第二章1zhangjie

泰州职业技术学院

《应用高等数学(第一册)》课程授课教案

00()()

=tan f x x f x y k x x

ϕ+∆-∆=

=

∆∆割，其中ϕ为割线M M 0的倾斜角。 当O M M →时，0,x ϕα∆→→，割线M M 0的斜率ϕtan 趋向于切线T M 0的斜率tan α，即 0000()()=tan lim lim

x x f x x f x y

k x x

α∆→∆→+∆-∆==∆∆切 二、导数的定义： 1、定义

定义2：设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，给0x 以增量x x x ∆+∆0(仍在该邻

域内），函数)(x f y =取得相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。如果

x y

x ∆∆→∆0lim

存在，则称此极限值为)(x f y =在点0x 处的导数。

记为：0()f x '，0

x x y ='，

x x dy dx

=，

()

x x df x dx =。

即x

x f x x f x y

x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim

)(00000

如果上述极限不存在，则称)(x f y =在点0x 不可导。如果∞=∆∆→∆x

y

x 0lim

，这时也称函数在

点0x 处导数为无穷大，记为∞=')(0x f ，此时)(x f y =在点0x 不可导。

如果令x x x =∆+0，则有0x x x -=∆，

x

x f x x f x y

x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim

)(00000000()()lim x x f x f x x x →-=-。 如果用h 代替x ∆，则0000

()()

()lim

h f x h f x f x h

→+-'=。

注： )(0x f '反映函数)(x f y =在点0x 处的变化率，反映函数)(x f y =在点0x 处因变量