(完整版)排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)
排列组合讲义
排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用排列组合解法特殊元素优先排； 合理分类与分步； 先选后排解混合； 正难则反用转化； 相邻问题来捆绑； 间隔插空处理法; 定序需要用除法； 分排问题直接法； 集团问题先整体； 有的问题选模型。
○1排列数公式 m n A=)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. ○2排列恒等式 （1）11m m n n A nA--=;（2）11m m m n n nAA mA-+=+.○3会推以下恒等式 （1）1(1)mm nnA n m A -=-+; （2）1m mnn n A A n m-=-; （3）11nn n nn n nA A A ++=-; （4）1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.○1组合数公式 mn C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). ○2组合数的两个性质 （1）m n C =m n n C - ; （2）m n C +1-m n C =m n C 1+. 注：规定10=n C . 1.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++ 2.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯m mn n A m C =⋅！. (1)0111()......n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++ *()n N ∈ (2)1k n k k k n T C a b -+= （3）∑=nr rnC=n2(4)13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=.解决排列组合一般思路: 1.审题要清2.分步还是分类3.排列还是组合4.牢记右侧方法常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.乙甲丁丙2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
考公排列组合篇章总结(思维导图)
给出情况求概率。
给出概率求概率。
满足条件的情况数
概率=
总情况数
概率=各步概率的乘积
概率=各类概率的和
概率=1-不满足条件的概率
排列组合
基础概念 常用方法 概率相关
排列公式 组合公式
Anm
= n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=
(n
n! − m)!
，n,m∈N
∗
,并且m≤n。
举例：A63
=6×5×4=120。（从下标开始乘，依次递减，乘上标那么多数。）
与顺序有关。
Cnm
=
Anm Amm
=
n(n
−
1)(n
−
2) ⋯ m!
全错位排列
当题目要求不能一一对应时，比如：n把钥匙对应n个锁，要求每个锁和一把不能 打卡它的钥匙放进一个信封，这就是全错位排列。
具体用法
错位排列用Dn
表示，Dn
表示n个数字的全错位排列。
记ห้องสมุดไป่ตู้：D1
=0，D2
=1，D3
=2，D4
=9，D5
=44，尤其是最后两个数考频很
高。
题型类别 基础公式
插空法
当题目中出现“间隔”“不相邻”“不连续”等要求时，考虑插空法。
具体用法
将可以相邻的元素进行排列，排列后形成若干空位。 将不相邻的元素插入形成的空位中。
插排法
题目形式为把n个相同的物品分给m个主体，要求每个主体至少分1个时，用插排 法。
具体用法
公式：Cnm−−11
若要求每个主体至少分a个，可以先给每个主体分（a-1）个，剩余物品分配时， 转化为每个主体至少分1个，再应用插板法解决。
排列组合公式(全)
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中,取r个不重复的元素，按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P（n,r）表示.排列的个数用P(n,r）表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P（n，r），P(n，r）。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合.组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C（n，r）表示,对应于可重组合有记号C（n,r）,C(n，r）.一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单,与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；（4）计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用（1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏）(2）乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合,S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S(B）＊3!S（B)=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
排列与组合的计算方法公式
排列与组合的计算方法公式“哎呀，这排列组合可真是个让人头疼的问题啊！”排列组合是数学中的一个重要概念，它们有着特定的计算方法和公式。
