大学概率论与数理统计公式全集(最新整理)

f (x, v)dv
fY ( y)
f (u, y)du
5、二维随机变量的条件分布
fY X ( y x)
f (x, y) , y f X (x)
f X Y (x y)
f (x, y) , x fY (y)
3
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
离散型随机变量： E(X ) xk pk k 1
C
n N
3、连续型随机变量
分布名称
密度函数
分布函数
均匀分布U (a,b) 指数分布 E() 正态分布 N (, 2 ) 标准正态分布 N (0,1)
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb 其他
f
(
x)
e
x
,
x0
0, 其他
f (x)
1
(x)2
e
2 2
2
x
(x)
1
x2
e2
2
x
4
8、常见数学分布的期望和方差
分布
数学期望 方差
0-1 分布 B(1, p)
p
p(1 p)
二行分布 B(n, p)
np
np(1 p)
泊松分布 P()
几何分布 G( p)
1 p
1 p p2
超几何分布 H (N, M , n)
M n
N
n M (1 M ) N m N N N 1
均匀分布U (a,b)
j
j
2、离散型二维随机变量条件分布
p j P(Y y j ) P( X xi ,Y y j ) pij
i
i
pi
j
P( X
xi
Y
yj)
P( X xi ,Y P(Y y j )
yj)
pij P j
,i
1,2
pji
P(Y
yj
X
xi )
P( X xi ,Y y j ) P( X xi )
连续型随机变量： E(X )
xf (x)dx
2、数学期望的性质
(1) E(C) C, C为常数 E[E( X )] E( X ) E(CX ) CE( X )
(2) E( X Y ) E( X ) E(Y ) E(aX b) aE( X ) b (3)若 XY 相互独立则： E(XY ) E(X )E(Y )
U V
n1 n2
所
服从的分布称为自由度 (n1, n2 ) 的 F 分布，记为 F ~ F(n1, n2 )
7
性质：设 X ~ F(m, n) ，则 1 ~ F(n, m)
X
七、参数估计
1、参数估计
(1) 定 义 ： 用 (X1, X 2, X n ) 估 计 总 体 参 数 ， 称 (X1, X 2, X n ) 为 的 估 计 量 ， 相 应 的
8
i 1
i 1
i 1
基本步骤：
n
n
①似然函数： L( ) f (xi , )[或 Pi ( )]
i 1
i 1
n
②取对数： ln L ln f (X i , ) i 1
③解方程：
ln L 1
0,, ln L k
0 最后得：1
1(x1, x2 , xn ),, k
k (x1, x2 , xn )
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n P( X k) e k , k 0,1,2, k!
几何分布 G( p)
P( X k) (1 p)k 1 p, k 0,1,2,
超几何分布 H (N, M , n)
P( X
k)
CMk
C
nk N M
,k
l,l 1,, min(n, M )
0, x a
F
(x)
x b
a ,a x a 1, x b
b
F
(
x)
1
0, e x
,
x0 x0
F(x)
1
x
(t)2
e 2 2 d t
2
F(x)
1
x
(t)2
e 2 2 d t
2
2
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布
pi P( X xi ) P( X xi ,Y y j ) pij
X1 Xn
相互独立且 n
时，
1 n
n i 1
Xi
D 1 n
n i 1
E(X i )
(1)若
X1 Xn
相互独立， E(X i )
i , D(Xi )
且
2 i
2 i
M
则：
1 n
n i 1
Xi
P 1 n
n i 1
E( X i ), (n
)
(2)若
X1 Xn
相互独立同分布，且
E(X i )
i 则当 n
D( X ) D(Y )
7、协方差和相关系数的性质
(1) Cov( X , X ) D( X ) Cov( X ,Y ) Cov(Y , X ) (2) Cov( X1 X 2 ,Y ) Cov( X1,Y ) Cov( X 2 ,Y ) Cov(aX c,bY d ) abCov( X ,Y )
量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
所服从的分布称为自由度为
n
的
2
分布，记为
2
~
2 (n)
性质：① E[ 2 (n)] n, D[ 2 (n)] 2n ②设 X ~ 2 (m),Y ~ 2 (n) 且相互独立，则 X Y ~ 2 (m n)
(2) t 分布：设随机变量 X ~ N(0,1),Y ~ 2 (n) ，且 X 与 Y 独立，则随机变量：T X 所服从
pij Pi
,
j 1,2
3、连续型二维随机变量(
X
,Y
)的联合分布函数 F(x, y)
x
y
f (u, v)dvdu
4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数
边缘分布函数： FX (x)
x
f (u, v)dvdu
y
FY ( y)
f (u, v)dudv
边缘密度函数： f X (x)
E(C1X1 Cn X n ) C1E( X1) Cn E( X n )
(4) [E( XY )]2 E 2 ( X )E 2 (Y )
3、方差： D(X ) E(X 2 ) E 2 (X )
4、方差的性质
