高中数学选修23计数原理概率知识点总结.pdf

（3）组合数的性质：
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①
C
m n
=
C
n− n
m
．规定：
C
0 n
=1；
②
C
m n +1
＝
C
m n
+
C
m −1 n
.
③
C n−1 n
=
Cn1
=
n
④
C
n n
=
1
6.二项式定理及其特例：
( ) ( ) （1）二项式定理 a + b n
= C n0a n
+ C n1a n −1b + + C nra n − rb r
“中间高，两边低”的形状．
（3）曲线的形状由 确定． 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．
17、3 原则： 容易推出,正变量在区间 ( − 2 , + 2 ) 以外取值的概率只有 4.6%,在 ( − 3 , + 3 )
以外取值的概率只有 0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说, 通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
例：求 (2x − 3 y)9 的各项系数之和
( ) 解： 2x − 3 y 9 = a0 x9 + a1 x8 y + a2 x7 y2 + + a9 y9 令 x = 1, y = 1，则有 (2x − 3 y)9 = a0 + a1 + a2 + + a9 = (2 − 3)9 = −1 ，
故各项系数和为-1
X 取每一个值 xi 的概率 p1，p2,..... , p i ,......, p n，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简 称分布列
4、分布列性质① pi≥0, i =1，2，… n；② p1 + p2 +…+pn= 1． 5、二点分布：如果随机变量 X 的分布列为：
其中 0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量 X 服从参数 p 的二点分布 6、超几何分布：一般地, 设总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所有物品中任取 n(n≤N)件,这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量，则它取值为 m 时的概率为
这件事,用分类计数原理，
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能
完成这件事，是分步问题,用分步计数原理
4.排列:从 n 个不同的元素中取出 m 个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从
n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
（1）排列数: 从 n 个不同的元素中取出 m 个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号 Anm 表示
2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同 的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那 么完成这件事有 N=m1×m2×……mn 种不同的方法
分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”
3.两个计数原理的区别:
如果完成一件事，有 n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成
+
+
C
n n
b
n
n
N
展开式共有
n+1
( 项，其中各项的系数
C
r n
r
0,1,2,
,n)叫做二项式系数。
（2）特例： (1+ x)n = 1+ Cn1x + + Cnr xr + + xn .
7.二项展开式的通项公式： Tr+1 = C nra n −rb r （为展开式的第 r+1 项）
8．二项式系数的性质：
)
,P(A)
0.
9、相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件
叫做相互独立事件。 P(B|A) = P(B )
10、n 次独立重复试验：在相同条件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，一般
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就称它为 n 次独立重复试验 11、二项分布： 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数设为 X．如果在一次试验中 某事件发生的概率是 p，事件 A 不发生的概率为 q=1-p，那么在 n 次独立重复试验中 ，事件 A
P(X
=
m)
=
C C m n−m M N−M
C
n N
(0
m
l
, l为n和M中的较小的一个)
，
7、条件概率：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫
做条件概率.记作 P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 的概率
8、公式：
P(B
| A) =
P(A B P(A)
（2）排列数公式: Anm = n(n −1)(n − 2) (n − m + 1) 用于计算，
( ) 或
Anm
=
(n
n! − m)!
n, m N , m n
用于证明。
Ann = n!= n(n − 1) 3 21=n(n-1)!
规定 0！=1
5.组合：一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不
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选修 2-3 定理概念及公式总结
第一章基数原理
1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种
不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种
不同的方法 那么完成这件事共有 新疆 王新敞 奎屯
N=m1+m2+……+mn
种不同的方法 新疆 王新敞 奎屯
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知识点：
第二章 概率
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用 大写字母 X、Y 等或希腊字母ξ、η 等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量 X 所有可能的值能一 一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn
的方差，简称方差。 14、集中分布的期望与方差一览：
期望
方差
两点分布
E(X) = p
D(X ) = pq
二项分布，X ～ B（n,p）
E(X) = np
D(X ) = npq
超几何分布 N，M，n
E( X ) = nM N
15、正态分布：
若正态变量概率密度曲线的函数表达式为
f (x) =
1
− (x−)2
（1）对称性：在 (a + b)n 展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等,
即
C
m n
=
C n−m n
，直线
r
=
n 是图象的对称轴． 2
（2）增减性与最大值：当 r
Байду номын сангаас
n
+ 1 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的 2
后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。
n
当 n 是偶数时，在中间一项T n +2 的二项式系数 Cn2 取得最大值；
同元素中取出 m 个元素的一个组合
（1）组合数:
从 n 个不同元素中取出 m
(
m
n
)
个元素的所有组合的个数，用
C
m n
表示
（2）组合数公式:
Cnm
=
Anm Amm
=
n(n −1)(n − 2) m!
(n − m +1)
用于计算，
或
C
m n
=
n! m!(n −
m)!
(n, m
N ,且m
n)
用于证明。
恰好发生 k 次的概率是 P( X = k ) = Cnk pkqn−k （其中 k=0,1, ……,n）
于是可得随机变量 X 的分布列如下：
这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n，p 二项分布，记作 X～B(n，p) 。 12、数学期望：一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为
则称 E( X ) = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn 为离散型随机变量 X 的数学期望或均值（简称为期望）． 13、方差: D( X ) = ( x1 − E( X ))2 p1 + ( x2 − E( X ))2 p2 + + ( xn − E( X ))2 pn 叫随机变量 X
P( − , + ) = 68.3%
P( − 2 , + 2 ) = 95.4%
P( − 3 , + 3 ) = 99.7%
2
n−1
n+1
当 n 是奇数时，在中间两项T n +1 ，T n +3 的二项式系数 Cn 2 ， Cn 2 取得最大值．
2
2
9.各二项式系数和：
（1）
C
0 n
+
C
1 n
+
C
2 n
+
C
n n
=
2n ，
（2）C
0 n
+
C
2 n
+
C