排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
排列的计算公式为：A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么排列数就是A(5,3)=5×4×3=60。
比如在体育比赛中，前三名的颁奖顺序就是一种排列情况。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
组合的计算公式为：C(n,m)=A(n,m)/m!。
例如，从 5 个不同的数字中选取 3 个组成一组，不考虑顺序，那么组合数就是C(5,3)=A(5,3)/3!=60/6=10。
就像从一堆水果中选取几个水果，不考虑选取的先后顺序，这就是组合。
再举个例子，假设有 5 个人，要选出 3 个人去参加一个活动。
那么用排列的方法计算，这 3 个人的顺序不同就算是不同的情况，比如 ABC 和 CBA 是不同的排列；而用组合的方法计算，只要是这 3 个人就可以，不考虑他们的顺序，ABC 和 CBA 就只算一种组合。
排列组合在生活中有很多实际的应用。
比如抽奖活动，从众多参与者中抽取几个获奖者，这就是组合问题；而如果还要考虑获奖者的先后顺序，比如一等奖、二等奖、三等奖的颁发顺序，那就是排列问题了。
在解决排列组合问题时，关键是要明确是排列还是组合，以及元素是否可以重复。
如果元素可以重复，那么计算方法又会有所不同。
总之，排列组合虽然有点复杂，但只要理解了基本概念和公式，通过多做一些实际的例子，就能很好地掌握和运用它们。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
(完整版)排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)
排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版）说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。
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一、排列数公式：!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m(1)(1)321n n A n n n推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行：第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋最后一步，排最后一位：有 1 种选法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。
二、组合数公式：(1)(2)(1)!!!()!m m n nm mA n n n n m n CA m m n m1nn C推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋最后一步，取最后一个：有 1 种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。
故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。
遂得出上述公式。
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题m n A 分解为两个步骤：第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ；第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。
根据乘法原理，m m m n n m A C A 即：(1)(2)(1)!!!()!m m n nm mA n n n n m n CA m m n m组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。
12个基本排列组合公式
12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分，咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。
先来说说排列公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。
再看组合公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。
就像从 10 个同学里选 4 个参加活动，选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。
我记得之前在课堂上，给学生们讲排列组合的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我出了一道题：在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生，要选 3 个同学去参加比赛，其中至少有一个女生，有多少种选法？同学们开始埋头苦算，有的皱着眉头，有的咬着笔杆。
这时候，有个平时很调皮的男生突然举手说：“老师，这题太难啦，能不能少选几个同学啊？”大家都被他逗笑了。
我笑着说：“别着急，咱们一步步来分析。
”首先，我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。
然后，算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。
那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法，即 C(14, 3) - C(8, 3) 。
经过一番计算和讲解，同学们终于恍然大悟。
咱们继续说排列组合公式。
