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有两矢量点积:
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz •结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
流体力学基础
矢量分析
b.矢量积(叉积):
aˆc
vv v v
B
A B | A | | B | sin aˆc
推论4:当两个非零矢量叉积为零,则这两个矢量必平行。
流体力学基础
矢量分析
在直角坐标系中,两矢量的叉积运算如下:
z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
y x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
2.减法:换成加法运算
v vvv v
D A B A (B)
逆矢量:Bv 和
v (B)
的模相等,方向相反,互为逆矢量。
v
vv
D
v
A
AD
v
v
v
B
B
B
v
v C
Bv v v
v
ABC 0
A
推论:
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形,其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算:
vv A B (Ax Bx )aˆx (Ay By )aˆy (Az Bz ) aˆz
流体力学基础
矢量分析
3.乘法:
(1)标量与矢量的乘积:
vv kA k | A | aˆ
k 0 方向不变,大小为|k|倍
k
0
k
0
方向相反,大小为|k|倍
(2)矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积(点积): vv v v AgB | A| | B | cos
v B
v
A
两矢量的点积含义: 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积,
•含义:
A
两矢量叉积,结果得一新矢量,其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积,方向为该面的法线方向,且三
者符合右手螺旋法则。
推论1:不服从交换律:
v A
v B
v B
v A,
vv vv A B B A
推论2:服从分配律:
v v v vvvv A(B C) A B AC
推论3:不服从结合律:
v vv vv v A(BC) (A B)C
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流体力学基础
矢量分析
v
矢量: A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
.模的计算:
|
v A |
Ax2 Ay2 Az2
.单位矢量:
v

|
Av A|
Avx | A|
aˆx
Avy | A|
aˆ y
Avz |A
|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz .方向角与方向余弦:, ,
z
v Az
v A
v
v Ax
o
Ay
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算:
vvv A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
流体力学基础
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两矢量的叉积又可表示为:
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
流体力学基础
矢量分析
(3)三重积:
三个矢量相乘有以下几种形式:
v vv (A B)C
矢量,标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量,标量三重积。
v vv A (B C)
矢量,矢量三重积。
a. 标量三重积
流体力学基础
矢量分析
矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元:线元,面元,体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
流体力学基础
矢量分析
一、矢量和标量的定义
1.标量:只有大小,没有方向的物理量。 如:温度 T、长度 L 等
2.矢量:不仅有大小,而且有方向的物理量。
流体力学基础
矢量分析
在直角坐标系下的矢量的表示: 三个方向的单位矢量用 aˆx , aˆy , aˆz 表示。
z
v Az
v A
根据矢量加法运算:
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中:
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以: A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E

vv 矢量表示为: A | A| aˆ
其中:|
A|
为矢量的模,表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量,表示矢量的方向,其大小为1。
所以:一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
流体力学基础
矢量分析
例:在直角坐标系中, x 方向的大小为 6 的矢量如何表示?
6aˆx
注意:先后轮换次序。
推论:三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A
v C
v B
在直角坐标系中:
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
y
图示法:
6aˆx
x
力的图示法:
v
F
v
FN
v
Ff
vv v F FN Ff
v G
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二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
v
v
B
C
v vv C AB
v C
v B
v A
v A
a.满足交换律:
vv vv AB B A
vv vv vv vv
b.满足结合律: (A B) (C D) (A C) (B D)
法则:在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义:
v A
v B
v C
|
v A ||
v B ||
v C
|
sin
cos
含义: 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
v vv
h BC v
A
v C
v B
流体力学基础
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vvv vvv vvv V A (BC) C (A B) B (C A)
其结果是一标量。
流体力学基础
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推论1:满足交换律 推论2:满足分配律
vv vv AgB BgA
v v v vv vv Ag(B C) AgB AgC
推论3:当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中,已知三个坐标轴是相互正交的,即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
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