2018年浙江省高中数学竞赛试卷

．
8.设 f (x) x 1 x x 2 ，则 f ( f (x)) 1 0 有
个不同的解．
9.设 x, y R 满足 x 6 y 4 x y 12 0 ，则 x 的取值范围为
．
10.四面体 P ABC ， PA BC 6 ， PB AC 8 ， PC AB 10 ，则该四面体外接球的半径
24 （3）当 1 a 1时，即 2 a 1 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对 b 0 有
22 f (0) b 1 ， f ( a ) a2 1 .
24 （4）当 a 1 时，即 a 2 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 b 1有
2018
13.设实数
x1
，
x2
，…，
x2018
满足
x2 n1

xn
xn2
(n

1,
2, ,
2016)
和
xn 1，证明： x x 1009 1010 1 .
n1
14.将 2n(n 2) 个不同整数分成两组 a1 ， a2 ，…， an ； b1 ， b2 ，…， bn .证明
2018 年浙江省高中数学竞赛试卷
一、填空题
1.已知 a
为正实数，且
f
(x)

1 a

1
是奇函数，则
ax 1
f
(x)
的值域为
2018
2.设数列{an}满足 a1 1， an1 5an 1(n 1, 2,) ，则 an n1
． ．
3.已知 ,


3 4
,

x1010 x1009

x1011 x1010
x x 1009 1010 x x 1011 1008 x x 1011 1008 1，
同理 x1009 x1009 x1008 x1011 x1012 x1012
x x x x x x 1007
1008 1007
1010 1011


z
1 2018 1

．



6.设 AB 10 ，若平面上点 P 满足，对于任意 t R ，有 AP t AB 3 ，则 PA PB 的最小值为
，

此时 PA PB
．
7.在 ABC 中， AB AC 7 ，且三角形的面积为 4 ，则 sin A 的最小值为
1010
x x 1007 1012 1 .
类似可证明： x x 1006 1013 1， x x 1005 1004 1，…， x1x2018 1 .
2018
因此 xn 1，矛盾. n1
（2）若 x1009 ， x1010 同为负数，由 xn ， xn2 同号可知 x1 ， x2 ，…， x2018 均为负数，仍然有
10. 3
因为直线 l 与圆 O 相切，所以， O 到直线 l 的距离为1，即 m 1. 1 k2
原点到 AB 的中垂线的最大距离为 4 . 3
12.解 1：设 f (x) x2 ax b ，对于 b 1 f (0) 1 ，
所以只要考虑 b 1. （1）当 a 0 时，即 a 0 .此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 b 1有
2 f (0) b 1 ，所以 f (1) 1 a b 1 ，解得 a 3 .
综上 a 1 或 a 3 . 解 2：设 m max x2 ax b ，则有
x[0,1]
Байду номын сангаас
m b ， m 1 a b 2m b 1 a b 1 a 依题意， 1 a 1 a 1 ，或 a 3 . 2
2 f (1) 1 a b f (0) b ，所以 f (1) 1 a b 1 ，
解得 a 1 . （2）当 0 a 1 时，即 1 a 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对 b 0 有
22 f (1) 1 a 1， f ( a ) a2 1 .

，
cos(

)

4 5
，
sin



4


12 13
，则
cos



4


．
4.在八个数字 2 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8 ，11，12 ，13 中任取两个组成分数.这些分数中有
数．
个既约分
5.已知虚数
z
满足
z3
1

0 ，则

z
z 2018 1
ai bj
( a j ai bj bi ) n .
1in
1i jn
1 jn
15.如图所示将同心圆环均匀分成 n(n 3) 格.在内环中固定数字1 n .问能否将数字1 n 填入外环格内，
使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？
为
．
二、解答题
11.已知动直线 l 与圆 O ： x2 y2 1相切，与椭圆 x2 y2 1相交于不同的两点 A ， B .求原点到 AB 的 9
中垂线的最大距离.
12.设 a R ，且对任意实数 b 均有 max x2 ax b 1 ，求 a 的取值范围. x[0,1]
13.证明：由条件 xn ， xn2 同号.反证法，假设 x x 1009 1010 1.
（1）若 x1009 ， x1010 同为正数，由 xn ， xn2 同号可知 x1 ， x2 ，…， x2018 同号.
由
x2 n1

xn xn2

xn1 xn
xn2 xn 1

x1009 x1008
一、填空题
2018 年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
1. ( 1 , 1) 22
6. 16 ； 6 二、解答题
2. 52019 8077 16 16
7. 7 2
8. 3
3. 56 65
4. 36
5. 1
9. 14 2 13 x 14 2 13
11.解：依题意可设 l ： y kx m(k 0) .