还有一些特殊的情况，比如可重复排列，从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数，公式是 n^m 。
还有环形排列，n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。
在实际生活中，排列组合的应用可多啦。
比如说抽奖，从一堆号码里抽出中奖号码，这就是组合；而把获奖的人排个名次，这就是排列。
再比如安排座位，教室里有 30 个座位，让 25 个同学去坐，这也是一种排列组合的问题。
排列组合公式(全)
排列组合公式欧阳学文排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为19的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）绪论：加法原理、乘法原理分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。
排列问题排列数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。
排列数公式Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n（规定0!=1）推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行：取第一个：有n种取法；取第二个：有(n−1)种取法；取第三个：有(n−2)种取法；……取第m个：有(n−m+1)种取法；根据分步乘法原理，得出上述公式。
排列数性质Amn=nAm−1n−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。
Amn=mAm−1n−1+Amn−1 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。
组合问题组合数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
组合数公式Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤nC0n=Cnn=1证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题Amn分解为两个步骤：第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即组合数问题Cmn；第二步，则是把这m个被抽出来的球排序，即全排列Amm。
排列组合公式举例
排列组合公式是数学中的基本公式之一，用于计算在一定条件下，不同元素的不同组合数。
以下是排列组合公式的举例说明：
1、排列公式P(n,r)：表示从n个不同元素中取出r个元素进行排列，有多少种不同的排列方式。
举例：
•P(5,3)：从5只猫中选出3只猫排成一排，有多少种不同的排列方式？
根据排列公式P(n,r) = n!/(n-r)!，P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5×4×3/(2×1) = 60种。
2、组合公式C(n,r)：表示从n个不同元素中取出r个元素进行组合，有多少种不同的组合方式。
举例：
•C(6,3)：从6只猫中选出3只猫组成一个团队，有多少种不同的组合方式？
根据组合公式C(n,r) = n!/(r!×(n-r)!)，C(6,3) = 6!/(3!×(6-3)!)= 6×5×4/(3×2×1) = 20种。
这些例子可以帮助理解排列组合公式的应用和计算方法。
需要注意的是，排列和组合是不同的概念，排列考虑了元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
排列组合常用公式
排列组合常用公式排列和组合是数学中常用的两个概念，用于计算对象的不同排序和选择方式。
在组合数学和概率论中，排列和组合公式是非常重要的工具。
本文将介绍常用的排列和组合公式，帮助我们更好地理解和应用这些概念。
排列公式排列是指从给定元素中选择一组有序的元素的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
以下是常用的排列公式：1.全排列公式：当从n个不同元素中选择r个进行排列时，全排列的总数可以表示为P(n, r)。
全排列的计算方式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
2.循环排列公式：当从n个不同元素中选择r个进行循环排列时，循环排列的总数可以表示为P(n, r) / r。
循环排列的计算方式与全排列类似，只是需要除以r，因为循环排列相同的元素被认为是相同的。
循环排列数 = P(n, r) / r组合公式组合是指从给定元素中选择一组无序的元素的方式。
在组合中，元素的顺序是不重要的。
以下是常用的组合公式：1.组合公式：当从n个不同元素中选择r个进行组合时，组合的总数可以表示为C(n, r)。
组合的计算方式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)其中，n! 表示n的阶乘，r! 表示r的阶乘，(n-r)! 表示(n-r)的阶乘。
2.二项式定理：二项式定理是组合公式的一个重要推论。
当计算表达式(x + y)^n 的展开式时，其中x和y为变量，n为非负整数，展开式中每一项的系数可以表示为C(n, k)。
展开式的计算方式为：(x + y)^n = C(n, 0) * x^n * y^0 + C(n, 1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n, n) * x^0 * y^n其中，C(n, k) 表示从n个元素中选择k个进行组合的总数。
示例下面通过几个示例展示如何应用排列和组合公式：1.例1：有8个人排成一队，请问一共有多少种不同的队形可以排列？解：我们可以将问题转化为计算全排列的问题。
排列组合的概念与计算公式
