数学期望性质与应用举例
浅谈数学期望在生活中的应用
浅谈数学期望在生活中的应用浅谈数学期望在生活中的应用一、数学期望的定义引例某射手在一次射击比赛中共发射了10发子弹,其中有一发中7环,有二发中8环,有三发中9环,有4发中10环,求该射手在此次射击比赛中每发子弹击中的平均环数. 解平均环数这里的平均环数并不是这10发子弹击中的4个值的简单平均,而是以取这些值的次数与射击总次数的比值为权重的加权平均.在某种程度上说,这个加权平均可以用来衡量该射手的射击水平.二、数学期望的应用1.数学期望在疾病普查中的应用在一个人数为N的人群中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,如果将每个人的血分别检验,那么共需检验N次,为了能减少工作量,一位统计学家提出一种方法:按k个人一组进行分组,把同组k个人的血样混合检验,如果这混合血样呈阴性反响,就说明此k个人的血都呈阴性反响,此k个人都无此疾病,因而这k个人只需要检验一次就够了,相当于每个人检验1/k次,检验的工作量明显的减少了.如这混合血样呈阳性反响,就说明此k个人中至少有一个人的血呈阳性反响,那么在对这k个人的血样分别进行检验,因而这k个人的血要检验1+k次,相当于每个人检验1+1/k 次,此时增加了检验次数,假设该疾病的发病率为р且得此病相互独立,试问此种方法能否减少平均检验次数? 分析看能否减少平均检验次数,可以求出每个人检验次数的数学期望,根据数学期望大小再判断.解设以k个人为一组时,组内每个人检验次数为x,那么x是一个随机变量,其分布规律为所以每人平均检验次数为 .由此可知,只要选择k使就可减少验血次数,而且也可以通过不同的发病率р计算出最正确分组人数,此外,也得知:发病率越小,分组检验的效益越大.在二战期间,美国对新兵验血就是使用这种方法来减少工作量的.2.数学期望在揭开赌场骗局中的应用在我国南方流行一种称为“捉水鸡〞的押宝,其规那么如下:由庄家摸出一只棋子放在密闭的盒中,这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一.赌客把钱押在一块写有上述12个字(六个红字,六个黑字)的台面的某一个字上,押定后,庄家揭开盒子露出原来的棋子,凡押中者(字和颜色都对)以一比十得奖金,不中者其押金归庄家,此押宝赌博对谁有利? 分析这道题的思想简单,与0-1分布一样.解不妨设一个赌徒押了10元,而收回奖金X元,假设押中,X=100;假设不中,X=0.X的概率分布列为因此数学期望元.由于支付10元,和期望收入8.33元不等.因此这是不公平的赌博,明显对庄家有利,事实上,当赌徒进入赌场,他面临的都是这种不公平的赌博,否那么赌场的巨额开支业主的高额利润从何而来.3.数学期望在通信中的应用设无线电台发出的呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2,信号每隔5秒钟拍发一次,直到收到对方的答复为止.假设发出信号到收到对方答复信号之间至少要经过16秒时间,求在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数.分析明显,此题是考查几何分布数学期望的求法,但是又隐藏陷阱“假设发出信号到收到对方答复信号之间至少要经过16秒时间〞,意味随机变量X最小取值为4.×0.8k-4,k=4,5,... X的期望为因此在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数为8次.这个例题虽是很简单的一个求数学期望的问题,但是“假设发出的信号到收到对方答复信号之间至少要经过16秒时间〞这个条件极易被忽略.上面这几题都是关于离散型随机变量数学期望一些性质应用的例子,接下来的4、5两个例子都是关于连续型随机变量数学期望一些性质,还要注意函数是分段函数. 4.数学期望在交通上的应用地铁列车到达某一站时刻为每个整点的第5分,25分,45分,设某一乘客在早上8点到9点之间随时到站候车,求他的平均候车时间.分析此题主要考查分段函数求期望的方法,必须先求出分段函数的表达式及X的密度函数.解设他到达地铁站的时刻为X,他候车时间为Y,那么由题意知X～U(0,60),那么有又知Y是变量X的函数, 由期望的性质知利用此例题可准确地对乘客的平均等待时间进行了预测,可以更好地指导实际,为人民群众效劳. 5.数学期望在决策中的应用设某种商品每周需求量是区间[10,30]上的均匀分布随机变量,而经销商店进货数量为区间[10,30]中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元,假设供大于求时那么削价处理,每处理一单位商品亏损100元,假设供不应求时,可从外部调剂供给,此时每一单位商品获利300元,为使商品获利润值不少于9280元,试确定最少进货多少?分析此题主要考查分段函数数学期望的求法,但是此处应注意分段函数的求法及均匀分布的密度函数的表达式. 解设进货数量为a,利润为g(X),那么 X的密度函数为得21≤a≤26.故所获利润期望值不少于9280元,最少进货为21单位. 接下来继续看6、7两个应用随机变量的和式分解这个性质解题的例子.这种方法可以解决用期望的定义不能直接求,甚至无法求解的题目,大大降低了求期望的难度,即使随机变量不是同分布也可以运用这一性质. 6.数学期望在电梯运行中的应用一架电梯载有8位乘客,从一楼上升,每位乘客在20层的每一层都可以下电梯,如果没人下,那一层电梯就不停.设每位乘客在各层楼下电梯是等可能的,且各乘客是否下电梯是相互独立的.以X表示电梯停下的次数,求E(X).分析显然X是一个离散型的随机变量,X=1,2,…,20,直接不易求出.不妨转换思想,假设电梯在i层停,那么Xi=1,否那么Xi=0,那么 .现在用数学期望的性质易求出E(X). 解设随机变量那么即xi(i=1,2,...,20)的分布规律为由此可知本例将随机变量分解为多个相互独立的随机变量之和的形式,再利用数学期望的性质.这个处理方法在实际应用中具有普遍意义.如果不用和式分解法几乎无从着手. [。
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。
具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。
数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。
具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。
例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。
2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。
通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。
3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。
例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。
4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。
游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。
5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。
通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。
