幅值裕量和相位裕量

一般来说，)(ωj G 的轨迹越接近与包围-1+j001j +-点，系统响应的震荡性越大。因此，)(ωj G 的轨迹对01j +-点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。

Re

Positive Phase Margin

Negative Gain Margin

Negative Stable System

Unstable System

(ωj G

64

ω

Log ω

Log ω

Log ω

Log ︒-90︒

-270︒-180Positive Gain Margin

Positive Phase Margin Negative Gain Margin

Negative Phase Margin Stable System

Unstable System

dB ︒

-90︒

-270︒-1800

dB

图1 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度

相位裕度、相角裕度(Phase Margin)γ

设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为c ω

1)()()(==c c c j H j G j A ωωω

定义相角裕度为

)()(180c c j H j G ωωγ+︒=

相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后γ度，则系统将变为临界稳定。

当0>γ 时，相位裕量相位裕度为正值；当0<γ时，相位裕度为负值。为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分

贝和-180度。︒-180

增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h 设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency)

πωωωϕ)12()()()(+==

k j H j G x x x ，Λ,1,0±=k

定义幅值裕度为

)

()(1

x x j H j G h ωω=

幅值裕度h 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h 倍，则系统将变为临界稳定状态。 若以分贝表示，则有

)()(log 20)(x x j H j G dB h ωω-=

当增益裕度以分贝表示时，如果1>h ，则0)(>dB h 增益裕度为正值；如果1

对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当较少多少。

一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。

关于相位裕度和增益裕度的几点说明

控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。

只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。

对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕度应当在︒︒6030与之间，增益裕度应当大于6分贝。 例1已知一单位反馈系统的开环传递函数为)

05.01)(2.01()(s s s K

s G ++=

。

试求：①K=1时系统的相位裕度和增益裕度。②要求通过增益K 的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB ，相位裕度︒≥40γ。 解：① ︒-==180)()()(x x x j H j G ωωωϕ 1)()(=c c j H j G ωω

︒-=--︒-=18005.02.090)(x x x arctg arctg ωωωϕ

即︒=+9005.02.0x x arctg arctg ωω 2

12

1211)(θθθθθθtg tg tg tg tg μ±=

±

∞=⨯-+x

x x

x ωωωω05.02.0105.02.0 →005.02.01=⨯-x x ωω →10=x ω

在x ω处的开环对数幅值为

)

()(log 20)(x x j H j G dB h ωω-=)

05.01)(2.01(1

log

20x x x ωωωj j j ++-=22)1005.0(1log 20)102.0(1log 2010log 20⨯++⨯++=

dB 281720=++=

根据K=1时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency)为c ω

1)()(=c c j H j G ωω )

05.01)(2.01(1

)(c c c c ωωωωj j j j G ++=

1)

0025.01)(04.01(1

2

2c

=++=

c c ωωω 1c =ω

︒-=--︒-=10405.02.090)(c c c arctg arctg ωωωϕ

︒=︒-︒=+︒=76104180)(180c ωϕγ

② 由题意知10=h 1.0)(=x j G ω

1.0)

0025.01)(04.01(22x

=++x x K

ωωω 5.225.0141101.0=++⨯=K