9.2拉氏变换性质

在 F ( s)

0
f ( t )e st dt . 中令s=0得 f ( t )dt F 0 .

0
在 F ( s ) L[tf ( t )].中令s=0得

在 s


0
tf t dt F 0
f (t ) F ( s)d s L t
[ g(t ) ] sG( s ) g(0) sG( s) ,
G( s )
即得
1 s
[ g(t ) ]
1 s
[ f (t ) ] ,
Hale Waihona Puke Baidu
[
t
0
1 f (t ) d t ] F ( s) . s
三、积分性质
1. 积分的象函数 性质
[
t
0
1 f (t ) d t ] F ( s); s
1 1
一、线性性质与相似性质
2. 相似性质(尺度性质) 性质 证明
P217
[ f (a t ) ]
令 x at

0
f (a t ) e s t d t

1 a
0
f ( x) e

s x a dx
1 s F . a a
二、微分性质
▲
P217 P217
1. 导数的象函数 性质
[ t n f (t ) ] .
P219 例9.8
解 已知
[ sin t ]

s
2 2
,
根据象函数的导数性质有
d [ t sin t ] [ 2 ] 2 ds s

使用同样方法，可得
2 s . 2 2 2 (s )
d s2 2 L[t cos t ] L[cos t ] 2 . 2 2 ds (s )
利用 Laplace 变换计算广义积分
P221 例9.11(2)
解 已知
1 s 1 , 由积分性质有 [ 1 cos t ] 2 2 s s 1 s( s 1)
1 cos t 1 [ ] ds 2 s s( s 1) t
1 s ln 2 2 s 1
即得
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) .
证明
[ f ( t ) ]

0
f ( t ) e
0
st
dt
0

0
e s t d f (t )
f (t ) e
st
s
f (t ) e s t d t ,
ct 由 | f ( t ) | Me , 有 | f ( t ) e s t | Me ( Re s c ) t ,
2
s
1 s2 1 ln , 2 2 s
0

1 s2 1 1 cos t t e d t ln 2 2 t s
1 ln 2 . 2 s 1
四、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质
P222
P222
性质 设当 t < 0 时 f (t ) 0 , 则对任一非负实数 有
[ g( t ) ] .
对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。
一、线性性质与相似性质
1. 线性性质 性质
P216
P216
证明 (略)
例9.4 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
L[sin kt ] sin kt e st d t
此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程.
例 求 f ( t ) cos t 的Laplace变换. 解 因为
参见例9.4, 与这里方法不同
2 f (0) 1, f (0) 0, f (t ) cost,
根据微分性质和线性性质
L[ 2 cos t ] s 2L[cos t ] sf (0) f (0),


s 同理可得 L[cos kt ] 2 s k2
5s 1 例9.5已知 F ( s) ( s 1)( s 2) ,
求
L1[ F (s)].
5s 1 2 3 1 L [ F ( s)]. L [ ]L [ ] ( s 1)( s 2) s 1 s 2) 1 1 1 1 2L [ ] 3L [ ] 2et 3e2t s 1 s2
P219 例9.9
解 t cos t
2 2
1 2 t (1 cos 2t ) , 2
已知
1 [1] , s
s [ cos 2 t ] 2 , 2 s 2
根据线性性质以及象函数的导数性质有
2 1 d 1 s 2 2 [ 2 ] [ t cos t ] 2 2 2 ds s s 2
P218 例9.7
解1 利用导数的象函数性质来求解本题
(m) ( m 1) f ( t ) m! 有 f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 0 以及 由
[ f ( m ) (t ) ]
[ m! ]
s m F ( s ) s m 1 f (0) s m 2 f (0) f ( m 1) (0)
可见，在利用本性质求逆变换时应为：
1
[ e s F ( s ) ] f (t ) u(t ) .
L[ f ( t )] f ( t ) sin t ，求 例9.12设 2 s s 1 2 2 解：L[ f (t )] L[ sin(t )] e L[ sin t ] 2 e 2 2 s 1
st 因此当 Re s c 时，有 lim f ( t ) e 0 , t
即得
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) .
二、微分性质
▲
1. 导数的象函数 性质
[ f (t ) ] sF ( s) f (0) ;
一般地，有
[ f ( n ) ( t )] s n F ( s ) s n1 f (0) s n 2 f (0) f ( n1) (0) .
sm
故有
[ f (t ) ] s m
m! [ m! ] m s
[ t m ],
1 [t ] m s
m
m! [ 1 ] m 1 . s
解2 用定义
二、微分性质
2. 象函数的导数 性质 F ( s)
P218
[ t f (t ) ];
一般地，有 F ( n ) ( s ) ( 1)n 证明 由 F ( s )
§9.2拉普拉斯变换的性质
一、线性与相似性质 二、微分性质 三、积分性质 四、延迟与位移性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理
§9.2 Laplace 变换的性质
在下面给出的基本性质中， 所涉及到的函数的 Laplace
变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c 。且
F ( s)
[ f ( t ) ] , G( s )
解：对方程的两边做拉普拉斯积分变换，得到
s Y (s) sy(0) y (0) Y (s) 0
2 ' 2
其中 Y (s) L[ y(t )] 代入初值得到 Y ( s)
y (t ) L [Y ( s)] L [
1 1

