20160910二次函数图像与性质(第5课时)

它是由y=-３x2的图像向下平移5个单位得到的
5.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值 为 。 6.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴 对称后，所形成的二次函数的解析式为 。
7、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是 由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ， h= 。 8、把抛物线y=(x+1)2向 后，得到抛物线y=(x-3)2 平移 个 单位
开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2. 对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
-3. -2. -1 -1 5
4.
3. 2 1
二次函数 y=3(x-1)2+2的 2 y=3(x-1) 图象可以 y=3x2 的图象向右平 移1个单位，再 向上平移2个单 位得到
1. 2 3. x
1 y
再描点、连线 (1)抛物线
1 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 抛物线 y ( x 1) 1 2 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 ( x 1) 2 1
y=ax2
向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位
各种形式的二次函数的关系口诀:“左加右减,上加下减”
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对 函数图象的讨论,分析归纳出 y a (x h) 2 k 的性质:
(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h (3)顶点坐标是(h,k)
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h ，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
开口方向
增减性
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
( 2 , －6 )
y=－5(2－x)2－6
2.若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平
移4个单位所得抛物线的解析式是
（ y ( x 2)2 4 ）
3.如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛 物线y=2x2
向右平移1个单位，向上平移3个单位
y=2x²
向左平移1个单位，向下平移3个单位
最值
当x=h时,y最小值=k.
当x=h时,
y
最小值
=k
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
直线x=2
( 3 , 7)
平移方法2:
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
1 2 y- x 2
1 2 y - x -1 2
1 2 y - ( x 1) 2
1 2 y - ( x 1) - 1 2
1 y
即:
2.它们的位置由什么决 定的？ 它们的位置是由h决定 的。
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y (x 1) -3 2 1 2 -4 y (x 1) 2 -5 -6 1 2 -7 y x 2 -8 -9 -10
1 2 例.画出函数 y ( x 1) 1 的图像.指出它的开口方向、顶 2 点与对称轴。
5 4 3 2 1
向上 直线x=1 (1,1) y=2(x–1)2+1
y=2(x–1)2 x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2
1 2 y x 2 2 2
y
画出函数 y 1 x 2
2 1 2 y x 2 2 2 1 2 y x 2 3 2
(3)顶点是(h,k).
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练习二：
1、把二次函数y=3x 2的图像，先沿x轴向右平移３个单位，再沿y轴
y=3(x-3)2-2 向下平移2个单位，得到_____________ 的图像。
2、抛物线y=2（x + 1）2向右平移3个单位长度后，顶点坐标
直线x=2 。 是 （2，0） ，对称轴是——————
y = ax2 + k
上下平移
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
|h|
左 个 右 单 平 位 移
y = a(x - h )2
左右平移 |h|个单位
|k|个单位
y = ax2
2 抛物线y=a(x－h) +k有如下
特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
y=2(x-1)² +3
4.抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可设为(
)
Ay=a(x+3)2+5
Cy=a(x-3)2-5
By=a(x-3)2+5
Dy=a(x+3)2-5
5.如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 2 4
3 y ( x 3) 2 3 4
0 －2
1 2
1 2 1 2
· · ·
· · ·
－2
0
－2
· · ·
y
在同一平面直角坐标系中，画出二次函 数 y 1 ( x 1) 2 和
2
1 y ( x 1) 2 2
的图象，
●
● ● ●
1
● o● ● ● ● ●
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点。
x
●
●
●
●
什么关系?
x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2 1 2 y x 2
· · · -4 -3 -2 -1 0 · · · · · ·
9 2
1 －2 0
1 2
2
9 2 1 2
3 －2
9 2
4 · · · · · ·
9 2
－2
9 2
1 2 9 2
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 0=a(3－1)2＋3
我思考，我进步
在同一坐标系中作出二次函数 y=3x² ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象 有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标 分别是什么?作图看一看．
?
y
y=3(x-1)2+2 顶点坐标是 y=3x2 （ 1 ， 2）
开口向上 开口向上 开口向上
顶点坐标
(0,k) (h,0) (h,k)
y a(x h)2 (a 0)
y a(x h) k(a 0)
2
直线X=0 直线X=h 直线X=h
各种形式的二次函数的关系口诀:“左加右减,上加下减” y = a( x - h )2 + k
上 个 下 单 平 位 移 |k|
抛物线 y ax 2 k(a 0) 开口方向 对称轴
开口向上 开口向上 开口向上
顶点坐标
(0,k) (h,0) (h,k)
y a(x h)2 (a 0)
y a(x h)2 k(a 0)
直线X=0 直线X=h 直线X=h
上
向上 y轴 (0,0) y=2x2
向上 直线x=1 (1,0) y
二次函数的 图象和性质5
包头市第四十三中学 刘军
二次函数的性质: １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
上下平移规律 上加下减
y=ax2
当c>0时,向上平移c个单位
当c<0时,向下平移 c 个单位
y ax c
2
左右平移规律 左加右减
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位 当h<0时,向左平移 h 个单位
解:
x
先列表
… -4 -5.5 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点
后连线.
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
y=a(x-h)2
实战演练：
1. 如图，请找出下列函数所对应的图象：
y
1).y
1 y 4 x 2). 2 y 4 x 3).
2 2 x2
图象为 图象为 图象为 图象为
2 2 y x 4). 3
④ ① ③ ②
③ ①
o
x
② ④
2. y = -2x 2 +5 的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过 沿Y轴向上平移5个单位 得到的. 它的对称轴是 Y轴 , 顶点坐标是 （0，5） ,在x<0时.y值随x的增大而 增大 ； 与x轴有 无 交点。
0.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函 数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与 y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向 上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线 y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、 k的值来决定.
平移方法: 向上(下)平 y=a(x－h)2+k 2 y=ax2 向左(右)平移 y=a(x－h) |h|个单位 移|k|个单位
3、对于二次函数y=-x2+2,其开口方向 向下 ，对称轴 是 y轴（或直线x=0) ，顶点坐标是 （0，2）。它是 由 y=-x2 的图像 向上平移2个单位 得到的。
4、若抛物线y=-3x2+c的顶点坐标为（0，-5）， -5 y=-３x2-５ 则ｃ＝＿＿＿，二次函数关系式为＿＿＿＿＿， 那么它的图像是由y=-3x2怎样移动得来的？
5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1 O – 1 1 2 y x 2 3 –2 2 –3 –4
的图像 1 2 y x 2 1 2 3 4 5
x
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置
3 y ( x 5) 2 2 4
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对 函数图象的讨论,分析归纳出 y a (x h) 2 k 的性质:
(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h (3)顶点坐标是(h,k)
抛物线 2 y ax k(a 0) 开口方向 对称轴
2
1 (2)抛物线 y ( x 1) 2 1 2 1 2 y x 2
直线x=－1
1
y x
有什么关系?
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 2 -2 y ( x 1 ) 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10
1 1 1 2 2 2 1.抛物线 y ( x 1) 与抛物线 y ( x 1) y x 有 2 2 2 1 2 向左平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1 2 向右平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2
3、抛物线y=-3x2向左平移2个单位，在向上平移5个单位，得到的抛物线解
析式是（C）。 A. y=-3(x-2)2-5 B. y=-3(x+2)2-5 C. y=-3(x+2)2+5 D. y=-3(x-2)2+5
4、若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m )2+1的顶点必
在第 B A.一 象限。 B.二 C.三 D.四