杆件内力分析
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qa
B D C
qa2 2
x1
a
x2
q
RC
qa 2
qa2
x3
A RAx qa a 3qa RAy 2
M图
qa 2
a
qa
qa
FN图
3qa 2
Fs图
作图示刚架的内力图
C
D
a
A
q
qa2
B
a
解：求约束反力
C
D
a
q
A
3qa 2
qa
qa2
B
a
3qa 2
分析各段内力
内力方程:
D
BD:
FN ( x1 )
FN ( x3 )
3qa 2 FS ( x3 ) qa
M ( x3 ) qa2 qax3
(
)
内力图
C
D
x2
2qa2
qa2 2
a
x3
q
A
3qa 2
qa
qa2
x1
B
3qa 2
a
qa
qa2
M图
qa
qa
-
FS图
3qa 2
FN图
3qa 2
曲杆内力分析
曲杆：轴线为(平面)曲线的杆件
D B
4m
C
2m
FB=14.5kN
FD=3.5kN
A
FS M 0
B
3 2 6
3 22 6 2
B
6 14.5 8.5
3 22 6 2
C
-3.5
C
-3.5 7
D
-3.5 0
0
3.5 2 3 4
内力图
q 3kN / m
A
2m
C
8
MP
a 2
q
qa 2
B
qa2
A
1 2 qa 2
C
Mq
多跨静定梁、刚架及曲杆的内力图
多跨静定梁 —— 带“中间铰”的连续静定梁。
A
q
l
P C B
a
a
中间铰约束力的 等效处理。
A
q
l
P C B
a
P P
a
q
q
FC FC
P
q
ql P 2
FC FC
FS图
P2
P2
Pa 2
M图
ql Pl
qa
B D C
RC qa 2
a
q A RAx qa a
a
3qa RAy 2
2) 分别以B、C和A为起点，分析内力，等效如图
qa
B D C B
qa
D C
x1
a q A a a q
x2
RC
qa 2
x3
A RAx qa
a
a
RAy
a 3qa 2
3）（写内力方程），作内力图(微分关系成立)
FN 30 5 x( kN )
(4m x 6m)
轴力图
FA=10kN 2m
20kN 2m
5kN/m 2m
FN
kN
10
（-）
（+）
x
10
扭矩图 A
T0=8kN-m 2m
m0=5kN-m/m
2m
B
C
M T m0 x 0
MT m =5kN-m/m 0
M T 5 x(kN m)
A x
B
x
F
l
FS ( x) F M ( x) F x
(0 x l )
称为剪力方程和 弯矩方程。
剪力图和弯矩图
A
B
F
剪力方程和弯矩方程 FS kN
l
F
FS ( x) F (0 x l ) M ( x) F x
（+）
x
M kN-m
（+）
Fl
轴向拉压时的轴力方程与轴力图 求：轴力方程，做轴力图
P1=100kN
m n
P2=100kN
l=2m
P3=200kN
l=2m
n
A
x
m
B
x
C
x
P1=100kN
FN P2=100kN
A
P1=100kN
FN 100 0 FN 100(kN )
FN
(2m x 0)
A
FN 100 100 0 FN 200(kN ) (4m x 2m)
内力的确定
将杆件在所求内力的截面假想地截开，保留一半，弃去一半。 将弃去部分对保留部分的作用，以上述内力分量的形式代替；根 据平衡原理以保留部分为研究对象建立平衡方程，确定内力分量 的大小和方向。——截面法。
Y
FSY
FN X
Z
FSZ Y MZ MT MY Z X
内力的符号规定
在材料力学中，以引起对应变形的效果，规定内力的符号。 四种基本变形形式对应内力的符号规定如下： 1）轴力FN ：取微杆段dx
2
刚架内力分析
特点:通过“刚结点”联结的杆系结构
P C D B m q D m
C
q
A
B
A