6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。
通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。
总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
数学期望值-衡量投资得与失的数学应用
数学期望值-衡量投资得与失的数学应用数学期望值定义：在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
下面老黄牛尽量用简单的例子向大家解释：数学期望值 E（X）=Xi乘Pi （i=1，2，3.....）（赢的钱X赢的概率+输的钱X输的概率）下面通过简单4个例子来阐述数学期望值，让大家对它有个更深的了解赌博是期望值的一种常见应用。
举例一、例如，美国的轮盘赌中常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是相等的。
赌注一般押在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以将相当于赌注35倍的奖金和原赌注拿回（总共是原赌注的36倍），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。
因此，考虑到38种所有的可能结果，以1美元赌注押一个数字上获利的期望值为：结果约等于-0.0526美元。
也就是说，平均起来每赌1美元就会输掉5美分，即以1美元作赌注的期望值为0.9474美元。
在赌博中，一场每位参与者获利期望为0（没有净利或净亏）的游戏通常会被叫做“公平竞赛”（如抛硬币，猜正反面）举例二：假设小刘用20万进行投资，有两种投资方案，方案一：是用于购买房子进行投资，方案二：存入银行获取利息。
买房子的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等获利1万元，形势不好要损失2万元。
如果存入银行，假设利率为5.1%，可得利息11000元。
又设经济形势好、中、差的概率分别是40%、40%、20%。
试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大第一种投资方案：购买房子的获利期望是：E(X)=4x0.4+1x0.4+(-2)x0.2=1.6(万元)第二种投资方案：银行的获利期望是：E(X)=1.1(万元)从上面两种投资方案可以得出：购买房子的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买房子的方案。
在这里投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素，做出选择的依据是数学期望值的高低举例三：让我们来做这样一个实验。
数学期望及其性质
随机变量的数字特征
§1 数学期望
§1 数学期望
例 1：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai 分， i = 1,2,L k ，
∑n
i =1
k
i
= N ， 求平均成绩。
解：
k ni 1 k 平均成绩为: ∑ ai ni = ∑ ai N i =1 N i =1 ni 若用 X 表示成绩，则 P{X = ai } ≈ N k k ni ai ⋅ ≈ a i ⋅ P{ X = a i } N i =1 i =1
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例4
设离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7
则 EXห้องสมุดไป่ตู้= 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6
若离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4
n =1 ∞
时，才能保证级数 ∑ x n pn 的和与其级数 ∑ x n pn
n =1 n =1
∞
∞
的求和顺序无关．
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例2
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数；
Y：乙击中的环数；
X P
Y P
8 0.1
8 0 .2
9 0.3
9 0 .5
到站时间 8:10,9:10 概率 1/6 8:30,9:30 8:50,9:50 3/6 2/6
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第十三章 随机变量的数字特征
4.4 数学期望的性质和应用
一、数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C ；4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y )；2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )；3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )；注意：由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X 、Y 独立推广（诸X i 相互独立）推广11[]()n n i i i i E X E X ===∑∑11[]()n n i i i i E X E X ===∏∏例1 性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立X Y p ij-1 0 1-1118181818181818180p • j 383828p i•383828()()0;E X E Y ==()0;E XY =()()()E XY E X E Y =1(1,1)8P X Y =-=-=23(1)(1)8P X P Y ⎛⎫≠=-=-= ⎪⎝⎭5.若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0.推论：若X ≤Y ，则EX ≤EY .证明：设X 为连续型随机变量，密度函数为f (x )，则由X ≥0得：所以证明：∵Y −X ≥ 0，E (Y −X )≥0又∵E (Y −X )=E (Y )−E (X ) E (X ) ≤E (Y ).()0,0f x x =<0()()0EX xf x dx xf x dx +∞+∞-∞==≥⎰⎰例1.(二项分布B(n,p)) 设单次实验成功的概率是p ，问n 次独立重复试验中，成功次数X 的期望？解: 引入1,0,i i X i ⎧⎪=⎨⎪⎩第次试验成功，第次试验不成功。
则X ＝X 1+X 2+⋯+X n 是n 次试验中的成功次数。
