第五章习题解答自动控制

1，低频段渐近线的斜率为-40，且过（0.1,66dB）
和（1,6dB）点，截止频率为 ω c = 2.1 。
对数幅频渐进特性曲线如下：
-40 L(ω) 66 -60 6 0.1 1 -80 ω
（3）系统的交接频率为 0.1
1
2，低频段渐近线的斜率为-20，且过（0.1,38dB）
点，截止频率为 ω c = 5.43 。
G( s)H ( s) =
( s + 1) 2 s s s + + 1 s + 1 2 9 3
要求选择频率点，列表计算 A(ω ) ， L(ω ) 和 ϕ (ω ) ，并据此在对数坐标纸上绘制系统开环 对数频率特性曲线。
解 由题给传递函数知，系统的交接频率依次为 1，2，3。低频段渐近线的斜率 为-20，且过（1,0dB）点。 ω ω /3 系统相频特性按下试计算 ϕ (ω ) = −90o + arctgω − arctg − arctg 2 1−ω2 /9 令 ω 为不同值，将计算结果列表如下 ω 0.1 0.5 1 3 5 7 10 15
对数幅频渐进特性曲线如下：
-20 L(ω) 38 26 ω 0.1 1 2 -60 -40
（4）系统的交接频率为 0.1
1 20，低频段渐近线的斜率为-20，且过（0.1,40dB）
8
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
点，截止频率为 ω c = 1 。
对数幅频渐进特性曲线如下：
-20 40
L(ω)
-40 20 0.1 1 -60 ω
根据题目给定的条件： ω = 1 A = 2 所以： G B ( jω ) =
2 (ω n − ω 2 ) + (2ζω nω ) 2
=
=1
（1）
∠G B ( jω ) = − arctan
2ξω nω 2ξω = − arctan 2 n = −45 0 2 2 ωn − ω ωn −1
（2）
由式（1）得 ω n = (ω n − 1) + ( 2ζω n )
100(0.001s / ω1 + 1) ( s / ω1 + 1)( s / 100 + 1)
（b） G ( s ) =
10 ( s / ω1 + 1) s 2 ( s / ω 2 + 1)
2 Ks 2ω n 2 ( s 2 + 2ξω n s + ω n )( s / 10 + 1)
（c） G ( s ) =
根据公式（5-16）和公式（5-17） 得到： c ss (t ) = A G ( jω ) sin(ωt + ϕ + ∠G ( jω ))
c ss1 (t ) = A1 G ( jω1 ) sin(ω1t + ϕ1 + ∠G ( jω1 ))
所以
=
1 5
sin(t + 30 0 − 26.6 0 ) = 0.447 sin(t + 3.4 0 )
-26
-20
5-12 已知最小相位系统的对数幅频渐进特性曲线如图 5-50 所示， 试确定系统的开环传递函 数。 解： （a） G ( s ) =
100( s / ω 2 + 1) ( s / ω1 + 1)( s / ω 3 + 1)
由图（a）得到 ω 3 = 100 所以： G ( s ) =
ω 2 = 1000ω1
低频段渐近线的斜率为-0， 且过 （0.125,6dB） 解： （1） 系统的交接频率为 0.125 和 0.5， 点，截止频率为 ω c = 0.25 。
对数幅频渐进特性曲线如下：
7
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
L(ω)
-20 0.125 0.25
0.5 -40
ω
（2）系统的交接频率为 0.1 和
= 0.447 sin(t + 3.4 0 ) − 0.354 cos(2t − 90 0 )
e ss (t ) = c ss (t ) − r (t ) = 0.447 sin(t + 3.4 0 ) − 0.354 cos(2t − 90 0 ) − sin(t + 30 0 ) + cos(2t − 45 0 )
系统开环频率特性表达式为： G ( jω ) = 5-8 已知系统开环传递函数
G( s)H ( s) =
10 s( 2 s + 1)( s 2 + 0.5s + 1)
试分别计算 ω = 0.5 和 ω = 2 时，开环频率特性的幅值 A(ω ) 和相位 ϕ (ω ) 。 解：
A(ω ) =
10
ω 4ω 2 + 1 (1 − ω 2 ) 2 + (0.5ω ) 2
5-13 试用奈氏判据分宾判断题 5-5，5-6 系统的闭环稳定性。 解：5-5 （1） τ > T 时系统闭环稳定。 （2） T > τ 时系统闭环不稳定。 5-6 （1）ν = 1 时系统闭环稳定。 （2）ν = 2,3,4 时系统闭环不稳定。
20
ϕ (ω )
− 89 o
− 87.2 o
− 92.1o − 164 o
− 216 o
− 234.5 o
− 246 o
− 254 o
− 258 o
ω
30
50
100
ϕ (ω )
− 262 o
− 265 o
− 267.7 o
作系统开环对数频率特性图，求得 ω c = 1 ,系统的穿越频率 ω r = 18 系统的幅值裕度和相角裕度为 h =
5-9 已知系统开环传递函数
0.5ω = −90 0 − 76 0 − 180 0 + 18.4 0 = 327.6 0 2 1−ω
G( s)H ( s) =
10 s( s + 1)( s 2 / 4 + 1)
试绘制系统概略开环幅相曲线。
5
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
解：
5-10
已知系统开环传递函数
（2）ν = 2 时系统的概略开环幅相曲线如下：
（3）ν = 3 时系统的概略开环幅相曲线如下：
5-7
பைடு நூலகம்
已知系统开环传递函数
G( s) =
K ( −T2 s + 1) ; s (T1 s + 1)
K , T1 , T2 > 0
0
当取 ω = 1 时， ∠G ( jω ) = −180 ， G ( jω ) = 0.5 。当输入为单位速度信号时，系统的稳 态误差为 0.1，试写出系统开环频率特性表达式。 解： KV = lim sG ( s ) = K = 10
ω
4
− arctan
ω
9
C(s)
5-3 设系统结构图如图 5-49 所示，试确定输入信号 R(s) － 1 s+1
r (t ) = sin(t + 300 ) − cos(2t − 450 )