排列组合的概念与计算公式排列组合，这四个字听起来是不是有点让人头大？但别慌，其实它没那么可怕，就像我们每天的生活一样，充满了有趣的选择和组合。
先来说说排列。
排列呢，就是从给定的元素中，按照一定的顺序选取一部分或者全部进行排列。
比如说，咱们去超市买水果，有苹果、香蕉、橙子三种水果，要是让你选两种按照先后顺序摆放，那有几种摆法？这就是排列问题啦。
像苹果在前香蕉在后，或者香蕉在前苹果在后，这就是不同的排列。
再讲讲组合。
组合就没那么在意顺序了，还是刚才买水果的例子，只要选出两种水果，不管谁先谁后，这就是组合。
那排列和组合的计算公式是啥呢？咱们先看排列的公式。
如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列，排列数记为 A(n,m) ，那么A(n,m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
组合的公式呢，如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数记为C(n,m) ，那 C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。
给大家说个我自己的亲身经历吧。
有一次我们全家出去旅游，要从5 个备选的景点中选 3 个去游玩。
这时候我就在心里默默算了算，用排列的方法，那就是考虑顺序，A(5,3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种可能。
但其实对于我们游玩来说，先去哪个景点后去哪个景点没那么重要，只要选出来就行，这就是组合，C(5,3) = 5! / [3!(5 - 3)!] = 10 种可能。
算清楚了，我们就能更好地规划行程啦。
在日常生活中，排列组合的应用可多了去了。
比如学校组织运动会，安排运动员的出场顺序，这就是排列；从一堆同学中选几个参加比赛，这就是组合。
还有抽奖活动，从众多号码中抽出几个中奖号码，这也是组合。
排列组合不仅仅是数学课本上的知识，它更是我们解决实际问题的有力工具。
学会了它，能让我们在面对各种选择和可能性时，更加从容和有条理。
排列组合问题公式
排列组合是数学中常见的一个概念，用于计算一组事物的不同选择和排列方式的总数。
在很多实际问题中，我们经常需要计算排列组合的个数，比如在概率论、统计学、计算机科学等领域中。
在排列组合中，我们常常遇到两个主要的概念，分别是排列和组合。
一、排列排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个事物进行排列，这些事物通常具有明确的先后次序。
如果从n个不同的事物中选取m个进行排列，这种排列的数目记为P(n, m)或者nPm。
排列的计算公式如下：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * … * 3 * 2 * 1。
排列的应用非常广泛，比如在密码学中，可以用来计算密码的位数和种类组合方式，从而确定密码的破解难度；在概率统计中，可以用来计算事件的发生概率等。
二、组合组合是指从一组事物中选取若干个事物进行组合，这些事物之间通常没有明确的先后次序。
如果从n个不同的事物中选取m个进行组合，这种组合的数目记为C(n, m)或者nCm。
组合的计算公式如下：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)组合数目的计算方法比排列简单一些，因为组合只考虑选取事物的组合方式，而不考虑它们的排列顺序。
组合的应用也非常广泛，比如在概率统计中的二项分布、组合数学、图论、社会科学等领域都有它的身影。
三、排列组合的应用举例 1. 在一场比赛中，有8个选手参加，如果要计算前3名的组合方式，可以通过排列的方式计算，即P(8, 3) = 8! / (8 - 3)! = 8! / 5! = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 8 * 7 * 6 = 336。
2.在一个班级中，有10个男生和12个女生，如果要从中选出5个人组成一个小组，可以通过组合的方式计算，即C(22, 5) = 22! / (5! * (22 - 5)!) = 22! / (5! * 17!) = (22 * 21 * 20 * 19 * 18) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 22 * 21 * 20 * 19 *18 / 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 33649。
(word完整版)排列组合和排列组合计算公式.
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P--—--—和顺序有关组合 C ——-—-—-不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法。
"排列”把5本书分给3个人,有几种分法 "组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示。
p(n,m)=n（n—1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)！(规定0!=1）.2．组合及计算公式从n个不同元素中,任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号c(n，m）表示.c（n,m）=p（n，m)/m!=n!/(（n-m）!＊m！）；c(n,m）=c(n,n—m）；3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p（n，r)/r=n!/r(n-r)！.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1，n2,。
..nk这n个元素的全排列数为n！/(n1!*n2！*...*nk！）。
