高考数学二轮复习 大题规范天天练 第一周 函数与导数 文

1 星期三 (函数与导数)

2016年____月____日

函数与导数知识(命题意图：考查在某点处的切线斜率、不等式的证明以及不等式恒成立条件下的参数范围的求解，考查学生的分类讨论思想的应用.)

已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，e 为自然对数的底数.

(1)若在点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；

(2)当x >0时，求证：f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ；

(3)在区间(1，e)上f （x ）

x －1>1恒成立，求实数a 的取值范围.

(1)解 f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a 2＝2，a ＝4.

(2)证明 令g (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x ，

g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1

x 2.

令g ′(x )>0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1

x 2>0，解得x >1，

所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.

所以g (x )最小值为g (1)＝0，所以f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .

(3)解 令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝a x －1，

令h ′(x )>0，解得x

当a >e 时，h (x )在(1，e)上是增函数，所以h (x )>h (1)＝0；

当1

所以只需h (e)≥0，即a ≥e－1；

当a ≤1时，h (x )在(1，e)上单调递减，则需h (e)≥0，

又因为h (e)＝a ＋1－e<0，所以此时a 不存在.

综上所述，a ≥e－1.