基本不等式学案专题
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基本不等式
【考纲要求】
1.
2a b +≤
的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并
掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2.
2
a b +≤
解决最大（小）值问题.
3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】
【考点梳理】
考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式：
如果,R a b ∈，那么2
2
2a b
a b
+≥（当且仅当a
b
=时取等号“=”）.
2．基本不等式： 如果,a b
是正数，那么2a b +≥（当且仅当a
b
=时取等号“=”）.
要点诠释：2
2
2a b
a b
+≥
和
2
a b
+≥
两者的异同：
（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都
是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a
b
=时
取等号”。
（3）2
2
2a
b
a b
+≥可以变形为：22
2
a b
a b
+≤
，
2
a b +≥可以变形为：
2
(
)
2
a b a b +≤.
3.如图，A B 是圆的直径，点C 是A B 上的一点，A C a
=,B C
b
=，过点C 作
D C A B ⊥交圆于点D ，连接A D 、B D .
易证~R t A C D
R t D C B
∆∆，那么2
C D C A C B
=⋅，即C D
=.
这个圆的半径为2
b a +，它大于或等于C D ，即ab
b a ≥
+2
，其中当且仅当
点C 与圆心重合，即a
b
=时，等号成立.
要点诠释：1.在数学中，我们称2
b a +为,a b 的算术平均数，称
ab
为,a b 的
几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把
2
b a +看作是正数,a b 的等差中项，
ab
看作是正数,a b 的等比中项，
那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2
a b +≤
的证明
1. 几何面积法
如图，在正方形A B C D 中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a 、b 这样，4个直角三角形的面积的和是2a b ，正方形A B C D 的面积为22
a b
+。由于
4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：22
2a b
a b
+≥。当直角三角形
变为等腰直角三角形，即a
b
=时，正方形E F G H 缩为一个点，这时有2
2
2a b
a b
+=。
得到结论：如果+
,R
a b ∈，那么2
2
2a b
a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）
特别的，如果0
a >，0
b >,a 、b ，可得：
如果0
a
>，0
b
>,则a
b +≥，（当且仅当a b
=时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果0
a
>，0
b
>2
a b +≤
，（当且仅当a
b
=时
取等号“=”）
2. 代数法
∵2
2
2
2()0
a b a b a b +-=-≥，
当a b ≠时，2
()0a b ->； 当a
b
=时，2
()0
a
b -=.
所以2
2
()2a b a b
+≥，（当且仅当a b
=时取等号“=”）.
特别的，如果0
a >，0
b
>,分别代替a 、b ，可得：
如果0
a
>，0
b
>,则a
b +≥，（当且仅当a b
=时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果0
a
>，0
b
>2a b +≤，（当且仅当a
b
=时取等号“=”）.
2
a b +≤
求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点四、几个常见的不等式 1）()R b a ab
b
a ∈≥+,22
2，当且仅当
a=b 时取“=”号。
2）()+
∈≥+R b a ab
b a ,2，当且仅当a=b 时取“=”号。
3）
()02
>⋅≥+
b
a a
b b
a ；特别地：()02
1>≥+
a a a ；
4）
b
a a
b ab b a b a +≥
≥+≥
+22
2
2
2
(),a b R
+
∈
5）()()+
∈
≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++R
b a b a
b a
,4
11
；
【典型例题】
2
a b +≤
的理解