k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c（m+k-1，m)。
排列（Pnm（n为下标，m为上标））Pnm=n×（n-1）。
（n—m+1）；Pnm=n!/(n-m）！（注:！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！;0!=1;Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm（n为下标,m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！(n-m）！；Cnn(两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008—07-08 13：30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合数相关公式
排列组合数相关公式在咱们学习数学的道路上，排列组合数相关公式那可是相当重要的一部分。
就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多复杂问题的大门。
咱们先来说说排列数的公式。
排列数，简单说就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列的方式总数。
排列数的公式是：A(n, m) = n!/ (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说 5! 就是 5×4×3×2×1。
给大家举个例子哈。
比如说学校要从 10 个同学中选出 3 个参加演讲比赛，并且要考虑他们上台的顺序，这时候就得用排列数来计算了。
那就是 A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10×9×8 = 720 种方式。
再来说说组合数的公式。
组合数呢，是从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，不考虑它们的顺序。
组合数的公式是：C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
我记得有一次，班级里组织活动，要从 20 个同学中选出 5 个组成一个小组，这时候就不用考虑这 5 个人的顺序，只关心选出这 5 个人的组合情况，那就是 C(20, 5) = 20! / [5!(20 - 5)!] ，算出来有 15504 种组合方式。
在实际生活中，排列组合数的应用那可太多了。
比如说彩票抽奖，从一堆数字中选出几个数字，这就是组合数的应用。
再比如密码设置，不同数字、字母的排列组合，增加了密码的安全性，这就用到了排列数。
咱们做排列组合数的题目时，一定要仔细分析题目是要考虑顺序还是不考虑顺序，不然很容易出错哦。
总之，排列组合数相关公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做练习，多结合实际例子去理解，就一定能掌握好，让它成为咱们解决数学问题的有力武器！。
排列组合公式
排列组合公式排列与组合都是计算“从 个元素中任取 个元素”的取法总数公式, 其主要区别在于: 如果不讲究取出元素间的次序, 则用组合公式, 否则用排列公式。
而所谓讲究元素间的次序, 可以从实际问题中得以辨别, 例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次序的。
排列与组合公式的推导都基于如下两条计数原理:（1）乘法原理（分步）如果某件事需经 个步骤才能完成, 做第一步有 种方法, 做第二步有 种方法……做第 步有 种方法, 那么完成这件事共有 种方法。
譬如, 甲城到乙城有3条旅游线路, 由乙城到丙城有2条旅游线路, 那么从甲城经乙城去丙城共有 条旅游线路。
（2）加法原理（分类）如果某件事可由 类不同途径之一去完成, 在第一类途径中有 种完成方法, 在第二类途径中有 种完成方法……在第 类途径中有 种完成方法, 那么完成这件事共有 种方法。
譬如, 由甲城到乙城去旅游有3类交通工具：汽车、火车和飞机。
而汽车有5个班次, 火车有3个班次, 飞机有2个班次, 那么从甲到乙共有 个班次供旅游者选择。
计算公式:（1）排列从 个不同元素中任取 （ ）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序）, 称此为一个排列, 此种排列的总数记为 。
按乘法原理, 取出的第一个元素有 种取法, 取出的第二个元素有 种取法……取出的第 个元素有 种取法, 所以有！r n n ！r n n n P r n )()1()1(-=+-⨯⨯-⨯= （r n A ） 若 , 责称为全排列, 记为 , 全排列 （ ） 例如：121234)124(424⨯⨯⨯⨯=+-⨯=A 123444⨯⨯⨯=A例: 把4个不同的球放入4个不同的盒子中, 每个盒子放一个球, 有多少种放法？答：123444⨯⨯⨯=A（2）重复排列从 个不同元素中每次取出一个, 放回后再取下一个, 如此连续取 次所得的排列称为重复排列, 此种重复排列数共有 个。
（3）组合从 个不同元素中任取 （ ）个元素并成一组（不考虑元素间的先后次序）, 称此为一个组合, 此种组合的总数记为 或 。
高中排列组合计算公式
高中排列组合计算公式高中数学中的排列组合计算公式，那可是相当重要且有趣的一部分内容呢！先来说说排列。
排列就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) 。
计算公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
给大家举个例子，假设咱们班有 10 个同学，要选 3 个同学去参加比赛，那一共有多少种选法呢？这就是一个简单的排列问题。
按照公式来算，A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10 × 9 × 8 = 720 种。