内力特点：对于平面刚架，杆段内可能存在“轴力”、“剪力”和 “弯矩”三种内力形式。
刚架“弯矩”内力的符号规定：
弯矩图画在杆段变形的“凹侧”
q
B
D C
m
A
例：求作静定刚架的内力图。
qa
B
D
C
a
q
A
a a
解：1）求约束反力： 根据整体平衡求RC，RAy和RAx
3qa () 2 FS ( x1 ) qx1
C
x2
qx12 M ( x1 ) 2
(
)
a
x3
q
A
3qa 2
DC:
qa
qa2
x1
B
3qa 2
a
qa2 3qa M ( x2 ) x2 ( 2 2
FN ( x2 ) qa 3qa FS ( x2 ) 2
)
AC:
B
FN
C
P1=200kN
FN 200 0 FN 200(kN )
(4m x 2m)
P1=100kN
P2=100kN
l=2m
P3=200kN
l=2m
A
FN kN
B
C
x
100
（ -）
（-）
200
FN 100(kN )
FN 200(kN )
(2m x 0)
杆件的内力分析
杆件内力的一般分类 杆件在外力作用下，内部的相互作用称为内力。 对于一个在外力和约束力作用下处于平衡状态的杆件，将其 在所要求内力的截面假想地截开（一般按横截面截开）考虑部分 平衡。与刚体的不同是杆件的内力在截面上为一分布力系。将其 向截面形心简化，如图所示
Y
FSY FN X Z
FSZ Y
2
9qa2 32
qa2
3qa2 4
已知弯矩图求载荷图及剪力 图
A
1KN m
C
1KN m
D
B
M
1m
3m
2KN m
1m
1KN
剪力图
2KN
Fs
1KN 3KN m
载荷图
1KN
1KN m
1KN
用叠加法作内力图
做梁的弯矩图
A
P qa
q
P qa
B
C
a
qa2
a
a
A
B
1 2 qa 2
m0 3kN m
B
4m
C
2m
D
Fs图（kN）
FB=14.5kN
FD=3.5kN
8.5
x 4.83m
-6 M图（kN·m） 6.0
-3.5 7 4
-3.5
-6
qa 4
7 qa 4
FS 图
5qa 2 MC 4 3qa 2 MD 2
M图
纠正FS 图、M图的错误 qa 2
A
5 qa 6
0 x 2m
MT
T0=8kN-m
x
C
m0=5kN-m/m
B
C
MT 8 5 2 0
M T 2(kN m)
2m x 4m
T0=8kN-m
m0=5kN-m/m
2m
A
2m
B
C
MT （kN-m） 10 （+） （+）
2
剪力、弯矩方程和剪力图、弯矩图
梁上作用横向载荷， 将引起横截面上的两 个内力——剪力FS和 弯矩M 建立图示坐标系，有
MZ MT
X
MY
Z
Y
FSY
FN X
Y MZ MT MY Z X
Z
FSZ
六个内力分量，引起不同的变形形式 轴力 FN ——沿X轴的分量，引起轴向拉伸（压缩）变形。
扭矩 MT ——绕X轴的力矩分量，引起绕X轴的扭转变形。
剪力 FSY 、FSZ —— 沿Y 、Z轴的截面内力分量，分别引起 Y 、Z方向的剪切变形。 弯矩 MZ 、 MY —— 绕Z、Y轴的力矩分量，分别引起XY、XZ 平面的弯曲变形。
q
C B a D
a
2a
13 qa 6
FS
5 qa 6
qa
85 2 qa 72
M
5 2 qa 6
7 qa 6
qa
qa 2
85 2 qa 72
1 2 qa 1 2 qa 2 2
已知剪力图求载荷图及M图 （设：无集中力偶作用）
Fs
2KN
A
1m
C
D
1m 2m
B
2KN
2KN
1 KN
m
载荷图
2KN 2KN
FN
dx
FN
FN
dx
FN
（+）
（- ）
2）剪力 FQ：取微杆段dx
FS
dx
FS
FS
dx
FS
（+）
（பைடு நூலகம்）
3）扭矩 MT
MT
dx
MT
MT
dx
MT
（+） 右手螺旋定则
（-）
4）弯矩 M
M
dx
M
M
dx
M
（+）
（-）
杆件的内力方程与内力图
