条件?3.这样的条件能否转换成具体的代数形式？4.如何消去方程中的根式？5.化简成（—）+ = （—）时，如何变形更简洁？这样，我们就得到：。

6.得到这样的方程，说明什么？这个过程共分几步？7.满足方程的解是否在椭圆上？（阅读课本62页小体字）二、椭圆标准方程（阅读63页抽象概括部分）1.焦点是，的椭圆的标准方程式是此方程满足的条件是1）2）。

2.焦点是的椭圆的标准方程式是3.如何用图形解释= + ？在椭圆中分别表示哪些线段的长？4.当为定值时，椭圆形状的变化与有怎样的关系？5.下列方程是否是椭圆方程？若是，焦点在哪儿？10 +36 =360回答：（1）如何判断椭圆焦点位置？（2）椭圆方程的一般式可写成达标训练：⑴焦点在x轴，a= ,b=1,求椭圆标准方程；⑵焦点是（0，-4），（0，4）.,a=6，求椭圆标准方程作业布置学习小结/教学反思1.1椭圆及其标准方程（2）授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人解宏涛学习目标能根据椭圆定义求出其标准方程，进一步明确的关系及几何意义重点难点不同情况下椭圆标准方程的求法学习过程与方法自主学习：（知识回顾）椭圆的定义是:焦点在x轴的椭圆标准方程是：焦点在y轴的椭圆标准方程是：精讲互动：1.阅读课本P64例1，回答：①顶点A满足什么条件？顶点A的轨迹是什么图形？②建立如图2-6直角坐标系，= 2c=，= =，故=，c=，b=③顶点A满足的一个轨迹方程是:（写出整个题的解题过程）④为什么要注明y≠0？当焦点在y轴时，顶点A满足的又是什么？2.阅读课本P64例2，回答：①椭圆焦点在什么轴？焦距是多少？②椭圆上一点到两焦点的距离之和是③之间的关系是？④写出解题过程达标训练：一、⑴求符合下列条件的椭圆标准方程：①两焦点是，椭圆上一点到两焦点的距离和是10②= ，b=1，焦点在x轴③焦点在x轴，焦距等于4，且过P（3，-2 ）⑵课本P65练习1、2、3.二、在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？变式：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹是什么？作业布置学习小结/教学反思1.2 椭圆的简单性质授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人解宏涛学习目标依据椭圆图形及标准方程，概括出椭圆的简单性质.掌握4点性质与图形的对应关系，能依据性质画椭圆简图重点难点重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及转化是。

