同济第七版高等数学总复习.
同济第七版高等数学总复习.
(a x )i (a y ) j (az )k
14
2 2 2 | a | a a a 向量模长的坐标表示式 x y z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
ax a x a y az
2 2 2
cos
ay a x a y az
2 2 2
(1) m ( 2) m
; 0 i不是特征方程的根时 k . 1 i是特征方程的单根时
12
第八章 空间解析几何与向量代数
（一）向量代数
1、向量的坐标表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k
(Q( x ) x k Qm ) 11
( 2)
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
x
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
r pr q 0
通解的表达式
2
特征方程为
特征根的情况
实根 r 1 实根 r
1
r2 r2
复根 r
1, 2
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2 2
2
16
2、数量积 (点积、内积)
a b | a || b | cos
《高等数学》（同济第七版）上册知识点归纳总结
《⾼等数学》（同济第七版）上册知识点归纳总结⾼等数学(同济第七版)上册-知识点总结第⼀章函数与极限⼀. 函数的概念1.两个⽆穷⼩的⽐较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是⽐g(x)⾼阶的⽆穷⼩，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是⽐f(x)低阶的⽆穷⼩。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶⽆穷⼩。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价⽆穷⼩，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价⽆穷⼩当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α⼆．求极限的⽅法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限⼀定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．⽤⽆穷⼩重要性质和等价⽆穷⼩代换 4．⽤泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价⽆穷⼩更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满⾜下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某⼀去⼼邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为⽆穷⼤），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为⽆穷⼤时，)()(lim 0x F x f x x →也是⽆穷⼤．这种在⼀定条件下通过分⼦分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的⽅法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满⾜下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某⼀去⼼邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为⽆穷⼤），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适⽤．使⽤洛必达法则时必须注意以下⼏点：（1）洛必达法则只能适⽤于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运⽤该法则； )(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应⽤洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利⽤导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =?-?+→?(如果存在）7.利⽤定积分定义求极限基本格式?∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第⼀类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
同济七高数上总复习
x
x
1
9.
lim
x0
1 x
1 ex
1
=
___2___
.
型
1
10.lim
x0
ex
e2x 3
e3x
x
=
___e_2__
第22页/共35页
.
1 型
11.
ex lim
sin x 1 = ___1___ . 等价无穷小代换的条件
x0 1 1 x2
sin x 12. lim(
x x
0 0 型 • 用其中一个因子作分母，转化为 0 型或 型
0
1
1 型 • 重要极限II：lim(1 x) x e x0
1型、0型、00型 • 恒等变形u( x)v( x) e , v( x)lnu( x) 指数部分转化为0 型
第7页/共35页
例5. 计算下列极限
(1)
lim
x
x
x2
ln
例10.设y
1
x
x
x
,
求
dy dx
.
x 1 x
x
[ln
x x1
1] x1
第11页/共35页
4. 高阶导数的计算： • 直接计算 • 恒等变形为已知高阶导数公式的函数或其和、差 • 莱布尼兹公式（注意适用范围）
例11.设f ( x) x2e x ,求f (50)(0) __2_4_5_0_ . 例12.设f ( x) xe x ,求f (n)( x) _(__1_)n_(_x. n)e x
x0 sin x ln(1 x)
1
3. lim x0
1+x 1+sinx (e x 1)x sin x
新版高等数学(同济第七版)上册-知识点总结-新版-精选.pdf
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim x g x f 且lx g x f )()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1-cos x ~ 2/2^x ，xe -1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x ~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤h (x )若A x h A x g )(lim ,)(lim ，则Ax f )(lim 2．