组合呢，组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) 。
计算公式是 C(n, m) = n! / [m! × (n - m)!] 。
就说学校要从 10 个社团中选出 3 个社团参加校际交流活动，这时候就该用组合来计算，C(10, 3) = 10! / [3! × (10 - 3)!] = 120 种。
记得我之前监考的时候，发现有个同学在做排列组合的题目时，抓耳挠腮，苦思冥想。
我在旁边看着都替他着急，不过最后他还是算出来了，那股子认真劲儿真是让人欣慰。
在实际生活中，排列组合的应用那可太广泛了。
比如说抽奖，从一堆号码中抽出几个中奖号码，这就是组合。
而如果要考虑号码的顺序，那就是排列。
再比如安排座位，一排有 8 个座位，要安排 5 个人坐下，这又得考虑排列。
还有分东西，把10 个苹果分给3 个小朋友，每个小朋友至少一个，这也是组合问题。
总之，排列组合的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多思考，就一定能掌握好。
就像咱们解决生活中的其他难题一样，只要用心，没有什么是做不到的。
大家在学习排列组合的时候，一定要多做练习题，熟悉各种题型，这样才能在考试中应对自如。
排列组合公式的推导
排列组合公式的推导嘿，咱来聊聊排列组合公式的推导这事儿。
在数学的奇妙世界里，排列组合就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂问题的大门。
说起排列组合公式的推导，那可真是一段有趣的旅程。
先来说说排列。
假设咱们有 n 个不同的元素，要从中选取 r 个进行排列。
这就好像是给 r 个位置选“客人”，第一个位置有 n 种选择，选完第一个位置后，第二个位置就只剩下 n - 1 种选择啦，以此类推，第三个位置有 n - 2 种选择……一直到第 r 个位置就只有 n - r + 1 种选择。
所以总的排列数就是 n × (n - 1) × (n - 2) × … × (n - r + 1) ，这就是排列数公式 A(n, r) = n! / (n - r)! 。
我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个调皮的小家伙突然举手说：“老师，这感觉好复杂，怎么能记住呀？”我笑着告诉他：“你就想象成一排座位，每个座位都得挑一个特别的‘小伙伴’坐上去，第一个座位挑的时候选择最多，越往后选择越少，这样是不是就好理解啦？”小家伙眨眨眼睛，若有所思地点点头。
再看组合。
组合呢，就是从 n 个不同元素中选取 r 个元素，不考虑顺序。
那怎么推导组合公式呢？咱们可以这样想，先求出排列数 A(n, r) ，但是这里面包含了顺序，而组合是不考虑顺序的，所以对于每一个组合，都存在 r! 种不同的排列。
那组合数 C(n, r) 就等于排列数 A(n, r) 除以 r! ，也就是 C(n, r) = n! / [r!(n - r)!] 。
为了让学生们更清楚这两者的区别，我在课堂上举了个例子。
比如说从 5 个不同颜色的球中选 3 个，选出来的组合不管顺序怎么变，只要球的颜色一样，那就是同一种组合。
但如果是排列，先选红、黄、蓝和先选黄、蓝、红就算是不同的情况。
经过这样的讲解和例子，学生们对排列组合公式的推导理解得更透彻了。
排列组合 基本公式
排列组合基本公式好的，以下是为您生成的关于“排列组合基本公式”的文章：咱今儿就来唠唠排列组合的基本公式，这玩意儿在数学里可有意思啦！先说说排列。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，有多少种排法？这就得用排列公式啦。
排列公式是：A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说 5! 就是 5×4×3×2×1 。
我记得有一次，学校组织活动，要从班上的 10 个同学里选 3 个去参加演讲比赛，并且要确定他们的出场顺序。
这可不就是一个典型的排列问题嘛！咱先用排列公式算算，A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10×9×8 = 720 种。
也就是说，一共有 720 种不同的安排方法。
这可把负责安排的老师给难住了，拿着笔在纸上比划了半天，嘴里还念念有词的。
再讲讲组合。
还是从那 5 个水果里选 3 个，不过这次不考虑顺序，这就叫组合。
组合公式是：C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
就像上次学校运动会，要从 8 个同学里选 3 个参加接力赛，这时候就不用考虑他们跑步的顺序，只要选出这 3 个人就行，那就是用组合来算。
C(8, 3) = 8! / [3!(8 - 3)!] = 56 种。
那排列和组合到底有啥区别呢？其实很简单，排列要考虑顺序，组合不考虑顺序。
比如说，从 3 个不同的字母 A、B、C 中选 2 个进行排列，那就有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 这 6 种情况。
但要是组合呢，就只有 AB、AC、BC 这 3 种。
在实际生活中，排列组合的应用可多了去了。
像抽奖活动，从一堆号码里抽出几个中奖号码，这就是组合；而选班干部，要确定谁当班长、谁当学习委员，这就得考虑排列。
还有啊，你去买衣服的时候，假如有 5 件上衣，4 条裤子，你想选一套衣服，这也能用到组合，一共有 5×4 = 20 种搭配方法。
高中排列组合公式
高中排列组合公式
例如C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6,C(5,2)=C(5,3)。
排列组合c计算方法：C是从几个中选取出来，不排列，只组合。
C(n，m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!