高中数学《椭圆及其标准方程》导学案

2．2.1椭圆及其标准方程1．椭圆(1)□01平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，□02这两个定点叫做椭圆的焦点，□03两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．应用定义解题时，不要漏掉|MF1|＋|MF2|＝2a□04>|F1F2|这一个条件．(2)集合的语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a□05>|F1F2|}．2．椭圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P38“椭圆的定义”)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段(2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为________________________．(3)椭圆的方程为y29＋x24＝1，则a＝______，b＝______，c＝________.(4)椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________．答案(1)A(2)x225＋y216＝1(3)325(4)6解析(1)∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由椭圆定义可知，动点M的轨迹为椭圆．探究1椭圆的定义例1已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是()A.x29＋y28＝1(x≠±3) B.x29＋y28＝1(x≠0)C.x24＋y23＝1(y≠0) D.x23＋y24＝1(y≠0)[解析] ∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2 2.又∵A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为x29＋y28＝1(x≠±3)．[答案] A拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.【跟踪训练1】已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P 过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解设圆P的半径为r.又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|P A|＝10－r，即|P A|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 探究2 椭圆标准方程的应用例2 若方程x 216－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <16B ．－9<m <72 C.72<m <16D ．m >72[解析]依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m ＋9>0，m ＋9>16－m ，解得72<m <16. [答案] C[条件探究] 若将例2条件“y 轴”改为“x 轴”，其他条件不变，试求实数m 的取值范围．解依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m ＋9>0，16－m >m ＋9，解得－9<m <72.[结论探究] 如果把例2的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？解由题意得c 2＝(m ＋9)－(16－m )＝2m －7，所以c ＝2m －7，又72<m <16，所以0<2m －7<25，c ∈(0,5)，所以焦距2c ∈(0,10)．拓展提升方程x 2m ＋y 2n ＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ，表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ，表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m <n .【跟踪训练2】 (1)“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示的曲线是椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －3>0，7－m ≠m －3，解得3<m <7且m ≠5，所以3<m <7且m ≠5⇒3<m <7，而3<m <7推不出3<m <7且m ≠5.所以，“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，并且焦距为6，求实数m 的值．解 ∵2c ＝6，∴c ＝3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2 ，a 2＝b 2＋c 2，得25＝m 2＋9，∴m 2＝16，又m >0，故m ＝4.当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝m 2，b 2＝25, a 2＝b 2＋c 2，得m 2＝25＋9＝34，又m >0，故m ＝34.综上，实数m 的值为4或34. 探究3 椭圆的标准方程例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,32)； (2)a ＝8，c ＝6；(3)经过两点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.[解] (1)由题意得， 2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，得a ＝6.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32. ∴所求的椭圆的方程为x 232＋y 236＝1.(2)∵a ＝8，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64－36＝28. 当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 264＋y 228＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 264＋x 228＝1. 故所求的椭圆方程为x 264＋y 228＝1或y 264＋x 228＝1.(3)①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴焦点在x 轴上的椭圆不存在． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.[解法探究] 解答例3(1)(3)有没有其他解法呢？解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎨⎧16b 2＋18a 2＝1，a 2－b 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.∴所求的椭圆方程为x 232＋y 236＝1.(3)设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4，∴所求的椭圆方程为5x 2＋4y 2＝1，即y 214＋x 215＝1.例4 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．[解] 如图所示，由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .② 由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹为椭圆，且以C 1与C 2为焦点．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48. ∴椭圆的方程为x 264＋y 248＝1，∴动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1.拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a 2－b 2＝c 2求出参数a ，b ，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a ，b ，c 三者之间的关系，通过解方程组求出a ，b .但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．因为它包括焦点在x 轴上(m <n )或焦点在y 轴上(m >n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c ，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．(4)相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)． ②求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【跟踪训练3】 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋3y 22＝1解析设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2.因为AF 2⊥x轴，所以点A 的坐标为(c ，b 2)，设点B 的坐标为(x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，即⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，得b 2＝23，所以椭圆方程为x 2＋3y22＝1.(2)求过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程．解 ∵c 2＝9－4＝5，焦点在x 轴上， ∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上， ∴9a 2＋4a 2－5＝1，∴a 2＝15，∴所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 探究4 椭圆的焦点三角形问题例5 已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解] 由x 24＋y 23＝1可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.②由①②联立可得|PF1|＝65.所以S△PF1F2＝12|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝12×65×2×32＝335.[条件探究] 例5中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？解由已知a＝2，b＝3，得c＝a2－b2＝4－3＝1.∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos60°.∴4＝16－3|PF1||PF2|.∴|PF1||PF2|＝4，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin60°＝12×4×32＝ 3.拓展提升1.椭圆中焦点三角形的解题策略在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式：(1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的一个关系式，|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)利用正、余弦定理可得|PF1|，|PF2|的一个关系式．这样我们便可求解出|PF1|，|PF2|.但是通常情况下我们是把|PF1|±|PF2|，|PF1|·|PF2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF1|与|PF2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用．2．焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .(2)在△MF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos ∠F 1MF 2.