两个重要公式公式11sin limx x x公式2ex xx /10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332n n nnnxxo n xx x xxx o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242nnnx o n xxxx )()1(...32)1ln(132nnn x o n xxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnx o xn n xx x )(12)1( (5)3arctan 1212153n n n xo n xxxxx 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0x f x x，0)(lim 0x F x x；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(limx F x f xx 存在时，)()(limx F x f xx 也存在且等于)()(limx F x f xx ；当)()(limx F x f x x为无穷大时，)()(limx F x f xx 也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L ospital ）法则.型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）)(lim 0x f xx ，)(lim 0x F xx ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x时未定式型的洛必达法则，对于x 时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；)()(lim)()(limx F x f x F x f x xx x)()(lim)()(lim 0x F x f x F x f x xxx（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'00x f xx f x x f x (如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式11)()(1limdx x f n kf nnk n（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x)的间断点。
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(1-2章)【圣才出品】
8 / 159
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
注：这里三个 lim 都表示在同一自变量变化过程中的极限。
4．有关 sinx，x，tanx 的不等式 sinx＜x＜tanx，∀x∈（－π/2，0）或（0，π/2）
七、无穷小的比较 1．相关无穷小的定义（见表 1-2）
lim
x
f
x
kx
4 / 159
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
特别地，当 k＝0 时，曲线有水平渐近线 y＝b。
②垂直渐近线
若
lim
x x0
f
x
（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为 x＝x0。
3．无穷大与无穷小之间的关系 在自变量的同一变化过程中，如果 f（x）为无穷大，则 1/f（x）为无穷小；反之，如 果 f（x）为无穷小，且 f（x）≠0，则 1/f（x）为无穷大。
（1）唯一性
如果
lim
x x0
f
x 存在，则这极限唯一。
（2）局部有界性
如果
lim
x x0
f
x
A ，则存在常数 M＞0 和δ＞0，使得当 0＜|x－x0|＜δ时，有|f（x）|
≤M。
（3）局部保号性
3 / 159
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
表 1-2 相关无穷小的定义
2．定理
～
～
～～
～～
设α～α，β～β且 lim（β/α）存在，则 lim（β/α）＝lim（β/α）。
3．常用的等价无穷小 sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，1－cosx～x2/2（x→0），ln（1＋x）～x（x→0），ex －1～x（x→0），（1＋x）α－1～αx（x→0）
高等数学同济第七版知识点总结
高等数学同济第七版知识点总结
高等数学（第七版）是同济大学数学系编写的教材。
本书在高等数学知识点总结上，包含了微积分、多元函数、级数、常微分方程等内容。
下面是对这些知识点的总结：
1. 微积分
微积分是高等数学的重要内容，包括了导数和积分两个方面。
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的斜率。
通过导数，可以求解函数的最值、判定函数的单调性和凸凹性等。
积分是导数的逆运算，是求解曲线的面积、体积和弧长等的工具。
通过积分，可以计算函数的定积分和不定积分。
2. 多元函数与偏导数
多元函数是多个自变量的函数，例如二元函数和三元函数。
偏导数是多元函数的导数，表示函数在某个自变量上的变化率。
通过偏导数，可以求解多元函数的最值、判断函数的单调性和凸凹性等。
3. 重积分
重积分是对多元函数进行积分的运算。
根据积分区域的不同，重积分可以分为二重积分和三重积分。
通过重积分，可以计算函数在区域上的平均值、质量和质心等属性。
4. 微分方程与常微分方程
微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程是只包含一元函数及其导数的微分方程。
通过解常微分方程，可以得到函数的解析解或者数值解。
5. 级数
级数是数列的和的极限。
常见的级数有等比级数和等差级数。
级数之间的收敛性与发散性是级数研究的核心内容。
根据级数的性质，可以使用比值判别法、根值判别法和积分判别法等方法判断级数的收敛性。
总结这些知识点需要参考《高等数学（第七版）》这本教材的相关章节和习题，因此无法提供具体的参考内容。
高等数学(同济第七版)(上册)-知识点
WORD 格式可编辑版
...
第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
∈[ a,b] ，有公式
，
, 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当 x0 =0 时，也称为n阶麦克劳林
WORD 格式可编辑版
...
公式。 常用公式( 前8个)
WORD 格式可编辑版
...
五．导数的应用
一．基本知识 设函数f ( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f ( x) 的一个极值点，则 f '(x0) 0 。 我们称x 满足 f '(x0) 0 的 x0 称为 f (x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
二．求导公式
三．常见求导
WORD 格式可编辑版
...
1. 复合函数运算法则 2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =( t) ，y =(t) 确定函数y = y( x) ，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则 设y = f ( x) 的反函数x = g( y) ，两者皆可导，且f ′( x) ≠ 0 则 g'( y) 1 1 ( f '(x) 0)
2. 第二充分条件
f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0) 0 ，f (x0 ) 0 ，则①若 f (x0 ) 0 ， 则 x0 为极大值点；②若 f (x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点.