例如c53=5*4*3÷(3*2*1)=10，再如C(4,2)=(4x3)/(2x1)=6。
注意事项：
1、不同的元素分给不同的组，如果有出现人数相同的这样的组，并且该组没有名称，则需要除序，有几个相同的就除以几的阶乘，如果分的组有名称，则不需要除序。
2、隔板法就是在n个元间的n-1个空中插入若干个隔板，可以把n 个元素分成（n+1）组的方法，应用隔板法必须满足这n个元素必须互不相异，所分成的每一组至少分得一个元素，分成的组彼此相异。
3、对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。
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排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版）说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。
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如果想偷懒可下截同名的截图版。
另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。
一、排列数公式：!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m(1)(1)321n n A n n n推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行：第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋最后一步，排最后一位：有 1 种选法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。
二、组合数公式：(1)(2)(1)!!!()!m m n nm mA n n n n m n CA m m n m1nn C推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋最后一步，取最后一个：有 1 种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。
故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。
遂得出上述公式。
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题m n A 分解为两个步骤：第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ；第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。
根据乘法原理，m m m n n m A C A 即：(1)(2)(1)!!!()!m m n nm mA n n n n m n CA m m n m组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。
根据上述公式，C(n, n) = n!/n!(n-n)! = n! / n!0! = 1。
这一结果是完全合理的，因为从n 个球中抽取所有n 个出来，当然只有1种方法。
三、重复组合数公式：重复组合定义:从n 个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m 次所得的组合。
重复组合数公式：1m m n n m R C （m 可小于、大于、等于n,n ≥1） 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：n 个不同的元素看作是n 个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m 个相同的小球代表取m 次；则原问题可以简化为将m 个不加区别的小球放进n 个格子里面，问有多少种放法；这相当 于m 个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m 个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m ！*（n-1）！ 1(1)!!(1)!m n m m n C m n四、不全相异的全排列1(1)mnn mA右边=!!(1)(1)!()!m nn n nmA nm n m 左边=右边1mmnn n A A nm证明：右边=(1)!(1)!()!m nnn n A nmn m n m左边=右边11mm n n A nA证明：右边=(1)!!()!()!mnn n nA nm n m②③左边=右边11n n nn n n nA A A证明：右边=11(1)!!(1)!!!n n nnn n A A n n n n n n n nA右边=左边11m mmn nnA A mA证明：右边=1!!(1)!!(1)!()!(1)!(1)!(1)!m n n n n m n m n n mA n m n m n m n m1!22!33!!(1)!1n n n证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n! =(n+1)!-1！ =右边 六、组合恒等式的证明首先明弄清组合的两个性质公式：④⑤⑥互补性质：取出有多少种，剩下就有多少种 mnmn n C C 11m m mn n n C C C根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素1111m mnnm n m C C n mm证明：111(1)!!()(1)!(1)!!()!11!!(1)!(1)!!()!mmnn mmnn m m n n C C n mn m m n m m n m n m n m n n C C mm m n m m n m证明：右边=1(1)!!!(1)!!()!m mn n n nn n CC n mn m m n m m n m证明： 右边=(1)!!(1)!()!!()!m nn n n C m m n m m n m=左边证明：根据组合性质，左边各式可写成：1n n Cnm11m n n C m⑤1121rr r r r rr r nn C CCCC111112111232113431111111r r r r r rr r r r rr rr r r r r r r r r r rrn n n rr rn n n C C C C C C C C C C C C C C C C C左右两边相加即得：1121r r r r r r r r n n C C C C C证明：用数学归纳法证明。
1）当n=1时，0111122C C 所以等式成立。
2）假设n=k 时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。
即：0122kkk k k k C C C C当n=k+1时，0121111110011211110120121()()()()()222kk k kk k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kC C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C∴等式也成立由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。
⑥ 012n nnnnC CC也可用二项式定理证明（略）证明：用归纳法同上（略） 也可利用上述结论证明（略） 本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下： 设13524n n nnnna C C Cb C C C由（1+1）n 可得：a+b=2n =2×2n-1 由（1-1）n 可得a-b=0 ∴a=b=2n-1 (不懂的去学学二项式定理)证明： 由11m mm n n C nC 可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）左边012311111101231111111=n n n n n n()n 2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C注：同时利用了⑥的结论。
⑦ 13502412n nnnnnnC C C C C C ⑧ 1231232n n nnnnCCCnCn ⑨ 0110r r r r m nm nm nn mC CC CC CC用二项式定理证明太麻烦了。
能偷懒就不要太勤快了。
观察左边的每一项，发现均是分别从m 个不同素和n 个不同元素中取r 个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。
其所有组合数当然等于右边。
还是用偷懒法：根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n 即得些结论。
r ≤min{m,n}⑩ 021222()()()n n nnnnC C C C。