将杆的内力以截面位置的函数形式表示称为内力方程 若以杆件轴线为横坐标，内力大小为纵坐标表示内力沿轴线 的分布，称为内力图。
M
max
FS Pcos FN Psin
M PR 2
FN P 2
FS
FN
max
max
FS 0 FS P
内力图
PR
-
R
M图
P
M PRsin （ ）
弯矩图
M
2 KN
2 KN
求:作图示杆件的剪力图和弯矩图
m0 qa2
A
P qa
C
q
a
a
D
a
B
RA
RB
约束力:
RA 5 4 3 4 qa() qa()
P qa
C
A
m0 qa2
q
a
qa 4
a
D
a
B
RB
RA
FS图
qa
RB
x 3a 4
3qa 4
极值条件:FS=0
M图
qa 4
(4m x 2m)
做图示杆件的内力图
FA=10kN 2m
FA=10kN FN 20kN 2m 5kN/m 2m
x
FN 10kN
20kN FN
(0 x 2m)
FA=10kN
FN 10 kN
FN
(2m x 4m)
FA=10kN
20kN
5kN/m
FN 20 10 5( x 4) 0
x
FS图
M图
M
FS
M FS
FS图
M图
M FS
M
FS
FS图
M图
分布集度q（x）、剪力Q（x）与弯矩M（x）之间的微分关系
做梁AD的 FS、M 图
q 3kN / m
A
2m
m0 3kN m
B
4m
C
2m
D
q 3kN / m
A
2m
m0 3kN m
R
平面曲杆的横截面上同时存在轴力、剪力和弯矩
P
把外载荷向以圆周角 表示的截面上简化，写出内力方程
FN FN
FS FS
M M
求：曲杆内力绝对值最大及其位置
R P
解：定义横截面方位角（圆周角） FS P R M FN P
将外载P向横截面上简化，得
M PRsin （ ）
M
max
M PR 2
弯矩符号规定：使曲率增加为正；反之为负。
P FS图
R
P
P
FS Pcos
FS
max
FS 0 FS P
P
R
P
FN 图
FN Psin
FN
max
FN P 2
B D C
qa2 2
x1
a
x2
q
RC
qa 2
qa2
x3
A RAx qa a 3qa RAy 2
M图
qa 2
a
qa
qa
FN图
3qa 2
Fs图
作图示刚架的内力图
C
D
a
A
q
qa2
B
a
解：求约束反力
C
D
a
q
A
3qa 2
qa
qa2
B
a
3qa 2
分析各段内力
内力方程:
D
BD:
FN ( x1 )
FN ( x3 )
3qa 2 FS ( x3 ) qa
M ( x3 ) qa2 qax3
(
)
内力图
C
D
x2
2qa2
qa2 2
a
x3
q
A
3qa 2
qa
qa2
x1
B
3qa 2
a
qa
qa2
M图
qa
qa
-
FS图
3qa 2
FN图
3qa 2
曲杆内力分析
曲杆：轴线为(平面)曲线的杆件
D B
4m
C
2m
FB=14.5kN
FD=3.5kN
A
FS M 0
B
3 2 6
3 22 6 2
B
6 14.5 8.5
3 22 6 2
C
-3.5
C
-3.5 7
D
-3.5 0
0
3.5 2 3 4
内力图
q 3kN / m
A
2m
C
8
MP
a 2
q
qa 2
B
qa2
A
1 2 qa 2
C
Mq
多跨静定梁、刚架及曲杆的内力图
多跨静定梁 —— 带“中间铰”的连续静定梁。
A
q
l
P C B
a
a
中间铰约束力的 等效处理。
A
q
l
P C B
a
P P
a
q
q
FC FC
P
q
ql P 2
FC FC
FS图
P2
P2
Pa 2
M图
ql Pl
qa
B D C
RC qa 2
a
q A RAx qa a
a
3qa RAy 2
2) 分别以B、C和A为起点，分析内力，等效如图
qa
B D C B
qa
D C
x1
a q A a a q
x2
RC
qa 2
x3
A RAx qa
a
