2018版高中数学人教B版选修2-1学案3.1.3 两个向量的数量积

两个向量的数量积

学习目标.掌握空间向量夹角概念及表示方法.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．

知识点一两个向量的数量积

思考如图所示，在空间四边形中，＝，＝，＝，＝，∠＝°，∠＝°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．

思考等边△中，与的夹角是多少？

梳理()定义：已知两个非零向量，，则〈，〉叫做，的数量积(或内积)，记作·.

()数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律(λ)·＝

交换律·＝

分配律(＋)·＝

知识点二两个向量的夹角

()定义：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作＝，＝，则叫做向量与的夹角，记作〈，〉．

()范围：〈，〉∈.特别地：当〈，〉＝时，⊥.

知识点三两个向量的数量积的性质

两个向量数量积的性质

①若，是非零向量，则⊥⇔

②若与同向，则·＝；若反向，则·＝.特别地，·＝或＝

③若θ为，的夹角，则θ＝

④·≤·

类型一空间向量的数量积运算

命题角度空间向量数量积的基本运算

例()下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．

①·＝(·)；

②＋·－＝－；

③若与(·)·－(·)·均不为，则它们垂直．

()设θ＝〈，〉＝°，＝，＝，求：

①·；②(－)·(＋)．