高等数学第七版上册总复习PPT
令u tan x 2
2u sinx1u2
x2arcutan
cosx11uu22 dx12u2 du
R(sin
x,cos
x)dx
R
1
2u u2
,1 1
u2 u2
1
2 u2
du
42
3 简单无理函数的积分
讨论类型： R(x,nax b) R(x,n axb) cxe
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
17
18
19
20
第二章 导数与微分
21
22
23
24
25
26
27
第三章 中值定理和导数的应用
28
29
30
31
32
33
34
35
36
第四章 不定积分
37
38
39
40
四 有理函数与可化为有理函数的积分
1有理函数的积分
P( Q(
第一章 函数与极限
1
一函数
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
2
二数列极限
3
4
5
三函数极限
6
7
8பைடு நூலகம்
9
10
11
12
13
14
三连续与间断
15
16
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
同济第七版高等数学总复习PPT文档121页
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
同济第七版高等数学总复习
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高等数学(第七版·下册) 同济大学知识点
高等数学（第七版·下册）同济大学知识点一、多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，研究的是多元函数的导数、微分以及应用。
在本章中主要介绍了以下几个知识点：1. 偏导数与全微分•偏导数：多元函数的偏导数是指函数在某一点上某个自变量的变化率。
•全微分：多元函数的全微分是在某一点上，函数值关于自变量的微小变化量。
2. 高阶偏导数与多元函数的泰勒展开式•高阶偏导数：多元函数的高阶偏导数是指对多个自变量进行重复求导的结果。
•多元函数的泰勒展开式：用多项式逐次逼近函数的方法，可以近似表示函数在某一点附近的取值。
3. 隐函数与参数方程的求导•隐函数求导：对于由方程定义的函数，可以通过偏导数求导的方法来求解其导数。
•参数方程求导：对于由参数方程定义的函数，可以通过链式法则将参数的导数转化为函数关于参数的导数。
4. 方向导数与梯度•方向导数：多元函数在某一点沿着给定方向的变化率。
•梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数值增加最快的方向，模表示变化率最大的值。
5. 多元函数的极值与条件极值•多元函数的极值：函数取得的最大值或最小值。
•条件极值：在满足一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
6. 格林公式与高斯公式•格林公式：二维平面上的曲线积分与这个曲线所围成的区域上的面积分之间的关系。
•高斯公式：三维空间中，某个闭合曲面上的散度与这个曲面所围成的空间区域内的体积分之间的关系。
二、多元函数积分学多元函数积分学是研究多元函数的积分以及应用的学科。
本章介绍了以下几个知识点：1. 二重积分•二重积分的概念：二重积分是将二元函数沿着某一平面区域上的小面积元素进行累加得到的量。
•二重积分的性质：二重积分具有线性性、可加性、保号性等性质。
2. 二重积分的计算方法•基本的计算方法：可以通过把二重积分化为累次积分的形式进行计算。
•坐标变换法：通过变换坐标系，使得被积函数的形式更简单，从而更容易计算。
高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结
...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。
高数A(下)总复习(同济七版)
《高等数学A》(第二学期)期末总复习一、微分方程(一)一阶微分方程：形如(,,)0F x y y ，(,)y f x y 或(.)(,)0M x y dx N x y dy初值问题：00(,),x x y f x y yy 注：一阶方程的通解必须且只能含有一个任意常数1． 可分离变量方程：()()f x dx g y dy ，两边同时积分可得通解 2．齐次方程：dy y dx x，令y u x ，y xu ，dy du u x dx dx ()du dx u u x ，可分离变量形式 3．一阶线性微分方程： 形如()()dyP x y Q x dx，()0Q x ：齐次；()0Q x ：非齐次. (1)齐次：()0()||()dy dy P x y P x dx ln y P x dx lnC dx y通解：()P x dxy Ce(2)非齐次①常数变易法：先求相应齐次形式的通解，令其任意常数为变量，再代入原方程以确定该变量②公式解：()()()P x dxP x dx y e Q x e dx C(二)可降阶的高阶微分方程(1)()()n y f x 型：连续积分；(2)(,)y f x y 型(不显含y 的方程)：设y p ，则(,)y p p f x p (3)(,)y f y y 型(不显含x 的方程)：设y p ，则dp y p dy (,)dyp f y p dy(三)二阶线性微分方程的解的结构 1．齐次：()()0y P x y Q x y ，通解：1122()()y C y x C y x ，其中12(),()y x y x 为该方程两个线性无关的特解． 2．非齐次：()()()y P x y Q x y f x通解：()*()y Y x y x ，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解．3．设**12(),()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x 与2()()()y P x y Q x y f x 的特解， 则***12()()y y x y x 为12()()()()y P x y Q x y f x f x ＋的特解．(四)二阶常系数线性微分方程1.齐次：0y py qy ，其中,p q 都为常数(1)特征方程20r pr q 特征根12,?r r(2)通解：12112121212121,2()(cos sin )r x r x r x x C e C e r r y C C x e r r e C x C x r i2.