a
RAy
a 3qa 2
3）（写内力方程），作内力图(微分关系成立)
FN 30 5 x( kN )
(4m x 6m)
轴力图
FA=10kN 2m
20kN 2m
5kN/m 2m
FN
kN
10
（-）
（+）
x
10
扭矩图 A
T0=8kN-m 2m
m0=5kN-m/m
2m
B
C
M T m0 x 0
MT m =5kN-m/m 0
M T 5 x(kN m)
A x
B
x
F
l
FS ( x) F M ( x) F x
(0 x l )
称为剪力方程和 弯矩方程。
剪力图和弯矩图
A
B
F
剪力方程和弯矩方程 FS kN
l
F
FS ( x) F (0 x l ) M ( x) F x
（+）
x
M kN-m
（+）
Fl
轴向拉压时的轴力方程与轴力图 求：轴力方程，做轴力图
P1=100kN
m n
P2=100kN
l=2m
P3=200kN
l=2m
n
A
x
m
B
x
C
x
P1=100kN
FN P2=100kN
A
P1=100kN
FN 100 0 FN 100(kN )
FN
(2m x 0)
A
FN 100 100 0 FN 200(kN ) (4m x 2m)
内力的确定
将杆件在所求内力的截面假想地截开，保留一半，弃去一半。 将弃去部分对保留部分的作用，以上述内力分量的形式代替；根 据平衡原理以保留部分为研究对象建立平衡方程，确定内力分量 的大小和方向。——截面法。
Y
FSY
FN X
Z
FSZ Y MZ MT MY Z X
内力的符号规定
在材料力学中，以引起对应变形的效果，规定内力的符号。 四种基本变形形式对应内力的符号规定如下： 1）轴力FN ：取微杆段dx
2
刚架内力分析
特点:通过“刚结点”联结的杆系结构
P C D B m q D m
C
q
A
B
A
内力特点：对于平面刚架，杆段内可能存在“轴力”、“剪力”和 “弯矩”三种内力形式。
刚架“弯矩”内力的符号规定：
弯矩图画在杆段变形的“凹侧”
q
B
D C
m
A
例：求作静定刚架的内力图。
qa
B
D
C
a
q
A
a a
解：1）求约束反力： 根据整体平衡求RC，RAy和RAx
3qa () 2 FS ( x1 ) qx1
C
x2
qx12 M ( x1 ) 2
(
)
a
x3
q
A
3qa 2
DC:
qa
qa2
x1
B
3qa 2
a
qa2 3qa M ( x2 ) x2 ( 2 2
FN ( x2 ) qa 3qa FS ( x2 ) 2
)
AC:
B
FN
C
P1=200kN
FN 200 0 FN 200(kN )
(4m x 2m)
P1=100kN
P2=100kN
l=2m
P3=200kN
l=2m
A
FN kN
B
C
x
100
（ -）
（-）
200
FN 100(kN )
FN 200(kN )
(2m x 0)
杆件的内力分析
杆件内力的一般分类 杆件在外力作用下，内部的相互作用称为内力。 对于一个在外力和约束力作用下处于平衡状态的杆件，将其 在所要求内力的截面假想地截开（一般按横截面截开）考虑部分 平衡。与刚体的不同是杆件的内力在截面上为一分布力系。将其 向截面形心简化，如图所示
Y
FSY FN X Z
FSZ Y
2
9qa2 32
qa2
3qa2 4
已知弯矩图求载荷图及剪力 图
A
1KN m
C
1KN m
D
B
M
1m
3m
2KN m
1m
1KN
剪力图
2KN
Fs
1KN 3KN m
载荷图
1KN
1KN m
1KN
用叠加法作内力图
做梁的弯矩图
A
P qa
q
P qa
B
C
a
qa2
a
a
A
B
1 2 qa 2
m0 3kN m
B
4m
C
2m
D
Fs图（kN）
FB=14.5kN
FD=3.5kN
8.5
x 4.83m
-6 M图（kN·m） 6.0
-3.5 7 4
-3.5
-6
qa 4
7 qa 4
