大学物理第十七章题解

4πε R 2 4πε R 于是

E = (⎰ π 2

4πε R 4πε R

第十七章 真空中的静电场

17-1．三个相同的点电荷放置在等边三角形的三个顶点上，在此三角形的中心应放置怎 样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？

解 设等边三角形的边长为 a ，则由顶点到中心的距离为 3a 3 ；设顶点处电荷为 q ， 中心处电荷为 Q ， Q 与 q 反号．考虑到等边三角形的对称性，可知 Q 受其它三个电荷的合 力为零，与 Q 的大小无关；顶点处三个电荷 q 所受合力的大小相同．

上方顶点处电荷 q 受其它三个电荷的作用力如图所示，合力为 零要求

2F cos30 = F

即 2 ⨯ q 2 4πε a 2 0

⨯ 3 q ( - Q )

=

2 4πε ( 3a 3) 2

可求出 Q = - 3q 3 ．

17-2．电子所带电量最先是由密立根通过油滴实验测得的，其实验装置如图所示．一个

很小的带电油滴在均匀电场 E 中，调节 A 、 B 两端的电压，使作用在油滴上的电场力与油 滴所受重力平衡．如果油滴的半径为1.64 ⨯10-4 c m ，在平衡时 E = 1.92 ⨯105 V ⋅ m -1 ，求油 滴上的电荷．已知油的密度为 0.851g ⋅ cm -3 ．

解 由 qE + mg = 0 ，可得

q =

mg E

= ρ 4

π R 3 g

3

E

=

4

851⨯ ⨯ 3.14 ⨯ (1.64 ⨯10-6 )3 ⨯ 9.8

3

1.92 ⨯105

= 8.02 ⨯10-19 C = 5e

17-3．半径为 R 、电荷线密度为η 的半圆形带电线如图所示，求圆心O 点的场强． 解 在带电曲线上取一个长度为 d l 的电荷元，其电量 d q = η d l ．电荷元在 O 点的场强 为 d E ，如图所示．由于电荷分布对 O x 轴对称，所以全部电荷在 O 点产生的总场强沿 O y 方

向的分量之和为零， O 点的总场强 E 沿 Ox 方向， E = (⎰ d E )i ．

x

由于 d l = R d θ ，所以

ηd l ⋅ cos θ ηcos θ

d E = cos θ d E = = d θ

x 0 0

ηcos θ

η d θ )i = ( sin θ |π 2 )i

-π 2

η = i 2πε R

17-4．如图所示，匀强电场 E 与半径为 R 的半球面 S 的轴线平行．试计算通过此半球 1

面的 E 通量．若以半球面的边线为边，另取一个任意形状的曲面 S ，问 S 的电通量多大？

2 2

1

（ 6ε

（

解 以半球面 S 的边缘为边界作一个平面 S ，此平面为一个圆， 1

面 积 为 π R 2 ． 由 于 E 与 S 面 垂 直 ， 所 以 通 过 S 面 的 E 通 量

0 0

Φ = π R 2 E ．

因为通过 S 面和 S 面的 E 通量与通过 S 面的 E 通量相等，故通

1

2

过 S 面和 S 面的 E 通量均为Φ = π R 2 E ．

1 2

17-5． 1）一点电荷 q 位于边长为 a 的立方体中心，试问通过立方体每一面的E 通量多

大？（2）如果电荷 q 移到该立方体的一个顶角上，这时通过立方体每一面的 E 通量多大？

解 （1）立方体的六个面组成闭合曲面，由高斯定理可知通过此闭合曲面的电通量

Φ = q

ε

由于立方体的六个面对其中心对称，所以每个面通过的电通量为

Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = q

1 2 3 4 5 6

（2）由于 d Φ = E ⋅ d S = E ⋅ e d S ，因此 q 所在的三个面的电通量为零（ E ⊥ e ）．

n

n

以 q 为中心，以 2a 为边长做大立方体，使原立方体恰为大立方体的1 8 ．由（1）知，

通过大立方体每个面的电通量各为 q 6ε ．而原立方体的每个面为大立方体每个面的1 4 ， 0

所以通过小立方体其它三个面的电通量各为 q 24ε ．

17-6． 1）设地球表面附近的场强约为200V ⋅ m -1 ，方向指向地心，试求地球所带总电 量．（2）在离地面1400m 处，场强为 20V ⋅ m -1 ，方向仍指向地心，试计算1400m 以下大 气里的平均电荷体密度．

解 （1）在地球表面外、沿地球表面作一个球面，以此球面为高斯面，设地球所带总 电量为 Q ，地球半径 R = 6.4 ⨯106 m ，由高斯定理

⎰⎰

S

E ⋅ d S = - E ⨯ 4π R 2 =

Q

ε 0

所以 Q = -ε ⨯ E ⨯ 4π R 2 = -8.85 ⨯10-12 ⨯ 200 ⨯ 4 ⨯ 3.14 ⨯ (6.4 ⨯106 )2 = -9.1⨯105 (C) 0

（2）在距地球表面1400m 处，作与地球表面同心的球面，以此球面为高斯面，设从离 地面1400m 到地面的大气所带总电量为 Q ' ，由高斯定理

⎰⎰ S E ⋅ d S = -E ⨯ 4π R 2 = Q +

Q ' ε

则 Q + Q ' = -ε ⨯ E ⨯ 4π R 2 = -9.1⨯104 (C) ， Q ' = -Q - 9.1⨯104 = 8.2 ⨯105 (C) ，所以

Q ' 8.2 ⨯105 ρ = = = 1.14 ⨯10-12 C ⋅ m -3

V 4 ⨯ 3.14 ⨯ 6.42 ⨯1012 ⨯1400

17-7．厚度为 d 的无限大平板均匀带电，电荷体密度为 ρ ，求板内外电场 E 的分布． 解 垂直于平板表面作横截面如图，图中虚线为与表面平行、距离两表面等距离（均为 d 2 ）的平面 AB ．

由于带电平板无限大，电荷分布对平面 AB 对称，可知电场强度 E 与平板表面垂直，在 距离平面 AB 距离相等处电场强度的大小 E 相同．

作对平面 AB 对称的闭合高斯面 S ，高斯面 S 由与平面 AB 平行的两个底面 S 和 S 和

1 2

2