非齐次：()y py qy f x ，其中,p q 都为常数(1)先求出对应的齐次方程0y py qy 的通解：()Y Y x ； (2)后求原非齐次方程的特解：A、()()x m f x e P x 型：令*()k x m y x e Q x ，其中k 是特征方程的根 的重数B、()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x 型：令*[()cos ()sin ]k x m m y x e Q x x R x x ，其中max{,}m l n ，k 是特征根i 的重数.注意事项1) 积分法主要方程类型：可分离变量方程(分离变量后直接积分)、齐次方程(令u y x )、一阶线性方程(公式法)、伯努利方程1()n zy 、可降阶方程(不显含x ：,p y p y 与不显含y ：,p y y p dp dy ) 2) 碰到一个方程都是从可分离变量方程开始判断形式，认清形式最关键3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解利用解的结构结论：非齐次通解(两线性无关特解的线性组合)=齐次通解+非齐次解；求解步骤为：齐次方程 特征方程 特征根 齐次通解；设非齐次特解形式 代入原方程 求得非齐次特解 非齐次通解二、向量代数与空间解析几何(一)向量代数1.点(,,)M x y z 向量(,,)OM x y z xi yj zk；2.点111222(,,),(,,)A x y z B x y z 向量212121(,,)AB x x y y z z； 3.向量运算及其坐标形式：设(,,),(,,)x y z x y z a a a a b b b b，则(,,)x x y y z z a b a b a b a b；(,,)x y z a a a a （ 为数）；||||cos(,)x x y y z z a b a b a b a b a b a b ；x y z x y zi j ka b a a a b b b ，(||||||sin(,),,)a b a b a b a b b a b a ；以向量a 和b为邻边的平行四边形面积公式：||S a b//y x z x y z b b b a b a a a（对应坐标成比例，一向量某个坐标为零，另一向量相应坐标亦为零）； 0a b a b ；//0a b a b ； cos(,)||||a b a b a b ； ||cos(,)a b b a b Prj . (二)曲面、空间曲线及其方程1.曲面及其方程:(,,)0F x y z ，旋转曲面【绕谁不换谁， 正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】；要熟悉常见的二次曲面及其方程并会作图(重点：球面，圆柱面，锥面，抛物面)2.空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程(只有一个参数)；3.曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投xOy 便两两联立消去z ，其余类推. (三)平面方程与直线方程 1.平面方程(1)一般方程：0Ax By Cz D ，其中(,,)n A B C为其一法向量．(2)点法式方程：法向量(,,)n A B C，点000(,,)M x y z ，则000()()()0A x x B y y C z z ．(3)截距式方程：1x y za b c，主要用于画图. (4)平面束方程：过直线111122220A xB yC zD A x B y C z D 的平面束方程为：11112222()()0A x B y C z D A x B y C z D ：过该直线的除第2个平面外的所有平面.2.直线方程(1)点向式方程：方向向量(,,)s m n p，点0000(,,)M x y z L ，则000x x y y z z m n p； (2)参数式方程：000x x mty y nt z z pt（注：主要用于求交点坐标）；(3)一般式方程：1111222200A x B y C z D A x B y C z D3.面面、线线、线面关系：确定了相应的方向向量或法向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角4.距离：点0000(,,)M x y z 到平面0Ax By Cz D 的距离：d主要题型（1）向量数量积的运算或求夹角；(2)计算三角形面积（3）求解直线方程和平面方程.注意事项1) 本章的向量是自由向量，与起点无关，可任意平移2) 空间直角坐标系利用右手准则建立，xyz 要满足这样的循环关系x y z x 3) 数量积是个数量，向量积是个向量，重点掌握它们的坐标形式4) 数量积可用于求向量夹角(介于0到 之间)，向量积可用于确定方向及计算三角形或平行四边形面积 5) 一个方程(一个等号)是一个面，两个方程(两个等号)是条曲线 6) 平面主要抓住法向量，直线主要抓住方向向量三、多元函数的微分学及其应用(一)极限与连续二重极限常用求法：夹逼准则、等价无穷小、有理化，不可用洛必达法则；注：特殊方向法只能证极限不存在 连续性①一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的；②有界闭区域上的连续函数必有最值. (二)偏导数1.显函数：(,)z f x y a．定义：0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x，00(,)y f x y 定义类似；要掌握定义法求偏导b．求导法则：对x 求偏导，暂时视y 为常量；对y 求偏导，暂时视x 为常量c．高阶偏导数：22(,)xx z z f x y x x x ；2(,)xy z z f x y x y y x定理：二阶混合偏导在其连续时相同.d．复合函数的求导法则（链式法则）：若(,)z f u v 具有连续偏导数，而(,)u g x y 与(,)v h x y 都具有偏导数，则复合函数[(,),(,)]z f g x y h x y 的偏导数为：12u x v x x x z z u z vf u f v fg fh x u x v x ，12u y v y y yz z u z v f u f v f g f h y u y v y注①解题时，要注意偏导数以及导数的写法，并按顺序遍历每一个中间变量；②111,,f f f 等都具有相同的中间变量.2.