第十四章_虚位移原理讲义

第十四章虚位移原理一、回顾：液压升降台如图14.1所示，求油压举升缸筒的拉力。

本题目是物体系平衡问题。

图14.1 （a）1.取缸筒为研究对象∑M G(F)=0 求出F E2.取CG、DE+缸筒为研究对象∑M C(F)=0 求出F Dy（b）（c）3.取整体为研究对象∑M A(F)=0 求出F B4.取杆BD为研究对象∑M K(F)=0 求出F Dx（d）（e）5.取杆DE为研究对象∑M O(F)=0 求出F JH由上分析可知：（1）用静力学中求解物体系统平衡问题的方法求解，需要选取5次研究对象，列5个方程，求解过程较为复杂。

（2）运算过程中出现了4个题目并不需要求解的约束反力，称之为中间变量，消除这些约束反力，才能得到要求的量。

问题？有无别的方法求解物体系统的平衡问题？而这种方法又能避开求这些中间变量，简化求解过程。

二、求解物体系统的平衡问题的两种方法⑴用静力平衡方程求解----刚体静力学（几何静力学）⑵用虚位移原理求解----分析静力学虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。

对于只有理想约束的物体系，由于约束力不作功，有时应用虚位移原理求解更为方便。

三、利用虚位移原理求解的平衡问题一般有如下几个特点：⑴结构特点-----结构为几何可变体系⑵待求量特点-----数目较少⑶研究对象的选取-----取整体即可求解四、基本概念几何可变体系-----约束允许系统动几何不变体系-----约束不允许系统动举例：图14.2 图14.3如图14.2所示，约束允许结构动，受力后可以不动，该结构为几何可变体系。

如图14.3所示，约束不允许结构动，受力后仍然不动，该结构为几何不变体系。

对于几何不变体系，只要解除某些约束，用约束力代替约束的作用，即可将不变体系变为可变体系。

14.1 约束·虚位移·虚功一、约束及其分类（1）概念约束——限制质点或质点系运动的条件。

(与静力学中的概念有差别) 约束方程——表示约束限制条件的数学方程。

（2）约束分类1、几何约束和运动约束几何约束—限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。

例如：摆长为l的单摆，如图14.4（a），在oxy面内摆动，质点M 必须在以O为圆心、以l为半径的圆周上运动，其约束方程为：x2+y2=l2。

(a) (b)图14.4例如图14.4（b）所示系统：点A只能作以点O为圆心，以r为半径的圆周运动，点B与点A的距离始终保持为杆长l；点B始终沿滑道作直线运动。

其约束方程为：x2A+ y2A=r2，(x A-x B)2+(y A-y B)2=l2，y B=0 上述约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。

运动约束—限制质点系运动情况的运动学条件。

例如：如图14.5所示，直线轨道纯滚动的车轮：图14.52、定常约束和非定常约束定常约束——不随时间变化的约束非定常约束——随时间变化的约束例如图14.6所示，摆长随时间变化的单摆，设摆长开始时为l0，然后以不变速度v拉动细绳另一端，此时单摆的约束方程为：图14.6x2+y2=(l0-vt)2约束条件随时间变化，为非定常约束上面单摆的约束为定常约束。

3、双面约束和单面约束双面约束------如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为双面约束，或固执约束。

单面约束------如果约束仅限制质点在某一方向的运动，称之为单面约束，或非固执约束。

如单摆：刚性摆杆约束……双面约束不可伸长的绳约束……单面约束图14.7双侧约束，约束方程是等式.单侧约束，约束方程为不等式.4、完整约束和非完整约束完整约束：几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。

（约束方程中不含导数或约束方程可积分）非完整约束：如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。

（约束方程总是微分形式）本章只讨论定常的双面、完整、几何约束。

二、虚位移1、虚位移的定义在某瞬时,质点或质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。

静平衡问题中，质点系中各质点都是静止不动的。

设想在约束允许的条件下，给其一个任意的、极小的位移，例右图δ 、δr A、δr B。

图14.8虚位移不是真实发生的小位移，而是假想的、约束允许的、可能实现的某种无限小位移，因而不用dx、ds、d r表示，而用δx、δs、δr表示，δ为变分符号，其运算规则与微分类似。

