数学期望性质与应用举例

5.数学期望的基本性质

利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质：

设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则

性质1.E(c)=c；

性质2.E(aξ)=aE(ξ)；

性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a；

性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b；

性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)．

例3.5.7设随机变量X的概率分布为:

P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5.

求E(X),E(3X+2)．

解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5

∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知

E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3，

E(3X+2)=3E(X)+2=11．

例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为:

求E(X),E(2X-1)．

解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知

=-1/6+1/6=0．

∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1．

我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.

4.1.2 数学期望的性质

（1）设是常数，则有。

证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。所以，。

（2）设是随机变量，是常数，则有

。

证若是连续型随机变量，且其密度函数为。

。

当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。

（3）设都是随机变量，则有

。

此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即

。

（4）设是相互独立的随机变量，则

。

证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。设的概率密度分别为

和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有

。

由此得

此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。

例4.1.2 倒扣多少分？

李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。为了对这种不良风气加以处罚，唯一办法就是对每一个错误的答案倒扣若干分。

假设每条选择题有五个答案，只有一个是正确的。在某次考试中，李老师共出20题，每题5分，满分是100分。他决定每一个错误答案倒扣若干分，但应倒扣多少分才合理呢？倒扣太多对学生不公平，但倒扣太少又起步了杜绝乱选的作用。倒扣的分

数，应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获。换句话说，如果学生完全靠运气的话，他的总分的数学期望应该是0。

假定对一个错误答案倒扣分，而正确答案得5分。随意选一个答案，选到错误答案的概率是，选到正确答案的概率是，所以总分的数学期望是

。要它是0，由此，即是对每一个错误答案应该倒扣分。要是这样，对一个只答对六成的学生（但不是乱选一通之流）来说，他的总分仍然有

，并不算不公平吧？

例4.1.3 某制药厂试制一种新药治疗某种疾病。对600人作临床试验，其中300人服用新药，而另外300人未服，4天后，有320人康复，其中260人服用了新药。问这种新药疗效如何？

[分析]（1）无论病人服药与否，可能的结果都有两个：痊愈与未愈，所以为了能够使用概率方法解决这个问题，应该想到引入两点分布的随机变量；

（2）评价药物疗效好坏，仅对两组中的某两个个体的治疗效果进行比较是不行的，而应该比较两组病人的平均治疗效果。

解引入“病人服用新药后的结果”；“病人未服用新药的结果”。

，

，

由题设知

，，故，

，，故，

比较与可知新药对治疗此种病疗效显著。

例4.1.4 十个猎人等候野鸭飞来，当一群鸭飞来，猎人同时射击，但每人任选自己的目标，且不互相影响，若每一人独自打中目标的概率是，若10只野鸭飞来，计

算没有被打中的鸭数的期望值。

解设

没有被打中的鸭数为。首先计算，每一人打中第只鸭的概率是，所以，

进而，

。

注将一个“复杂”的随机变量分解为若干个“简单”的随机变量之和

，是研究随机变量的一种基本方法。

将个球随机地放入个盒子中去，每个球放入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数的数学期望。

提示设。的分布律为

0 1

于是有。故

。

假设由自动线加工的某种零件的内径（以毫米计），服从正态分布。已知销售每个零件的利润（元）与销售零件的内径有如下关系：

问平均内径为何值时，销售一个零件的平均利润最大。

提示销售一个零件的利润的取值为，其分布律为

其中为标准正态分布的分布函数。

。

求导可得：，令，并注意到

，

于是有

，

解得。

故当平均内径（毫米）时，销售一个零件的平均利润最大。