隐函数（要诀：方程两边同时对自变量求导；一个方程确定一个因变量，剩下的全为自变量）(1)一个方程的情形：二元方程可确定一个一元隐函数：(,)0F x y :x ydy F dx F 公式法 三元方程可确定一个二元隐函数：(,)(,)0,z z x y y x z zF z F zF x y z x F y F 公式法：，(2)方程组的情形：三元方程组确定两个一元隐函数：()()(,,)0,(,,)0y y x z z x x F x y z dy dz G x y z dx dx对求导四元方程组可确定两个二元隐函数：(,)(,)(,,,)0(,,,)0u u x y v v x y F x y u v G x y u v对x (或y )求偏导得,u vx x（或,u v y y ） (三)全微分：可微函数(,)z f x y 的全微分为：z zdz dx dy x y. 定义为：0000[(,)(,)]()z f x x y y f x y A x B y o，其中全微分存在之证明：计算 z A x B y ，证明是否趋近于0，其中,A B 为该点处的两个偏导数. (四)几何应用（重点把握切向量和法向量） 1． 曲线的切线与法平面a、 若曲线 的参数方程为：()()()x x t y y t z z t，点0000(,,)M x y z t t ，则切向量为000((),(),())T x t y t z t ，切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t；法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z b、 若曲线 的方程为：()()y f x z g x ，点000(,,)M x y z ，则切向量为00(1,(),())T y x z xc、 若曲线 的方程为一般方程：(,,)0(,,)0F x y z G x y z，点000(,,)M x y z ，则切向量为00(1,(),())T y x z x （利用隐函数求导法，方程两边对x 求导，解方程组可得,dy dzdx dx）．(注：该法若无解，需改换其它自变量求导) 【另解：利用三阶行列式计算 x y z x y zij k T F F F G G G】2． 曲面的切平面与法线a、 若曲面 的方程为(,,)0F x y z ，点000(,,)M x y z ，则法向量为：((),(),())x y z n F M F M F M，切平面方程为：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z ； 法线方程为：000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y zb、 若曲面 的方程为(,)z f x y ，点000(,,)M x y z ，则法向量为：0000((,),(,),1)x y n f x y f x y，切平面方程为：0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z ； 法线方程为：0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y(五)方向导数与梯度 （以二元函数为例）(1)方向导数：设(,)z f x y 可微分，(cos ,cos )l e，则000000(,)(,)cos (,)cos x y x y f f x y f x y l(2)梯度：(,)((,),(,))x y f x y f x y f x y grad ，沿梯度方向，方向导数取得最大值，该值即为梯度的模.(六)极值 (1)无条件极值：设(,)z f x y ，由(,)0(,)0x y f x y f x y解得驻点00(,)x y ，令000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ，然后利用,,A B C 判定驻点是否极值：20AC B 有极值，0A 极小，0A 极大；20AC B 无极值；20AC B 用此法无法判定．(2)条件极值：(,)z f x y 在条件(,)0x y 下的极值：构造拉格朗日函数，令(,)(,)(,)L x y f x y x y ，联立方程(,)0(,)0(,)0x y L x y L x y x y，其解00(,)x y 为可能的极值点．是否为真正的极值点，一般可由问题的本身性质来判定．(3)闭区域上最值问题：内部区域令一阶偏导为零得驻点；边界通过代入法或拉格朗日乘数法求可疑点.注意事项1) 二重极限与一元函数极限的本质区别在于前者趋近方向有无数多个，而后者只有左右两个 2) 特殊方向法只能用于证明二重极限不存在，绝对不能用于求二重极限3) 掌握右边的关系图4) 求切线和法平面主要抓住曲线切向量，求切平面和法线主要抓住曲面法向量 5) 沿梯度方向，方向导数取得最大值，最大值为梯度模长四、积分的计算与应用(一)二重积分1.直角坐标：(,)D I f x y dxdy 2121():()()()12():()()()12(,),(,),b y x a x b D a y x y x y y x dx y c y d D cx y x y x x y dx f x y dy dy f x y dx若若注(1)利用可任意平移的穿线来确定积分顺序及积分上下限；要先对x 求积分，则画平行于x 轴的穿线 (2)若积分区域不只一条穿线，则适当分割之；(3)常考题型：交换二次积分的积分顺序．2.极坐标： cos ,sin (cos ,sin )x y d d d DI f d d， 注(1)被积函数或积分区域中含有22xy 的都可以考虑极坐标法(2)积分顺序： ；（3）先确定 的范围，后固定 ，选取从极点出发的穿线来确定 .(注：此处的穿线为一条由极点出发的射线，可绕极点任意旋转) 3.对称性(1)奇偶对称性：若积分区域D 关于x 轴对称， 1(,),0D x y D y ，则①当(,)f x y 是关于y 的奇函数，有(,)0Df x y dxdy ；②当(,)f x y 是关于y 的偶函数，有1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy .(2)轮换对称性：若积分区域D 关于直线y x 对称，则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy .4.应用： 平面面积DA dxdy ；曲顶柱体体积DV d 上顶下底； a注：求立体体积，不一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程.曲面面积xyD A dS（yzD或zxD ）(二)三重积分1.