FS 图
5qa 2 MC 4 3qa 2 MD 2
M图
纠正FS 图、M图的错误 qa 2
A
5 qa 6
0 x 2m
MT
T0=8kN-m
x
C
m0=5kN-m/m
B
C
MT 8 5 2 0
M T 2(kN m)
2m x 4m
T0=8kN-m
m0=5kN-m/m
2m
A
2m
B
C
MT （kN-m） 10 （+） （+）
2
剪力、弯矩方程和剪力图、弯矩图
梁上作用横向载荷， 将引起横截面上的两 个内力——剪力FS和 弯矩M 建立图示坐标系，有
MZ MT
X
MY
Z
Y
FSY
FN X
Y MZ MT MY Z X
Z
FSZ
六个内力分量，引起不同的变形形式 轴力 FN ——沿X轴的分量，引起轴向拉伸（压缩）变形。
扭矩 MT ——绕X轴的力矩分量，引起绕X轴的扭转变形。
剪力 FSY 、FSZ —— 沿Y 、Z轴的截面内力分量，分别引起 Y 、Z方向的剪切变形。 弯矩 MZ 、 MY —— 绕Z、Y轴的力矩分量，分别引起XY、XZ 平面的弯曲变形。
q
C B a D
a
2a
13 qa 6
FS
5 qa 6
qa
85 2 qa 72
M
5 2 qa 6
7 qa 6
qa
qa 2
85 2 qa 72
1 2 qa 1 2 qa 2 2
已知剪力图求载荷图及M图 （设：无集中力偶作用）
Fs
2KN
A
1m
C
D
1m 2m
B
2KN
2KN
1 KN
m
载荷图
2KN 2KN
FN
dx
FN
FN
dx
FN
（+）
（- ）
2）剪力 FQ：取微杆段dx
FS
dx
FS
FS
dx
FS
（+）
（பைடு நூலகம்）
3）扭矩 MT
MT
dx
MT
MT
dx
MT
（+） 右手螺旋定则
（-）
4）弯矩 M
M
dx
M
M
dx
M
（+）
（-）
杆件的内力方程与内力图
将杆的内力以截面位置的函数形式表示称为内力方程 若以杆件轴线为横坐标，内力大小为纵坐标表示内力沿轴线 的分布，称为内力图。
M
max
FS Pcos FN Psin
M PR 2
FN P 2
FS
FN
max
max
FS 0 FS P
内力图
PR
-
R
M图
P
M PRsin （ ）
弯矩图
M
2 KN
2 KN
求:作图示杆件的剪力图和弯矩图
m0 qa2
A
P qa
C
q
a
a
D
a
B
RA
RB
约束力:
RA 5 4 3 4 qa() qa()
P qa
C
A
m0 qa2
q
a
qa 4
a
D
a
B
RB
RA
FS图
qa
RB
x 3a 4
3qa 4
极值条件:FS=0
M图
qa 4
(4m x 2m)
做图示杆件的内力图
FA=10kN 2m
FA=10kN FN 20kN 2m 5kN/m 2m
x
FN 10kN
20kN FN
(0 x 2m)
FA=10kN
FN 10 kN
FN
(2m x 4m)
FA=10kN
20kN
5kN/m
FN 20 10 5( x 4) 0
x
FS图
M图
M
FS
M FS
FS图
M图
M FS
M
FS
FS图
M图
分布集度q（x）、剪力Q（x）与弯矩M（x）之间的微分关系
做梁AD的 FS、M 图
q 3kN / m
A
2m
m0 3kN m
B
4m
C
2m
D
q 3kN / m
A
2m
m0 3kN m
R
平面曲杆的横截面上同时存在轴力、剪力和弯矩
P
把外载荷向以圆周角 表示的截面上简化，写出内力方程
FN FN
FS FS
M M
求：曲杆内力绝对值最大及其位置
R P
解：定义横截面方位角（圆周角） FS P R M FN P
将外载P向横截面上简化，得
M PRsin （ ）
M
max
M PR 2
弯矩符号规定：使曲率增加为正；反之为负。
P FS图
R
P
P
FS Pcos
FS
max
FS 0 FS P
P
R
P
FN 图
FN Psin
FN
max
FN P 2