因此，这里，X ～B(n,p).1()n i i EX E X ==∑1(1)ni i P X ===∑np=本题是将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.为普查某种疾病，n 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验n 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设：每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例2.二、数学期望的应用解：只需计算方案（2）所需化验次数X 的期望.设：第i 组需化验的次数为X i ，则其分布律为Xi1 k +1 P(1−p )k 1− (1−p )k ()1(1)(1)[1(1)]k k i E X p k p =⨯-++⨯--(1)(1)kk k p =+--解：为简单计，不妨设n 是k 的倍数，共分成j =n /k 组.（2）分组化验.每k 个人为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，此时k 个人的血需化验k+1次.每个人血液化验呈阳性的概率为p .若则E (X ) < n ，即方案2优于方案1方案2：需要化验的总次数为如：n =1000, p =0.001, k =10()(1)(1)k i E X k k p =+--1()()j i i E X E X ==∑12j X X X X =+++[(1)(1)]k n k k p k =+--1[1((1))]k n p k =---1(1)0,k p k-->101()1000[1(0.999)]1101000.10E X =--≈<<例3.据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0.98，因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险，参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a元，应如何定a，才能使公司可期望获益；若有1000人投保，公司期望总获益多少?表示保险公司从第i个投保者身上所得的收益，i=1,2, (1000)解：设Xi则其分布律为：X i100 100−aP0.98 0.02)=100×0.98+(100−a)×0.02= 100−0.02a>0易求得E(XiE (X i )=100−0.02a >0即：当100<a<5000时，公司可期望获益若1000人投保，期望总收益为1000100011()()10000020i ii i E X E X a ====-∑∑例4.市场上对某种产品每年需求量为X 吨，X ~U [2000,4000]，每出售一吨可赚3万元；售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这种商品多少吨，才能使平均利润最大？解：设每年生产y 吨，其利润为Y .则易知，2000<y <4000，且有易知，需求量X 的密度函数为1,20004000()20000,X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它3,()3()1,y y X Y g X X y X y X ≤⎧==⎨--⋅>⎩3,4,y y X X y y X≤⎧=⎨->⎩3,()4,y y X Y g X X y y X ≤⎧==⎨->⎩3,()4,y y x g x x y y x ≤⎧=⎨->⎩()()()X E Y g x f x dx +∞-∞=⎰400020001()2000g xdx =⎰261(214000810)2000y y =-+-⨯4000200011()()20002000y y g x dx g x dx =+⎰⎰4000200011(4)320002000y y x y dx y dx =-+⎰⎰即：当y=3500时，E (Y )最大，最大值为8250万元.解得：y=3500()1(414000)2000dE Y y dy =-+0=令261()(214000810)2000E Y y y =-+-⨯。
随机现象-数学期望
非负性
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
规范性
对于互斥事件，其概率之和等于它们所包含的基本事件数。
可列可加性
概率的性质
条件概率
在给定某个事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
独立性
两个事件之间没有相互影响，一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
条件独立
在给定某个事件发生的条件下，两个事件之间相互独立。
无记忆性
对于任意随机变量$X$，有$E(E(X|Y)) = E(X)$。
期望的期望等于期望本身
期望值的性质和计算方法
05
CHAPTER
期望值与决策制定
1
2
3
期望值是决策制定中的重要工具，它可以帮助我们评估不同行动方案的可能结果，从而选择最优方案。
期望值考虑了所有可能的结果及其发生的概率，通过将每个结果的预期价值与其概率相乘，再求和，得到期望值。
期望值与风险偏好之间的关系有助于我们理解不同人在面对风险时的行为差异。
期望值与风险偏好
效用函数是一种将预期的货币收益转化为一个单一的效用值的方法。效用函数和期望值密切相关，因为它们都考虑了预期结果的价值和发生的概率。
效用函数和期望值之间的差异在于，效用函数通常考虑了个人对风险的偏好，而期望值则不考虑个人偏好。
直接计算法
公式法
矩法
贝叶斯推断
对于连续型随机变量，利用积分公式计算数学期望。
利用随机变量的矩（如一阶矩为均值，二阶矩为方差）来计算其他高阶矩。
利用贝叶斯定理和已知信息推断未知参数的数学期望。
数学期望的计算方法
04
CHAPTER
随机变量的期望值
离散型随机变量的数学期望是指所有可能取值的概率加权和。
数学期望ppt课件
f
x
e
x
x0
( 0,i 1,2,3,4,5 )
0 x0
Xi的分布函数为
F
x
1
e x 0
x0 x0
8
数学期望
1. 令：M=max{X1, X2, X3, X4, X5}, X1, X2, X3, X4, X5是 独立同分布的,于是 利用第三章第五节P99;5.7式
FM
(x)
F5x
(1
FM
(x)
F5x
(1
e x 0
)5
x0 x0
其概率密度函数为：fM ( x)
5
1 ex 0
4 e x
EM
xfM
(
x)dx
x0 x0
0 x 5 1 ex 4 exdx
137 1
160
10
数学期望
2. 令：N=min{X1, X2, X3, X4, X5}, X1, X2, X3, X4, X5是 独立同分布的,于是 利用第三章第五节P99;5.8式
19
数学期望
证明3
则
若EXX,Y是Y 离散 型 随x机i 变yj 量pij,其联合概率函数为Pij,
j1 i1
xi pij
yj pij
j1 i1
j1 i1
xi pi yj pj EX EY
i1
j 1
若X,Y是连续型随机变量,其联合概率密度为f(x,y),
则
EX Y
(x
y) f x, ydxdy
解设
0, 第i站没人下车, X i 1, 第i站有人下车.
i 1,2,,10.
10
则 X X1 X10 , EX EX i ,
[整理版]数学期望在实际生活中的应用
![[整理版]数学期望在实际生活中的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/0482266e1611cc7931b765ce05087632311274fa.png)
摘要在现代快速发展的社会中，数学期望作为一门重要的数学学科，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。
通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，体现出数学期望在实际生活中颇有价值的应用。
通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。