投影法（先一后二法） 1221(,,)|(,)(,),(,)(,)(,)(,,)xy xyx y z z x y z z x y x y Dz x y z x y D I dxdy f x y z dz确定区域：先将立体区域 投影到xOy 平面上，选取平行于z 轴的穿越线确定z 的上下限.2.截面法（先二后一法）(,,)|,(,)(,,)z zx y z c z d x y D dc D I dz f x y z dxdy主要适用于(1)被积函数(,,)f x y z 仅含一种或不含自变量，比如只含z (2)截面应易计算其面积3.柱面坐标 cos ,sin ,x y z zdv d d dzI (cos ,sin ,)f z d d dz； 积分顺序：z ；确定积分上下限同上述投影法，取平行于z 轴的穿线；, 同极坐标.4.球面坐标 2sin cos ,sin sin ,cos sin x r y r z r dv r drd d I2(sin cos ,sin sin ,cos )sin f r r r r drd d积分顺序：r ；(1)将闭区域 投影至xOy 平面，以确定 的范围(2)在半平面c 内确定 的范围(3)固定, ，画一条从原点出发的穿越线，以确定r 的范围.5.对称性(1)奇偶对称性：设积分区域 关于xOy 平面对称①若(,,)f x y z 关于z 为奇函数，则(,,)0f x y z dv；②若(,,)f x y z 关于z 为偶函数， 1(,,),0x y z z ，1(,,)2(,,)f x y z dv f x y z dv.(2)轮换对称性：区域轮换对称即可.(三)曲线积分1.第一类曲线积分（对弧长）a、平面曲线：(,)L f x y ds :(),()L x x t y y t t[(),()]()f x t y tb、空间曲线：(,,)f x y z ds :(),(),()x x t y y t z z t t[(),(),()]()f x t y t z t 2.第二类曲线积分（对坐标），主要考虑平面曲线：(,)(,)L I P x y dx Q x y dyi)参数法：:(),()L x x t y y t ,:t (或t 由 变化到 ){[(),()]()[(),()]()}I P x t y t x t Q x t y t y t dtii）格林(Green)公式：(,)(,)()L D Q PP x y dx Q x y dy dxdy x y；不闭则补之(常取折线)． 注意条件：偏导数处处连续，L 为D 的正向边界曲线．定理：设函数(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内处处具有连续的偏导数，则下列命题相互等价： (1)沿D 内任意闭曲线C ，(,)(,)C P x y dx Q x y dy 0 ；(2)(,)(,)L P x y dx Q x y dy 在D 内与路径无关；(3)(,)(,)P x y dx Q x y dy 在D 内为某函数(,)u x y 的全微分，即存在函数(,)u x y ，使得du Pdx Qdy ； (4)在D 内恒有：P Qy x. 这里(,)u x y 可由下列两种方法求得：①线积分法：00(,)(,)(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y dy C ；选取特殊路径，一般是折线路径. ②偏积分法：由du Pdx Qdy ，得(,)uP x y x； 两边对x 求偏积分可得(,)(,)(,)()u x y P x y dx f x y C y两边对y 求偏导可得(,)()y u f x y C y y ，再由(,)uQ x y y，可解得()C y ，从而得(,)u x y ． (四)曲面积分1.第一类曲面积分（对面积）设:(,)z z x y ，(,)xy x y D，则(,,)[,,(,)]xyD I f x y z dS f x y z x y2.第二类曲面积分（对坐标）：(,,)(,,)(,,)I P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy(1)高斯(Gauss)公式：(P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z若不闭则补之，一般补平面．注意条件：偏导数处处连续及方向性： 为 的整个边界曲面的外侧． (2)投影法：注意垂直性， 垂直于被投影面,则积分为零．若不垂直，则(,,):(,)[(,),,]yzD P x y z dydz x x y z P x y z y z dydz【前正后负】(,,):(,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx y y z x Q x y z x z dzdx【右正左负】(,,):(,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy z z x y R x y z x y dxdy【上正下负】(2)化为第一类曲面积分：(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS注意事项1) 线和面积分的第一类的与方向无关，第二类的与方向有关2) 曲线与曲面积分可以将曲线或曲面方程代入被积函数，重积分一定不能代入3) 非封闭曲线上的第二类曲线积分的计算常用格林公式：先补辅助线，注意曲线方向与已知曲线一致；一般补折线4) 非封闭曲面上的第二类曲面积分的计算常用高斯公式：先补辅助面，辅助面的设定要有三个元素，分别是方程、侧和范围(即投影区域)；注意侧要保证一致对外或一致对内 5) 积分的实际意义1. 定积分：曲边梯形的面积、旋转体的体积、曲线长度、直线质量、恒力沿直线作功2. 二重积分：曲顶柱体的体积、平面质量3. 三重积分：立体质量4.第一类曲线积分：曲线质量5. 第二类曲线积分：变力沿曲线作功6. 第一类曲面积分：曲面质量7.第二类曲面积分：变速度流体流过曲面的流量五、级数(一)常数项级数及其收敛性1.定义：1n n u收敛（发散） lim n n s 存在（不存在）【部分和12n n s u u u 】2.基本性质：(1)1(0)n n ku k 与1n n u具有相同的敛散性；(2)1n n u 与1n n v 都收敛 1()n n n u v收敛；(3)改变有限项的值不影响级数的敛散性； (4)收敛的级数可以任意加括号； (5)若1n n u收敛，则lim 0n n u ；反之未必； (6)若lim 0n n u，则1n n u发散.3.