s2 2

s
2 2
] sin t
四、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质 性质 设当 t < 0 时 f (t ) 0 , 则对任一非负实数 有
[ f (t )] e s F ( s ) .
注：函数f (t-τ)与f (t)相比, f (t)从t = 0开始 有非零数值.而f (t-τ)是从t =τ开始才有 非零数值. 即向后延迟了一个时间τ. 从它们的图象 讲, f (t-τ)是由f (t)的图像沿t 轴向右平移τ而得, 其拉氏变换也多一个因子 .
0

1 j kt j kt st (e e )e d t 2j 0 j ( s j k ) t ( s j k )t e d t e dt 0 2 0 j 1 1 k 2 2 2 s jk s jk s k
0
[ t n f (t ) ] .
f (t ) e s t d t 有
d F ( s ) ds
0

f (t ) e
st
dt

0
[ f (t ) e s t ]d t s


0
t f (t ) e s t d t
[ t f (t ) ];
同理可得 F ( n ) ( s ) ( 1)n
[ f (t )] e s F ( s ) .
证明
[ f (t ) ]

0
f (t ) e s t d t f (t ) e s t d t


令 x t
0

f ( x ) e s x e s d x
e s F ( s ) .
四、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质 性质 设当 t < 0 时 f (t ) 0 , 则对任一非负实数 有
[ f (t )] e s F ( s ) .
注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 f ( t ) 0 这一约定。
因此，本性质也可以直接表述为：
[ f (t ) u(t ) ] e s F ( s ) .
中令s=0得


0
f t dt F s ds 0 t
利用 Laplace 变换计算广义积分
P221 例9.11(1)
解 由
[ cos 2t ]

0
e
st
s cos 2t d t 2 , 得 s 4
3 . 13 s3
0

e
3t
s cos 2t d t 2 s 4
2L[cos t ] s 2L[cos t ] s,
s . 所以 L[cos t ] 2 2 s
使用同样方法，可得 L[sin t ]

s
2 2
.
例9.6求解微分方程
y'' (t ) 2 y(t ) 0, y(0) 0, y ' (0)
2( s 6 24s 2 32) . 3 2 3 s ( s 4)
三、积分性质
1. 积分的象函数 性质
P219 P219
[
t
0
1 f (t ) d t ] F ( s) . s
t
证明 令 g( t ) 0 f ( t ) d t , 则 g(t ) f (t ) 且 g(0) 0 , 由微分性质有
f (t) f (t) O

t
利用单位阶跃函数 u( t ), 可以将
L[ f (t )] e s F ( s ).
s L [ f ( t ) u ( t )] e F ( s). 写成
s 有 L1 e F ( s ) f (t )u(t ).
(k ) (k ) 其中， f (0) 应理解为 lim f ( t ) . t 0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。（ §9.4 将专门介绍）
特别地，当 f (0) f (0) f ( n1) (0) 0 时，
L[ f ( n ) (t )] s n F ( s )
一般地，有
三、积分性质
2. 象函数的积分 性质
P220
s

F ( s) d s
f (t ) [ ]. t
一般地，有
ds ds F ( s ) d s s s s
n次



[
f (t ) ]. n t
证明 (略)
P220 例9.10
解 已知
1 [ sin t ] 2 , s 1
根据象函数的积分性质有
1 sin t [ ] s d s arccot s . 2 t 1 s
即
0

sin t st e d s arccot s . t
在上式中，如果令 s = 0，则有
0

sin t π ds . t 2
启示 在 Laplace 变换及其性质中，如果取 s 为某些特定的值， 就可以用来求一些函数的广义积分。