证明组合恒等式的方法与技巧_柳丽红

研究一下。
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两边求二阶导数, 得 n ( n- 1)
( 1+ x ) n- 2 = 2
1
C
2 n
+ 3 2 C3nx + + n( n- 1) Cnn x n- 2
令 x= 1, 得 2 1 C2n+ 3 2 C3n+
+ n( n- 1)
C
n n
= n( n- 1) 2n- 2( n 2)
技巧: 此方法证明组合恒等式的步骤是, 先对恒
分
析:
这题可以利 用组合公式 解决, 等式 两边都 只是 一个
简单的组合 数。由 此, 我们只 要把 相关组 合公 式代
入, 经过化简, 等号两边相等即可。
证 明:
C
m n
=
m!
n! ( n- m) !
=
n m
n!
( m- 1) ! ( n- m) !
=
n m
C
mn-
11,
m+ n-
1 m
n! ( m+ 1) ! ( n- m) !
1 m-
1=
C0n+ 1 +
C1n+
1+
C2n+ 2 +
L+
C
mn+
1 m-
1=
C
1 n+
2+
C2n+ 2 +
L+
Cmn+-
1 m-
1=
C
2 n+
3+
L+
C
mn+
1 m-
1=
C
mn+
1 m
C 0n+
C
1 n+
1+
C
2 n+
2+
L+
Cmn+-
1 m-
1=
Cmn+-
1 m
3. 利用二项式定理证明
我们都知道二项式定理: ( a+ b) n = an + C1n an- 1 b+ C2n an- 2 b2 + + Cnn- 1 abn- 1 + bn, 对于某些比较 特殊的组 合恒等 式可以 用
3
2
C
3 n
+ n ( n- 1)
2n- 2( n 2)
分析: 观察左边各 项组合 数的 系数发 现不 可以
直接运用二项式定理, 但系数也有一定的规律, 系数 都是 i( i- 1) i= 2, 3, n 我们 又知 道( x i) = i( i- 1) x i- 2 由此我们想到了求导的方法。
证明: 对( 1+ x ) n= C0n + C1n x + C2n x 2 + + Cnn x n
b 值都不 会很 大, 一般 都是 0, 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3
这些数或简单字母, 而 且 a, b 值 与恒 等式右 边也 有
必然的联系, 在做题的时候要抓住这点。
例4
求 证:
11-
a a
C
0 n
-
11-
a2 a
C
1 n
+
11-
a3 a
C
2 n
-
11-
a4 a
C3n
+
L+
(-
n
个女生中选 k 个人, 共有 m+ n 种方法。
再看左边, 这样的 k 人小 组共有( k+ l) 种取 法:
第零种取法为选零 个男生 和 k 个 女生, 第一 种取 法
为选一个男生和( k- 1) 个女生, L, 第 i 种取 法为选 i
个男 生和 ( k- i) 女 生( i= 0, 1, 2, L, k) , 由乘 法 原
内蒙古电大学刊
2006 年第 10 期( 总第 86 期)
证明组合恒等式的方法与技巧
柳丽红
( 山西机电职工学院大众分院, 山西 太原 030024)
[ 摘 要] 以 高中二项式定理和排列组合知识为理 论基础, 对几 个常见 重要的 例题作 分析, 总结组 合
恒等式常见的证明方法与技巧。
[ 关键词] 组 合 组合数 组合恒等式 二项式定理
1 1-
a(
1-
1) n-
a 1-
a(
1-
A)n
11-
a a
C0n
-
11-
a2 a
C1n
+
11-
a3 a
C2n
-
11-
a4 a
C3n
+
L+
柳丽红 证明组合恒等式的方法与技巧
教育教学研究
(-
1)
n
1- an+ 1- a
1
Cnn =
a( 1a-
a) n 1
3. 2 求导代值
例5
求 证: 2
1
C
2 n
+
5. 利用组合分析方法证明
所谓组合分析法就是通过构造具体的组合计数
模型, 采用了 算两次 的方法, 再根据组合数的加法
原理和乘法原理得到恒等式两边相等。
例
7.
求证:
C
0 m
Ckn+
C
1 m
Ckn-
1+
C2m
C
kn
2+
L+
Ckm
C
0 n
= Ckm+ n
证明:
先看 右边,
C
k m+
n相 当于 从 m
个 男生 和
证明: 令 S1= a1 C0n + a2 C1n + a3 C2n + L+ aa+ 1Cnn
S2 =
an+ 1 C0n +
an C1n +
anC2n +
L+
a1C
n n
{ an} 是 等差数 列, a1 + aa+ 1 = a2 + an = a3 +
aa- 1= L
S1 + s2=
( a+ an- 1) C0n+
等式( a+ x) n = n Ciman- 1 x i 两 边对 x 求一 阶或 二阶 i= 0
导数, 然后适当取 x 的值代入。
4. 利用数列求和方法证明
例 6 已知: { an} 是等差数列,
求证: a1C0n +
a2C
1 n
+
a3C
2 n
+
L+
aa+ 1 Cnn =
2n- 1 ( a1
+ an+ 1
组合恒等 式的 证明 有 一定 的难 度 和特 殊的 技
巧, 且灵活性很强, 下面 就以例 题讲 解的形 式, 把证
明组合恒等式的常见方法与技巧列举出来。
1. 利用组合公式证明
组合公式: Cmn =
m!
n! ( n- m) !
例1
求
证:
C
m n
=
n m
Cmn--
1 1
=
m+ n-
1 m
C
m+ n
1
,
困难, 我们用数学归纳法试一试。
证明( 略) :
技巧: 用本方法证明的思路清晰, 只需分两步 进 行即可, 但归纳法的关键是由 假设 n= k 成立, 推导
到 n= k+ l 也成 立 这一步 中间的 变化过程 比较 复
杂, 在 无路可走 的情况下, 归纳法也是一个好的 选 择。
7. 利用概率的方法证明
理,
第
i
种取法 共有
Cim
C
kn
i种方 法,
再由加法 原理,
总的取法有
C0m
C
k n
+
C1m Ckn- 1 +
C
2 m
C
kn
2+
L+
C
k m
C
0 n
种
方法。
C nmC kn+
C
1 m
Ckn-
1+
C
2 m
Ckn-
2+
L+
C kmC 0n=
C
k m+
n
技巧: 用组合分析法证明组合恒等式的步骤是:
选指出式子的一边 的某个 问题的 解, 然后应 用加 法 原理和乘法原理等 去证明 式子的 另一 边, 也 是该 组
= m!
n! ( n-
m) !
=
C
m n
Cmn =
n m
C
mn-
1 1
=
m+ n-
1 m
Cmn
+
1
技巧: 此方法思路清晰, 对处理比较简单的等式
证明很有效, 但运算量比较大, 如遇到比较复杂一点
的组合恒等式, 此方法不可取。
2. 利用组合数性质证明
组合数的基本性质:
( 1) Cmn =
C
nn
m;
(
2)
C1n +
C2n +
L+
C
n n
=
( a1
+ an+ 1 ) 2n
又