所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。
关键词：数学期望随机变量性质实际应用AbstractIn the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important mathematical subject, it is one of the important digital features of random variables, is also one of the basic characteristics of random variables. Through several examples, in this paper, the mathematical expectation in the practical application of life including economic decision-making, lottery tickets, job, health, sports, etc. In some instances, manifests the mathematical expectation valuable application in real life. Through discuss the application of mathematical expectation in real life to play let everybody understand the knowledge and practice closely linked human rich background, personal experience "mathematics really useful". So-called mathematical expectation is to actually ask for random variables of the probability weighted average of the weight, and mean value in actual application of this concept is our one of the most commonly used indicators, used in the forecast, it is very scientific.Key words: Mathematical Expectation; Stochastic V ariable; quality; Practical Application目录摘要 (1)Abstract (2)第一章绪论 (4)1.1数学期望的起源及定义 (4)1.2数学期望的意义 (5)第二章数学期望前瞻 (5)2.1离散型 (5)2.2连续型 (6)2.3随机变量的数学期望值 (7)2.4单独数据的数学期望的算法 (8)2.5数学期望的基本性质 (8)第三章数学期望在实际中的应用 (9)3.1 经济决策中的应用 (9)3.2 彩票、抽奖问题 (10)3.2.1彩票问题 (10)3.2.2抽奖问题 (11)3.3 求职决策问题 (12)3.4医疗问题 (13)3.5体育比赛问题 (15)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (18)第一章 绪论1.1数学期望的起源及定义早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
简述期望的性质及其应用
简述期望的性质及其应用摘要数学期望是概率论课程中的一个重要概念，是随机变量的重要数字特征之一，数学期望在人们社会实践中有重要并且广泛的应用。
本文首先介绍了数学期望的几个定义和主要性质，然后通过举例说明数学期望在农业、经济、日常生活中以及在其他学科知识上的应用，最后总结了数学期望的应用前景和发展方向。
关键词：数学期望;随机变量;多维随机变量Brief mathematical expectation Properties and ApplicationsAbstractMathematical expectation is an important concept in probability theory course,which is one of the important digital features of random variables, the mathematical expectation in people's social practice used widely and importantly. This article firstly introduces several definitions and main properties of mathematical expectation, then illustrate mathematical expectation in the agricultural, economic and daily life as well as the application knowledge in other disciplines, and finally summarizes the mathematical expectation of application prospects and development direction.Keywords: Mathematical expectation;Random variable；Multiple random variable.目录摘要 (I)Abstract ........................................................... I I 第一章引言 (1)第二章数学期望 (2)2.1 数学期望的定义 (2)2.2 一维随机变量的数学期望性质 (3)2.3 多维随机变量数学期望的性质 (4)第三章数学期望的应用 (7)3.1 数学期望在农业中的应用 (7)3.2 数学期望在经济中的应用 (8)3.3 数学期望在日常生活中的应用 (10)3.4数学期望在其他学科知识的应用 (11)主要参考文献 (13)致谢 (14)简述期望的性质及其应用第一章引言早起的埃及人为了忘记饥饿,经常聚在一起玩一种游戏叫做“猎犬与胡狼”的游戏,实际上就是掷骰子游戏,相对面的数学之和是7的骰子大约产生于公元前1400年的埃及,骰子就是游戏中常用的随机发生器,这类游戏也叫机会性游戏。
随机变量的数学期望例题和知识点总结
随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。
它反映了随机变量取值的平均水平，具有十分广泛的应用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。
一、知识点回顾数学期望，简称期望，记作 E(X)。
对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2, 3,），则数学期望 E(X) ＝Σxᵢpᵢ。
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个定义域）。
数学期望具有以下几个重要性质：1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。
2、设 X 为随机变量，C 为常数，则 E(CX) ＝ CE(X)。
3、设 X、Y 为两个随机变量，则 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)。