作用下，系统的稳态误差 ess (t ) 。 解：系统的闭环传递函数为：
1 1 G ( s) = s + 1 = 1 s+2 1+ s +1
(1)
τ < T 时， ϕ (ω ) < −180 0 概略开环幅相曲线如下
5-6
已知系统开环传递函数
G( s)H ( s) =
1 s ( s + 1)( s + 2)
ν
3
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
试分别绘制ν = 1,2,3,4 时系统的概略开环幅相曲线。 解： （1）ν = 1 时系统的概略开环幅相曲线如下：
s →0
当 ω = 1 时 G ( jω ) =
K (T2ω ) 2 + 1 (T1ω ) 2 + 1
=
10 (T2 ) 2 + 1 (T1 ) 2 + 1
4
= 0.5
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
∠G ( jω ) = −900 − arctan T1ω − arctan T2ω = −900 − arctan T1 − arctan T2 = −900 − arctan
2 ( 2 s + 1)(8s + 1) 200 s ( s + 1)(10s + 1)
2
（2） G ( s ) =
s + 1) 0.1 （3） G ( s ) = s s( s 2 + s + 1)( + 1) 2 2 s s 10( + + 1) 400 10 （4） G ( s ) = s s( s + 1)( + 1) 0 .1 8(
1 = 0.512 G ( jω c )
γ = 180 o + ϕ (ω r ) = −16.1o
6
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
L（ ω ） （dB）
60 40 20 0 0.1
-20 -40 -20 -40 20 -60
1
2
10
100 ω
ω
0o − 90 o − 180 o
5-11 绘制下列函数的对数幅频渐进特性曲线： （1） G ( s ) =
即： 1 − T1T2 = 0
T1 + T2 = −1800 1 − T1T2
10 (T2 ) 2 + 1 1 T1 = 代入到 G ( j ) = = 0.5 中得到： T2 (T1 ) 2 + 1
T2 =
1 20
T1 = 20
所以系统的开环传递函数为： G ( s ) =
10( − s / 20 + 1) s( 20s + 1) 10( − jω / 20 + 1) jω ( 20 jω + 1)
0.5ω 1−ω 2 = 10 0.5 2 0.625 = 17.86
ϕ (ω ) = −90 0 − arctan 2ω − arctan
（1） ω = 0.5 时
A(ω ) =
10
ω 4ω + 1 (1 − ω ) + (0.5ω )
2 2 2
2
ϕ (ω ) = −90 0 − arctan 2ω − arctan
4 2
2
即： 2ω n − 4ζ
2
2
2 ωn −1 = 0
（3）
2
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由式（2）得 arctan
2
2ξω n = 45 0 2 ωn −1
（4）
即： ω n − 2ζω n − 1 = 0
联立方程（3）和（4） ，解方程得： ω n = 1.848 5-5 已知系统开环传递函数
ξ = 0.6532
G( s) H ( s) =
K (τs + 1) ; s 2 (Ts + 1)
K ,τ , T > 0
试分析并绘制 τ > T 和 T > τ 情况下的概略开环幅相曲线。 解：相频特性为
ϕ (ω ) = −180 0 + arctan τω − arctan Tω
(1)
τ > T 时， ϕ (ω ) > −180 0 概略开环幅相曲线如下
2 ωn 其中： G B ( s ) = 2 2 s + 2ζω n s + ω n
2 ωn 2 (ω n − ω 2 ) + (2ζω nω ) 2
所以： G B ( jω ) =
∠G B ( jω ) = − arctan
2ξω nω 2 ωn −ω 2
2 ωn 2 ωn 2 (ω n − 1) + (2ζω n ) 2
C ( s) 36 = G ( s) = R( s) ( s + 4)( s + 9)
所以系统的频率特性为：
G ( jω ) =
36 = A(ω )e jϕ (ω ) ( jω + 4)( jω + 9)
其中： A(ω ) =
36 (ω ) 2 + 16 (ω ) 2 + 81
ϕ (ω ) = − arctan
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5-2 若系统单位阶跃响应为
h(t ) = 1 − 1.8e −4t + 0.8e −9t (t ≥ 0)
试确定系统的频率特性。 解：对单位阶跃响应取拉氏变换得：
1 1.8 0.8 36 − + = s s + 4 s + 9 s ( s + 4)( s + 9)
即：
1
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
c ss 2 (t ) = A2 G ( jω 2 ) sin(ω 2 t + ϕ 2 + ∠G ( jω 2 ))
=−
1 8
cos(2t − 45 0 − 45 0 ) = −0.354 cos(2t − 90 0 )
所以：
c ss (t ) = c ss1 (t ) + c ss 2 (t )
（2） ω = 2 时
0.5ω = −90 0 − 45 0 − 18.4 0 = 153.4 0 2 1−ω = 10 2 17 10 = 0.383
A(ω ) =
10
ω 4ω 2 + 1 (1 − ω 2 ) 2 + (0.5ω ) 2
ϕ (ω ) = −90 0 − arctan 2ω − arctan
5-4 典型二阶系统的开环传递函数
2 ωn s( s + 2ζω n )
G( s) =
当取 r (t ) = 2 sin t 时，系统的稳态输出
css (t ) = 2 sin(t − 450 )
试确定系统参数 ω n , ζ 。 解：根据公式（5-16）和公式（5-17） 得到： c ss (t ) = A G B ( jω ) sin(ωt + ϕ + ∠G B ( jω ))