第五章比率估计与回归估计

0

二、β 为设定常数情形
设 0是设定常数，取β ＝ 0 ，则回归估计量
ylr y 0 ( X x) y 0 ( x X )
1－f 1 N 是 Y 的无偏估计量。 其方差为 V ( y lr ) [Yi 0 ( X i X ) Y ]2 n N 1 i 1
ˆ =7.33 R
及
y
i 1
2 i
＝28224，
x
i 1
33
2 i
＝533，
y x ＝3595.5 代入得
i 1 i i
33
ˆ ) ＝0.285156， v2 (R
1- =0.95,
u
2
ˆ )= se ( R
2
ˆ ) =0.534 v( R
ˆ －u =1.96,[ R
2
ˆ )]=[6.28,8.38] se ( Rˆ ), Rˆ + u se ( R
故该地区人均每天食品支出 7.33 元，区间估计为[6.28,8.38]元。
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案例二

某系统有 56 个企业，去年全系统总产值 86436 万元。为估计今年总产值， 当年年底在所辖全部企业中随机抽取 12 个企业进行调查得如下资料，其中 xi ，
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四、回归估计与比率估计及简单估计的大样本比较
对于大的样本量，总有
V ( ylr ) V ( y)
这就是说在大样本下回归估计总是优于简单估计，仅在ρ ＝0时两 者效果相同。
V ( ylr ) V ( y R )的充分必要条件为
2 2 2 SY (1 2 ) S Y ＋R2 S X 2R SY S X
y i 分别为去年和当年产值。
表 5－3 企业
1 2 3 4 5
12 个企业两年产值
6 7 8 9 10 11 12
xi
764 1642 957 1324 853 1835 1028 1512
2131 1176 1618 1532 834 2286 1354 1826 1721 958
Байду номын сангаас
1432 1728 1214 1648 1904 1534
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二、比率估计量的偏倚与均方误差
比率估计量是有偏估计量，但当样本量增大时其偏倚 将趋于零 。 ˆ , y ,Y ˆ 分别为 R, Y , Y 的近似无 理论上可以证明，R R R 偏估计量,而且对于比率估计量，其方差主要取决于 Yi 与 RX i 之间的差异，当 Yi RX i 时，估计量方差将很小。 换言之，比率估计量将有很高的精度。这告诉我们，只 有当两个变量大致成正比例关系时，应用比率 估计量才能使估计精度有较大改进。
907.2 ＝ 123
7.33
i

≈0，
n
ˆ ) ＝ 1 2f v2 (R
nx
ˆ )2 ( yi Rx i
i 1
n
＝
n 1
33
(n 1)( xi ) 2
i 1
n
ˆ ( y R
i 1 2 i
n
2
x
i 1
n
2 i
ˆ y x ) 2R i i
i 1
n
将 n=33,
ˆ wY ˆ ˆ Y MR 1 R1 w2Y R 2 ==4248.98
2 2 ˆ ) N (v11v22 v12 ) =33014.94 v(Y MR v11 v22 2v12
ˆ ) =181.20 se(Y MR
由此可见，二元比率估计比两个一元比率估计精度都高，这是由于它使用了更多的正相关 性辅助信息的缘故。
x2 38.4444
2 sx 174.9671 2
syx1 =42.26167 ，
syx2 =46.5118 ，
1－f 0.0522332 n
现利用种植面积和良种比例为辅助变量对皮棉产量进行 比率估计。
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解答过程
先考虑一元比率估计。
ˆ R ˆ X 13.7967 ×7450＝4205.80 Y R1 1 1 24.43899
2 ˆ ) N (1 f ) ( s 2 R ˆ 2 s 2 2R ˆ s ) ＝56158.11 v(Y R1 y 1 x1 1 yx1 n
ˆ ) ＝236.98 se(Y R1
ˆ R ˆ X R ˆ N X 2 13.7967 ×301×40.10＝4331.63 Y R2 2 2 2 38.4444