二、例题解析例 1：掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X 表示掷出的点数，求 E(X)。
解：骰子的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且每个点数出现的概率均为1/6。
则 E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋ 6×（1/6) ＝ 35例 2：已知离散型随机变量 X 的概率分布如下：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 02 ｜ 05 ｜ 03 ｜求 E(X)。
解：E(X) ＝ 0×02 ＋ 1×05 ＋ 2×03 ＝ 11例 3：设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜1，求 E(X)。
解：E(X) ＝∫0,1 x×2x dx ＝ 2/3例 4：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，求 E(X)。
解：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ)λ^k) ／ k!E(X) ＝Σk×（e^（λ)λ^k) ／ k! （k 从 0 到正无穷）通过计算可得 E(X) ＝λ三、应用场景数学期望在实际生活中有很多应用。
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。
本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。
本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。
关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ：第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1ini ix p x ∑=学期望不存在[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。
推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。
试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。
数学期望在生活中的运用
数学期望的性质及其在实际生活中的应用●数学期望的概念：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一，它反映随机变量平均取值的大小。
●数学期望的定义E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。
在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。
●数学期望的应用：例一、某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元。
设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元。
每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润。
E（X）＝10000×＋5000×＋ 0＝0.5（元）每张彩票平均可赚2－0.5－0.3＝1.2（元），因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为100000×1.2＝120000（元）小结：通过计算期望，我们可以得到单张彩票的平均利润，从而得出总共的创收利润。
例二、某投资者有10万元资金，现有两种投资方案供选择：一是购买股票;二是存人银行。
买股票的收益主要取决于经济形势，假设经济形势分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。
在股市投资10万元，以一年计算，若形势好可获利40 000元;若形势中等可获利10 000元;若形势不好则会损失20 000元。
数学期望性质与应用举例
5.数学期望的基本性质利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质：设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则性质1.E(c)=c；性质2.E(aξ)=aE(ξ)；性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a；性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b；性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)．例3.5.7设随机变量X的概率分布为:P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5.求E(X),E(3X+2)．解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3，E(3X+2)=3E(X)+2=11．例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为:求E(X),E(2X-1)．解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知=-1/6+1/6=0．∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1．我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.4.1.2 数学期望的性质（1）设是常数，则有。
证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。
所以，。
（2）设是随机变量，是常数，则有。
证若是连续型随机变量，且其密度函数为。
当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。
（3）设都是随机变量，则有。
此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。
这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即。
（4）设是相互独立的随机变量，则。
证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。
设的概率密度分别为和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有。
由此得此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。
例4.1.2 倒扣多少分？李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。
随机变量的数学期望
k qk1 p
qk
k 1
k 1
k1
p
1
1
q2
p
1 p2
1. p
这是因为 kxk1 ( x k )
k 1
k 1
x
1
1
1
x
1
.