特殊级数的收敛性【必须牢记之】：①调和级数11n n发散； 1111n n n 条件收敛；②p 级数11p n n ：当1p 时收敛，当1p 时发散； 1111n pn n：1p 时绝对收敛，当1p 时条件收敛. ③等比级数（几何级数）0n n aq，当||1q 时发散，当||1q 时收敛，且0(||1)1n n aaq q q． 4.正项级数审敛法：1n n u，其中0(1,2,)n u nI、1n n u收敛 部分和n s 有界；II、比较审敛法：(1)()n n u v n N ，若1n n v 收敛，则1n n u收敛；(2)极限形式：lim(0)nn nu l l v ，1n n u 和1n n v 具有相同的敛散性； 若0l ，则1n n v收敛，1n n u也收敛；若l ， 1n n v发散，1n n u也发散. 【可利用无穷小的比较记忆】III、比值(根值)审敛法：1lim)n n n nu u ，当1 时收敛；当1() 时发散；而当1时用此法不能判定其收敛性，转而用II 或I．5.交错级数 1(1)(0,1,2,)n n n n u u n：一般项绝对值{}n u 单调递减趋于零．6.任意项级数 1n n u（n u 为任意常数）：综合以上各方法来判断发散或收敛（绝对收敛，条件收敛）(二)幂级数 0()nn n n n u x a x或00()n n n a x x1.收敛半径： (1)若0n a 【不缺项】：1lim (lim n n n n a a ，,01,00,R (2)若缺项：如200()n n n n n u x a x ，由1()lim1()n n n u x u x ，解得收敛区间． 2.收敛域：先求收敛半径R ，可得收敛区间(,)R R ，再讨论端点x R 处的收敛性可得所求的收敛域3.幂级数和函数的求法：先求收敛域，再利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和函数． 注：主要参照等比级数4.函数展开成幂级数 00()()n n n f x a x x()x I1）直接展开法：【利用泰勒展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后记得判定余项趋于零，便可得到所求的展开式．2）间接展开法：利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式．注：了解以下6个常用的展开式（重点是前两个）： ①01(||1)1n n x x x 、01(1)(||1)1n n n x x x ; ②0(||)!n x n x e x n ③210sin (1)(||)(21)!n n n x x x n ; ④20cos (1)(||)(2)!nn n x x x n⑤10ln(1)(1)(11)1n nn x x x n ⑥1222(1)(1)(1)(1)112!!m n n n m m m m m m m m n x C x C x C x mx x x n (三)傅里叶级数：只列举2T 情形，一般周期2T l 类似．1.傅里叶级数展开式：01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx 2.傅里叶系数： 1()cos (0,1,2,)n a f x nxdx n ，1()sin (1,2,)n b f x nxdx n(1)当()f x 为奇函数时，00(0,1,22()(1,2,3)n n a n b f x sinnxdx n) 此时级数变为1n n b sinnx ，称为正弦级数 (2)当()f x 为偶函数时，02()(0,1,20(1,2,3)n n a f x cosnxdx n b n ) 此时级数变为01cos 2n n a a nx ，称为余弦级数 3、收敛性条件：在一个周期内(1)处处连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点．4、和(函数)： 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ()()()()()2f x x f x f x f x x f x 为的连续点为的间断点 5.函数展开成傅里叶级数的题型(1)若()f x 为2T 的周期函数，则对()f x 验证收敛定理的条件，求出()f x 的间断点，利用收敛定理，写出()f x 的傅里叶级数的收敛性，再求出傅里叶系数，最后写出所求的傅里叶级数展开式．注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅里叶级数的收敛性．(2)若()f x 只在[,] 上有定义，则必须对()f x 进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数()F x 的傅里叶级数展开式限制在[,] 上讨论．(3)若()f x 只在[0,] 上有定义，对()f x 进行奇(偶)周期延拓，可得正弦（余弦）级数．。
高数下册期末总复习第七版
切线方程为 x − x0 = y − y0 = z − z0 ； x′(t0 ) y′(t0 ) z′(t0 )
法平面方程为 x′(t0 ) ⋅ (x − x0 ) + y′(t0 ) ⋅ ( y − y0 ) + z′(t0 ) ⋅ (z − z0 ) = 0
第5页共5页
5
b、
若曲线
Γ
的方程为：
三元方程组确定两个一元隐函数：
⎧ F ( x, ⎨⎩G ( x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
⎨ ⎩
z=
z
(
x
)
⇒
对x求导
dy dx
,
dz dx
⎧u=u ( x, y )
{ ⇒ 四元方程组可确定两个二元隐函数：
F ( x, y,u,v)=0 G( x, y,u,v)=0
⎨⎩v=v( x, y )
对x (或y )求偏导，视y (或x )为常量,得
G 2）点法式方程：法向量 n = ( A, B,C) ，点 M (x0 , y0 , z0 ) ∈ Π ，则 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 ．
3）截距式方程： x + y + z = 1 abc
4）平面束方程：过直线
⎧ ⎨ ⎩
A1x A2 x
+ +
附录——平面曲线的情形
（1）
若平面曲线 C
:
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x(t) y(t)
，t
=
t0
↔
M0
∈C
，则
JG 切向量T = (x′(t0 ), y′(t0 )) ，
