信息光学习题答案

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第一章 线性系统分析

简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx

d

x g =

（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2

⎰

∞

∞

--=

αααd x h f x g

（5）

()()απξααd j f ⎰∞

∞

--2exp

解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛π

证明：左边＝∑∑∑∞

-∞

=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ

∑∑∑∑∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=∞

-∞=∞

-∞=∞

-∞

=∞

-∞

=--+-=

-+-=-+-=

+=n n

n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )

()

1()()

()exp()()

()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边

当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞

-∞

=-n n x )2(2δ

所以当n 为偶数时，左右两边相等。

证明)()(sin x comb x =ππδ

证明：根据复合函数形式的δ函数公式

0)(,)

()

()]([1

≠''-=∑

=i n

i i i x h x h x x x h δδ

式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是

)()

()(sin x comb n x x n =-=∑∞

-∞

=π

δπ

ππδ

计算图题所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。当-1≤x ≤0时，如图题(a)所示， ⎰

+-+=

-+-=

x

x x d x x g 10

36

12131)1)(1()(ααα 图题 当0 < x ≤1时，如图题(b)所示， ⎰

+-=

-+-=

1

36

12131)1)(1()(x

x x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它

,010,

612

1

3101,6121

31)(33x x x x x x x g 计算下列一维卷积。 （1）⎪⎭⎫

⎝⎛-*-21)32(x rect x δ （2）⎪⎭

⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x rect x rect （3）)()(x rect x comb * 解：（1）⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫

⎝⎛-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ

（2）设卷积为g(x)，当x ≤0时，如图题(a)所示， 2)(2

+==

⎰

+x d x g x α

当0 < x 时，如图题(b)所示

图题

x d x g x

-==⎰2)(2

α

⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,2

10

,212)(x x

x x

x g

即 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛∧=22)(x x g （3）1)()(=*x rect x comb

已知)ex p(2

x π-的傅立叶变换为)ex p(2

πξ-，试求 （1）(

){}?ex p 2

=-℘x

（2）(){}

?2/ex p 22

=-℘σx

解：设ξππ==z x y , 即 {

}

)ex p()ex p(22πξπ-=-℘y

由坐标缩放性质{}⎪⎭

⎫

⎝⎛=

℘b a F ab by ax f ηξ,1),( 得 （1）(){}{}

)ex p()ex p(/ex p(ex p 2222

2ξπππππ-=-=-℘=-℘z y

x

（2）(

){}(){}2

2

2

2

2/ex p 2/ex p πσ

σ

y

x -℘=-℘

)2ex p(2)2ex p(22222ξπσσππσσπ-=-=z

计算积分.（1）()⎰

∞

∞-=?sin 4dx x c （2）()⎰

∞

∞

-=?cos sin 2xdx x c π

解：应用广义巴塞伐定理可得

（1）3

2

)1()1()()()(sin )(sin 1

2

01

22

2

=-++=ΛΛ=

⎰

⎰⎰⎰

-∞

∞

-∞

∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛

-Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Λ=⎰⎰⎰∞∞

-∞∞-∞

∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 2

2

1212121=⎭⎬⎫⎩⎨

⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ=

应用卷积定理求()()()x c x c x f 2sin sin =的傅里叶变换. 解：{}{}{}⎪⎭

⎫

⎝⎛*=

℘*℘=℘2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c 当2

1

23-<≤-

ξ时，如图题(a)所示， ξξξ+==⎰+-2

321)(21

1du G