常见离散型分布的数学期望小结
分布
分布律
01 分布
X~B(1, p)
二项分布
X~B(n, p)
泊松分布
X ~ Pλ
P{ X k} pk (1 p)1k k0,1
对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以由类似于定理3.1得到.
1. 二维离散型情形 设X,Y为二维离散型随机变量, Z f X, Y为 二元函数, 如果EZ存在,
EZ E f X ,Y f ( xi , y j )pij
i1 j1
其中X, Y的联合概率分布为pij .
2. 二维连续型情形 设X,Y为二维连续型随机变量, Z f X, Y为 二元连续函数, 如果EZ存在, 则
(300x 200a)dx
20 10
20 a
EH X
1
(600
x2
a 100ax)
20
2
10
1
(300
x2
30 200ax)
20
2
a
7.5a2 350a 5250.
因此 7.5a2 350a 5250 9280,
解得 20 2 a 26, 即最少进货量为21单. 3
(二) 二维随机变量函数的数学期望
单调连续, x f 1y为其反函数, 并且可导,
同时 y , 则
f
xpX
期望与方差的性质及应用
期望与方差的性质及应用期望与方差是概率论中两个重要的概念，用于描述一个随机变量的特征。
以下是对期望与方差的性质及其在实际应用中的一些例子。
1. 期望的性质期望是随机变量取值的加权平均，表示了变量的中心位置。
其性质如下：- 线性性质：对于两个随机变量X和Y，和常数a，b，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
这个性质是期望的一个重要特点，它使得我们可以将复杂的问题简化为线性组合。
- 常数性质：对于一个常数c，E(c) = c。
这表示常数的期望等于常数本身。
- 单调性：如果随机变量X和Y满足X ≤Y，那么E(X) ≤E(Y)。
这个性质说明了期望的顺序性。
2. 期望的应用- 对于离散型随机变量，期望的应用很广泛。
例如，我们可以用期望来求解投掷一枚骰子的平均点数，以及计算购买彩票的预期收益。
期望还可以用于计算游戏的平均盈亏。
- 在连续型随机变量中，期望可以用于计算概率密度函数下的面积。
例如，我们可以用期望来计算某个地区的平均降雨量，或者计算某个产品的平均寿命。
期望还可以用于求解连续概率分布的中位数和众数。
3. 方差的性质方差是随机变量与其期望之间差异的平方的期望，用于衡量变量的离散程度。
其性质如下：- 线性性质：对于两个随机变量X和Y，和常数a，b，有Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)。
这个性质表示方差与常数放缩相关。
- 非负性：方差始终大于等于0，即Var(X) ≥0。
- 方差的开方称为标准差，它表示了随机变量的离散程度。
标准差越大，表示随机变量的取值越分散。
4. 方差的应用- 方差可以用于评估一个投资组合的风险。
在投资领域中，投资者往往希望选择一个方差较小的投资组合，以降低风险。
- 方差还可以用于评估统计模型的拟合程度。
在回归分析中，我们可以通过计算残差的方差来评估模型的质量。
- 方差还可以用于度量数据的波动性。
例如，股票市场中的波动性可通过计算股价的方差来进行衡量。
数学期望例
例1 设随机变量X 服从参数为p 的10-分布，求()E X .例2 已知随机变量X 的概率分布为求()E X .例3 一批产品中有一、二、三等品及废品4种，相应比例分别为60%，20%，10%，及10%.若各等级产品的产值分别为6元，4.8元，4元及0元，求该产品的平均产值.例4 设随机变量X 取值 ,2,1,2)1(=-=k kx kkk ,对应的概率kk p 21=，证明X 的期望不存在.解 由于1,01=≥∑∞=k kk p p ，因此它是概率分布，而且2ln 1)1(11-=-=∑∑∞=∞=k kk k k k p x 但由于∞==∑∑∞=∞=111k k k k k p x可见级数∑∞=1k k kp x不绝对收敛，因此X 的数学期望不存在！