高等数学同济第七版下册笔记
高等数学同济第七版下册笔记
以下是高等数学同济第七版下册的部分笔记：
1. 向量代数与空间解析几何：
复习笔记：包括向量及其线性运算、数量积、向量积、混合积、平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程等。
课后习题详解：对每个章节的习题进行详细的解答，包括向量的线性运算、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积、平面方程、空间直线方程、曲面方程、空间曲线方程等。
2. 多元函数微分法及其应用：
复习笔记：包括多元函数的基本概念、偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式、多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值及其求法等。
课后习题详解：对每个章节的习题进行详细的解答，包括多元函数的偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式等。
3. 重积分：
复习笔记：包括二重积分的概念与性质等。
课后习题详解：对每个章节的习题进行详细的解答，包括二重积分的计算等。
以上是高等数学同济第七版下册的部分笔记，如需获取更多内容，建议查阅相关教辅练习或咨询专业人士。
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理 1：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关
的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
*
定理 2
设 y * 是( 2) 的一个特解, Y 是与(2)对应
r pr q 0
通解的表达式
2
特征方程为
特征根的情况
实根 r 1 实根 r
1
r2 r2
复根 r
1, 2
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
xe
P ( y )dy
[ Q( y )e
P ( y ) dy
dy C ]
4
高阶微分方程
1、可降阶的高阶微分方程的解法
(1)
y( n) f ( x ) 型
接连积分n次，得通解．
( 2)
y f ( x , y ) 型
不显含未知函数y.
令 y P ( x ),
y P ,
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0 特征方程的根
若有 k 重实根 r
若有 k 重共轭 复根 i
通解中的对应项
向量的坐标表示式：
a (ax , a y , az )
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影.
13
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
（bx , by , bz ） a （ax , ay , az ） b
(1) m ( 2) m
; 0 i不是特征方程的根时 k . 1 i是特征方程的单根时
12
第八章 空间解析几何与向量代数
（一）向量代数
1、向量的坐标表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k
《高等数学》（下）总 复习
第七章
一阶微分方程
1
1 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
g( y )dy f ( x )dx
2 齐次方程
分离变量法
令
y u x
dy y 形如 f( ) dx x
du 1 dx f ( u) u x
2
对称情况 x 令 v y
二阶常系数非齐次线性方程
解法
待定系数法.
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
设 y x k e x Qm ( x ) ,
0 不是根 k 1 是单根 2 是重根
,
Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pm ( x )
通解
dx x g( ) dy y
dv dy g v v y
3
3 一阶线性微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) dx
ye
P ( x )dx
[ Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ]
对称情况
dx P ( y ) x Q( y ). dy
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
10
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
a b （ax bx , ay by , az bz ）
a b （ax bx , ay by , az bz ）
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
a （ax , ay , az ）
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
* * 的特解, 那么 y1 y2 就是原方程的特解.
代入即可证得.
解的叠加原理
8
3、二阶常系数齐次线性方程解法
二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0
(Q( x ) x k Qm ) 11
( 2)
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
x
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x )
* * 而 y1 与 y2 分别是方程,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
5
( 3)
y f ( y , y ) 型
不显含自变量x .
令 y P ( x ),dp y P , dy
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
6
2、线性微分方程解的结构
（1 ） 二阶齐次线性方程解的结构: y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)