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第二节

比率估计
ˆ y y 为样 R x x
一、比率估计量 设对有两个调查变量Y 和X 的总体进行简单随机抽样 ，分别以y， x表示样本总值 ，以 本比率 ，用
y , x表示样本均值，以
ˆ 作为总体比率 R的估计称为的比率估计 。 R
比率估计量除了使用调查变量样本信息外，还要使用辅助变量 总体信息与样本信息，而且是非线性估计量。这类估计量称为复杂 估计量。由于比率估计量使用的信息比简单估计量多，因而有可能 比简单估计量有更高的精度。同时由于比率估计量是非线性估计量， 因而对其性质的研究比对简单估计量要复杂得多。
这等价于
( B R) 2 (
SYX SY 2 2 R ) ( R ) 2 SX SX
因此除非Y 关于X 的总体回归系数B＝R，否则回归估计总是优于
比率估计，仅在B＝R时两者效果相同。
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案例四
某地区有规模以下工业企业 127 个， 共有固定资产价值 6794.5 万元，从中随机抽取 20 个企业调查工业产值及固定资产价值，资料 如表 5－4 所示。试估计该地区规模以下工业总产值及其标准差。 表 5－4
i
棉种植面积 x 和良种比例 x 。该地区皮棉种植总面积为 X ＝
1i 2i 1
7450 公顷，采用良种的平均比例为 X ＝40.10（％） 。对调查
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数据经过计算得如下结果：
y 13.7967,
2 sy 35.4858 ，
x1 24.43899,
2 sx 74.6789187 ， 1
Vmin y MR
w
k 1
p
k
1。
w2 V11 V12 V11 V 22 2V12
V22 V12 w1 V11 V22 2V12
2 V11V22 V12 V11 V22 2V12
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案例三
为精确地估计某地区皮棉总产量，在该地区 301 个村庄中 简单随机抽取 18 个村庄，在调查皮棉产量 y 的同时记录了皮
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三、 比率估计量方差的估计与置信区间
对于一般的n，比率估计量呈右偏分布，只有
当n＞30,
Cx＜0.1, Cy ＜0.1这些条件同时满足时才
能直接用正态分布构造置信区间。R的置信区间为
ˆ[ u se( R ˆ ), R ˆ u se( R ˆ )] ] [R
2 2
其中 u 是标准正态分布的上α /2分位点，0＜α ＜
SYX B时 2 SX V ( ylr ) 达最小值
当 0
1－f 1 N 2 [( Y Y ) ( X － X )] i 0 i n N 1 i 1 1－f 2 2 ( SY 02 S X 2 0 SYX ) n
2 1 f 2 SYX 1 f 2 Vmin ( ylr ) (SY 2 ) SY (1 2 ) n SX n
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三、 β 取样本回归系数情形
若β 需根据样本确定，一个合理的选择是取β 为样 本回归系数
n
b
此时 Y 的回归估计量
s yx
2 sx

( y y)( x x)
i 1 i i 2 ( x x ) i i 1 n
ylr y b( x X )
为一复杂估计量，不再具有无偏性。
2 ˆ ) N (1 f ) ( s 2 R ˆ 2 s 2 2R ˆ s ) ＝126844.51 v(Y R2 y 2 x2 2 yx2 n
ˆ ) ＝356.15 se(Y R2
再考虑二元比率估计。
w1 v22 v12 =0.6568, v11 v22 2v12
w2 ＝1－ w1 =0.3432
yi
试估计今年总产值，并给出标准差的估计。
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解答过程
以去年产值变量为辅助变量构造比率估计量计算可得
x ＝24043730 ， x ＝1362.67， x ＝16352， i 1
12 i 1 i
12
2 i
y ＝18459，
i 1 i
12
y
i 1
12
2 i
＝30405031 ，
y ＝1538.25，
2
1。类似可得
Y 、Y的置信区间。
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案例一
在某地区抽取由 33 个住户组成的简单随机样本， 对每户调查两个指标：
xi ——第 i 户人口数，
yi ——第 i 户一天用于食品支出的费用，
经计算得
xi
i 1
33
＝123
2 i
y
i 1
33
i
＝907.2
x
i 1
33
2 i
＝533
y
i 1
2 i
12
12 i 1 i i
12
ˆ se ( Y
R
)=953.87
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四、 比率估计量优于简单估计量的条件
定量分析计算表明，并非任何情况下比率估计量都优于简单估计量，
只有当调查变量与辅助变量有较高的正相关性时比率估计量才能使估计 精度有较大提高。若