例5 在一个人数很多的单位中普查某种疾病.N 个人去验血，用以下两种方法去化验：（1）每个人的血分别化验，需化验N 次；（2）把k 个人的血混在一起化验；如果结果呈阴性，则这k 个人只作一次化验即可；如果呈阳性，再对他们逐个化验，这时对这k 个人共需作1+k 次化验；假定对所有人，化验呈阳性反应的概率为p ，而这些人的反应是独立的.试说明当p 较小时，选取适当的k ，则利用方法（2）可以减少化验次数.解 记每个人的血检结果呈阴性反应的概率为p q -=1，则k个人的混合血呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为k q -1.用方法（2），设每个人的血需化验的次数为X ，则X是一个随机变量，其概率分布为则X 的数学期望为()111(1)(1)1k k kE X q q q k k k=⨯++⨯-=-+因此，N 个人需要的化验次数期望值为)11(kq N k+-，当111<+-k q k，即01>-kq k 时就能减少化验次数.例如，当1.0=p 时，取4=k ，则4061.01=-kq k，减少约40%的工作量.当p 已知，可选定适当的0k ，使()E X 达到最小，把0k 个人分为一组即最能节省化验次数.例6 已知二维随机变量()Y X ,的概率分布为求Y X ,的数学期望()E X 及Y E .例7 设连续型随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，求()E X .例8 设随机变量X 的概率密度是⎩⎨⎧≤≤+=其他,010,)(x b ax x f ，且()13E X =，求常数a 与b 的值.例9 设X 服从柯西（Cauchy ）分布，即其概率密度为211(),1f x x xπ=⋅-∞<<∞+ 求X 的期望.解 显然有210(1)x dx x π∞-∞⋅=+⎰，因为被积函数为奇函数.而()22200112ln 1(1)(1)x x dx dx x x x πππ∞∞∞-∞⋅==+=∞++⎰⎰ 故X 的期望不存在.例10已知随机变量X 的概率分布为14求数学期望(12+X E .例11 假定国际市场对我国某种出口商品的年需求量X （单位：吨）是一个随机变量，它服从区间[]4000,2000上的均匀分布.设该商品每售出一吨，可获得3万美元，但若没有销售出去积压在仓库里，则每吨需支付保养费1万美元.问如何计划年出口量，能使期望获利最多？ 解 设计划年出口量为y 吨，年获利额为Y 万美元.显然应有[]4000,2000∈y ，且()3,3,()31,4,y X yy X y Y g X X y X X y X y X y ≥≥⎧⎧===⎨⎨-⋅-<-<⎩⎩因此()()400020004000200021()()()20001(4)320001700040000001000y y E Y g x f x dx g x dx x y dx ydx y y +∞-∞==⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+-⎰⎰⎰⎰ 这是一个关于y 的二次函数，可以求出当3500=y 时，()E Y 最大，即计划年出口量3500吨时，能使期望获利最多.例12 设随机变量X 的数学期望为()2E X =-，求⎪⎭⎫⎝⎛+-321X E .。
4.1数学期望
E ( X 1 ) = 8 × 0.3 + 9 × 0.1 + 10 × 0.6 = 9.3(环), E ( X 2 ) = 8 × 0.2 + 9 × 0.5 + 10 × 0.3 = 9.1(环),
故甲射手的技术比较好. 故甲射手的技术比较好
实例2 商店的销售策略 实例 某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后 付款的方式 , 记使用寿命为 X (以年计 ), 规定 : X ≤ 1, 一台付款 1500 元;1 < X ≤ 2, 一台付款 2000 元; 2 < X ≤ 3, 一台付款 2500 元; X > 3, 一台付款 3000 元 .
设寿命 X 服从指数分布 ,概率密度为 , 概率密度为 设寿命 1 − x 10 , x > 0, e f ( x ) = 10 0, x ≤ 0. 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望 .