(1) D(C) 0 D[D( X )] 0 D(aX b) a2D( X ) D( X ) E( X C)2 (2) D(X Y ) D(X ) D(Y ) 2Cov(X ,Y ) 若 XY 相互独立则： D(X Y ) D(X ) D(Y ) 5、协方差： Cov(X ,Y ) E(X ,Y ) E(X )E(Y ) 若 XY 相互独立则： Cov(X ,Y ) 0 6、相关系数： XY (X ,Y ) Cov(X ,Y ) 若 XY 相互独立则： XY 0 即 XY 不相关
ab
2
(b a)2 12
正态分布 N(, 2 )
2
指数分布 E()
1
1 2
5
五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若 E(X ) , D(X ) 2 , 对于任意 0 有 P{ X E(X ) } D(X ) 或 P{ X E(X ) } 1 D(X )
2
2
2、大数定律：若
x2
xn
)
n
F ( xk
)
k 1
2、统计量
(1)样本平均值：
X
1 n
n i 1
Xi
(2)样本方差：
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
1 n 1
n i 1
(
X
2 i
nX
2
)
(3)样本标准差： S
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
(4)样本 k
阶原点距：
Ak
1 n
n Βιβλιοθήκη Baidu 1
X
k i
,
k
1,2
(5)样本 k
阶中心距： Bk
Mk
1 n
n i 1
(Xi
X )k ,k
2,3
(6)次序统计量：设样本 (X1, X 2 X n ) 的观察值 (x1, x2 xn ) ，将 x1, x2 xn 按照由小到大的次 序重新排列，得到 x(1) x(2) x(n) ，记取值为 x(i) 的样本分量为 X (i) ，则称 X (1) X (2) X (n)
大学概率论与数理统计公式全集
1、随机事件及其概率 运算律名称
一、随机事件和概率 表达式
交换律 结合律
AB B A
AB BA
(A B) C A (B C) A B C
( AB)C A(BC) ABC
分配律
A(B C) AB AC
A (BC) ( A B)(A C)
全概率公式
n
P(B) P( Ai )P(B Ai ) i 1
贝叶斯公式 （逆概率公式）
P(Aj B)
P(Aj )P(B Aj )
P( Aj )P(B Ai )
i 1
伯努利概型公式 两件事件相互独立相
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,n
； ； ； ； P(AB) P(A)P(B) P(B A) P(B) P(B A) P(B A) P(B A) P(B A) 1
Yn
的分布称为自由度的 n 的 t 分布，记为T ~ t(n)
性质：① E[t(n)] 0, D[t(n)]
n
, (n 2) ② lim t(n) N (0,1)
1
( x )2
e 2 2
n2
n
2
(3)
F
分布：设随机变量U
~
2 (n1),V
~
2 (n2 )
，且 U
与V
独立，则随机变量
F (n1, n2 )
x
x}
1
t2
e 2 dt (x)
x np(1 p)
2
n
(3)近似计算： P(a
n k 1
Xk
b)
a n P(
n
X k n
k 1
n
b n ) (b n ) ( a n )
n
n
n
6
六、数理统计
1、总体和样本
总体
X
的分布函数
F ( x)
样本
(X1,
X
2
X
n
)
的联合分布为
F (x1,
应公式
P(B A) P(B A) 1
1
二、随机变量及其分布
1、分布函数性质
P( X b) F (b) P(a X b) F (b) F (a)
2、离散型随机变量
分布名称
分布律
0–1 分布 B(1, p)
P( X k ) p k (1 p)1k , k 0,1
二项分布 B(n, p) 泊松分布 P()
xf (x, )dx
3、点估计中的最大似然估计
最大似然估计法： X1, X 2, X n 取自 X 的样本，设 X ~ f (x, )[或P(X X i ) P( )] 则可得到概率
n
n
n
密度： f (x1, x2 , xn , ) f (xi , )[或P( X X1, X 2 , X n xn ) P( X xi ) Pi ( )]
(X1, X 2, X n ) 为总体 的估计值。
(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值
2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）
离散型样本均值：
X
E(X )
1 n
n i 1
Xi
离散型参数：
E(X 2)
1 n
n i 1
X
2 i
连续型样本均值： X E(X )
为 样 本 (X1, X 2 X n ) 的 次 序 统 计 量 。 X (1) min(X1, X 2 X n ) 为 最 小 次 序 统 计 量 ；
X (n) max(X1, X 2 X n ) 为最大次序统计量。
3、三大抽样分布
(1) 2 分布：设随机变量 X1, X 2 X n 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0,1) ，则随机变
时：
1 n
n i 1
Xi
P
3、中心极限定理
(1)独立同分布的中心极限定理：均值为 ，方差为 2 0 的独立同分布时，当 n 充分
大时有：
n
X k n
Yn k 1 n
~ N (0,1)
(2)拉普拉斯定理：随机变量n (n 1,2) ~ B(n, p) 则对任意 x 有：
lim P{ n np
德摩根律 2、概率的定义及其计算
A B AB
AB A B
公式名称
公式表达式
求逆公式 加法公式 条件概率公式
P( A) 1 P( A) P( A B) P( A) P(B) P( AB)
P(B A) P( AB) P( A)
乘法公式
P( AB) P( A)P(B A) P( AB) P(B)P( A B)