(3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|·sin ∠F 1MF 2＝b 2tan ∠F 1MF 22.【跟踪训练4】椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －4＝6－4＝2.∵|F 1F 2|＝2c ＝27，∴在△F 1PF 2中，利用余弦定理可得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2的大小为120°.1.椭圆定义的应用(1)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算.(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.2.椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围).(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标.(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x2m＋y2n＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化.3.求椭圆标准方程的常用方法(1)求关键量代入法；(2)待定系数法；(3)定义法；(4)相关点法.4.椭圆的焦点三角形问题解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.1．若平面内点M到定点F1(0，－1)，F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为()A．椭圆B．直线F1F2C．线段F1F2D ．直线F 1F 2的垂直平分线答案 C解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹为线段F 1F 2.2．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的方程是( )A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1C.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 D ．以上都不对答案 A解析设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝125，∴椭圆方程为x 2＋y225＝1.故选A.3．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫±13，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±320，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320 答案 D解析椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，知焦点在y 轴上，c 2＝116－125＝9400，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320. 4．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案3解析设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，①12r 1r 2＝9，②r 21＋r 22＝(2c )2，③由①得r 21＋2r 1r 2＋r 22＝4a 2，由②得r 1r 2＝18，所以r 21＋r 22＋36＝4a 2，④④－③得36＝4a 2－4c 2，即4b 2＝36，所以b 2＝9，b ＝3.5．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．解设d 是点M 到直线x ＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ⎪⎪⎪|MF |d ＝12，由此得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12.将上式两边平方，并化简，得3x 2＋4y 2＝48，即点M 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知点A (－3,0)，B (0,2)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则椭圆的标准方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m 2＝1，4n 2＝1，解得m 2＝9，n 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．射线D ．圆答案 A解析根据题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线，所以|MP |＝|PF |，所以|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)，又因为|MO |>|FO |，所以根据椭圆的定义可判断出点P 的轨迹是以F ，O 两点为焦点的椭圆．3．方程(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝10化简的结果是( )A.x 225＋y 216＝1 B.x 225＋y 221＝1 C.x 225＋y 24＝1 D.y 225＋x 216＝1答案 B解析由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝2，a ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝21，故化简结果为x 225＋y 221＝1.4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6 D.32 答案 B解析设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.5．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5,0)或(－5,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，332或⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－332 C ．(0,3)或(0，－3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫532，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，32 答案 C解析记F 1(－4,0)，F 2(4,0)，|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立．∴P 应在椭圆短轴的端点，∴P (0,3)或(0，－3)．6．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)．如图所示，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A.72，1 B.3，1 C ．5,3 D ．5,4 答案 A解析由题意知，a 2－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，b 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，∴a 2－c 2＝1.又a2＝b2＋c2，∴b2＝1，b＝1.∴a2＝74，a＝72.二、填空题7．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.答案8解析如图，由椭圆的定义知，|F1A|＋|F2A|＝2a＝10，|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，∴|AB|＝20－|F2A|－|F2B|＝20－12＝8.8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上．则sin A＋sin Csin B＝________.答案5 4解析由椭圆方程x225＋y29＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点．又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.于是，在△ABC中，由正弦定理，得sin A＋sin Csin B＝|BC|＋|BA||AC|＝54.9．(2018·上海金山中学高二期中)已知椭圆x25＋y24＝1的左、右顶点分别为A，B，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线P A，PB的倾斜角分别为α，β，则cos(α－β) cos(α＋β)＝________.答案1 9解析设P (x 0，y 0)，则k AP ·k BP ＝y 0x 0－5·y 0x 0＋5＝y 20x 20－5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 205x 20－5＝－45，所以tan αtan β＝－45，故cos (α－β)cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝1－451＋45＝19.三、解答题10．如图，已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0.(1)求椭圆的方程； (2)求△PF 1F 2的面积．解 (1)∵PF 1→·PF 2→＝0，∴△PF 1F 2是直角三角形，∴|OP |＝12|F 1F 2|＝c . 又|OP |＝32＋42＝5，∴c ＝5.∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.又P (3,4)在椭圆上，∴9a 2＋16a 2－25＝1，∴a 2＝45或a 2＝5. 又a >c ，∴a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝65，① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，②由①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×40＝20.B 级：能力提升练1．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解 (1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°.② 由①②得|PF 1||PF 2|＝43.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝33.(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得PF 1→·PF 2→<0，即(－3－x ，－y )(3－x ，－y )<0.又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2，解得－263<x <263.所以点P 横坐标的范围是⎝⎛⎭⎪⎫－263，263. 2．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程．解 (1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，则c 2＝a 2－b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点K (x 1，y 1)，线段F 1K 的中点Q (x ，y )，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y .因为点K (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以(2x ＋1)24＋(2y )23＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1，此即为所求点的轨迹方程．。

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