解
1 − x 10 = 1 − e − 0.1 = 0.0952, P { X ≤ 1} = ∫ e dx 0 10 2 1 P {1 < X ≤ 2} = ∫ e − x 10 d x 1 10
∫
xi+1
xi
f (x)dx
阴影面积近似为
f (xi )∆xi
≈ f (xi )( xi+1 − xi )
= f (xi )∆xi
小区间[x 小区间 i, xi+1)
因此X与以概率 因此 与以概率 f (xi )∆xi 取值xi的离离连r.v 近似, 该离离连r.v 近似 该离离连 的数学 阴影面积近似为 期望是 期望是 f (xi )∆xi
若设随机变量 X பைடு நூலகம்:在 A 胜2局B 胜1局的前提 在 局 局的前提 最终所得的赌金. 下, 继连赌下去 A 最终所得的赌金 所取可能值为: 则X 所取可能值为 其概率分别为: 其概率分别为
数学期望在生活中的应用原文
一、数学期望的定义及性质（一）数学期望分为离散型和连续型1、离散型离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。
数学期望是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
又称期望或均值。
如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。
它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。
E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。
X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。
在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2）+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)。
2、连续型连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。
若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。
能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。
（二）数学期望的常用性质1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）；2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）；3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。
对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。
对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。
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5.数学期望的基本性质
利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质：
设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则
性质1.E(c)=c；
性质2.E(aξ)=aE(ξ)；
性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a；
性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b；
性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)．
例3.5.7设随机变量X的概率分布为:
P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5.
求E(X),E(3X+2)．
解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5
∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知
E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3，
E(3X+2)=3E(X)+2=11．
例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为:
求E(X),E(2X-1)．
解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知
=-1/6+1/6=0．
∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1．
我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.
4.1.2 数学期望的性质
（1）设是常数，则有。
证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。
所以，。
（2）设是随机变量，是常数，则有。
证若是连续型随机变量，且其密度函数为。
当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。
（3）设都是随机变量，则有。
此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。
这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即。
（4）设是相互独立的随机变量，则。
证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。
设的概率密度分别为
和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有。
由此得
此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。
例4.1.2 倒扣多少分？
李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。
为了对这种不良风气加以处罚，唯一办法就是对每一个错误的答案倒扣若干分。
假设每条选择题有五个答案，只有一个是正确的。
在某次考试中，李老师共出20题，每题5分，满分是100分。
他决定每一个错误答案倒扣若干分，但应倒扣多少分才合理呢？倒扣太多对学生不公平，但倒扣太少又起步了杜绝乱选的作用。
倒扣的分
数，应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获。
换句话说，如果学生完全靠运气的话，他的总分的数学期望应该是0。
假定对一个错误答案倒扣分，而正确答案得5分。
随意选一个答案，选到错误答案的概率是，选到正确答案的概率是，所以总分的数学期望是。
要它是0，由此，即是对每一个错误答案应该倒扣分。
要是这样，对一个只答对六成的学生（但不是乱选一通之流）来说，他的总分仍然有
，并不算不公平吧？
例4.1.3 某制药厂试制一种新药治疗某种疾病。
对600人作临床试验，其中300人服用新药，而另外300人未服，4天后，有320人康复，其中260人服用了新药。
问这种新药疗效如何？
[分析]（1）无论病人服药与否，可能的结果都有两个：痊愈与未愈，所以为了能够使用概率方法解决这个问题，应该想到引入两点分布的随机变量；
（2）评价药物疗效好坏，仅对两组中的某两个个体的治疗效果进行比较是不行的，而应该比较两组病人的平均治疗效果。
解引入“病人服用新药后的结果”；“病人未服用新药的结果”。
，
，
由题设知
，，故，
，，故，
比较与可知新药对治疗此种病疗效显著。
例4.1.4 十个猎人等候野鸭飞来，当一群鸭飞来，猎人同时射击，但每人任选自己的目标，且不互相影响，若每一人独自打中目标的概率是，若10只野鸭飞来，计
算没有被打中的鸭数的期望值。
解设
没有被打中的鸭数为。
首先计算，每一人打中第只鸭的概率是，所以，
进而，。
注将一个“复杂”的随机变量分解为若干个“简单”的随机变量之和
，是研究随机变量的一种基本方法。
将个球随机地放入个盒子中去，每个球放入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数的数学期望。
提示设。
的分布律为
0 1
于是有。
故。
假设由自动线加工的某种零件的内径（以毫米计），服从正态分布。
已知销售每个零件的利润（元）与销售零件的内径有如下关系：
问平均内径为何值时，销售一个零件的平均利润最大。
提示销售一个零件的利润的取值为，其分布律为
其中为标准正态分布的分布函数。
求导可得：，令，并注意到
，
于是有
，
解得。
故当平均内径（毫米）时，销售一个零件的平均利润最大。