2、虚位移与实位移的区别和联系区别：①实位移可以是无限小的，也可以是有限的，而虚位移必须是无限小的。

②实位移是在外力作用下实际发生的位移，而虚位移则是“约束允许的位移”，与外力无关。

③实位移是在一定时间内发生的位移，而虚位移则与时间无关，是一个纯几何的概念。

联系虚位移包括一切可能发生的无限小位移。

因此，在定常约束的情况下，系统无限小的实位移必是虚位移中的一个。

3、虚位移的计算只讨论定常约束的情形。

在此条件下，微小实位移是虚位移中的一个。

因此可以用求微小实位移的方法求虚位移之间的关系。

①几何法——运动分析法②解析法——变分法①几何法举例：如图为虚位移，求虚位移间关系。

由此可见，各质点虚位移间的关系与相应速度间的关系相同，所以可由运动学中确定速度的方法确定虚位移间的关系。

这种方法称为几何法。

几何法：假想系统运动，找出该位置下各点速度（角速度）的关系，即为虚位移的关系。

②解析法解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。

例如椭圆规机构如图，坐标有约束方程解析法：选取广义坐标，将各点的直角坐标表示为广义坐标的函数，求其变分，得到虚位移间的关系。

比较以上两种方法，可以发现几何法：需要画出虚位移图，充分利用运动学知识确定虚位移间的关系。

几何法比较直观，但需要对运动学知识熟练掌握。

解析法：不需要画虚位移图，但需要判断系统的自由度数，并选取广义坐标；还需要建立直角坐标系，将各点的直角坐标表示为广义坐标的函数，并求其变分。

解析法比较规范。

三、虚功力在虚位移上作的功称为虚功，用 W表示。

例：力F的虚功为：δW=-Fδr B力偶M的虚功为：δW=-Mδϕ四、理想约束如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。

光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端等约束为理想约束.例14.1 如图所示系统，BD=BC，ϕ=30︒，求A、C两点虚位移关系。

解：（1）几何法如图画出虚位移图由速度投影定理得（2）解析法本例为单自由度系统，选取 为广义坐标如图建立直角坐标系，则求变分得联立解得：§15-2 虚位移原理设一质点系处于静止平衡状态，则任一质点都处于平衡状态，因此有：F i+F Ni=0F i为该质点上主动力的合力，F Ni为约束力的合力。

若给质点系一虚位移，其中质点mi的虚位移为：δr i，则作用在该质点上的力的虚功为：F i δr i+F Ni δr i=0对质点系：∑F i δr i +∑F Ni δr i =0具有理想约束的质点系，∑F Ni δr i =0，∴∑F i δr i =0即：∑δW F =0虚位移原理——又称虚功原理，对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零。

例15.1 螺旋压榨机的手柄AB 上作用一在水平面内的力偶(F ，F ’)，其力偶矩等于2Fl 。

设螺杆的螺距为h ，求平衡时作用于被压榨物体上的压力。

解：1、取手柄、螺杆和压板组成的系统研究，若忽略摩擦，则约束是理想的。

2、受力分析，系统上的主动力为：(F ，F ’)和F N3、给系统以虚位移，将手柄转过δϕ，则螺杆和压板向下位移δs 。

因手柄转一周，螺杆上升或下降一个螺距h 。

故：h s δπδϕ=2 4、列虚功方程：∑δW F =0，02=⋅-⋅s F Fl N δδϕ 解得：F h l F N π4=。

压榨力与F N 等值、反向。

例15.2 图示结构，各杆都以光滑铰链连接，AC =CE =BC =CD =DG =l 。

在点G 作用一铅直方向的力F ，求支座B 的水平约束力F Bx 。

解：1、解除B 处的水平约束，代以力F Bx ，将F Bx 当作主动力。

2、取系统研究，系统具有理想约束，系统所受主动力：F 、F Bx3、列虚功方程 ∑δW F =0，F δy G +F Bx δx B =04、建立如图坐标系，写出B 、G 的坐标 x B =2l cosθ，y G =3l sinθ 变分：δx B = -2l sin θδθ，δy G =3l cosθδθ5、求解 F 3l cosθδθ+F Bx (-2l sin θδθ)=0 解得：θθθcot 23sin 2cos 3F F F Bx ==6、如在点C 、G 间连接一自重不计、刚度系数为k 的弹簧，图示位置弹簧伸长δ0，其他条件不变，求B 的水平约束力。

解：(1)取整体研究，去除弹簧及B 处水平约束，均以力代之 (2)虚功方程 ∑δW F =0， 0=⋅+⋅-⋅+⋅G G G C c B Bx y F y F y F x F δδδδ(3)建立坐标系，写出各点坐标x B =2l cosθ，y C =l sinθ，y G =3l sinθ变分：δx B = -2l sin θδθ，δy C =l cosθδθ，δy G =3l cosθδθ(4)求解弹簧力：F C =F G =kδ0，解得：θδθcot cot 230k F F Bx -=例15.3 椭圆规机构，连杆AB 长为l ，滑块与杆重不计，忽略摩擦，机构在图示位置平衡。

求主动力F A 与F B 间的关系。

解：1、取系统研究 2、列虚功方程∑δW F =0，F A δr A -F B δr B =03、虚位移间的关系可用“虚速度法” 虚速度：dt r v A A δ=，dt r v BB δ=杆AB 作平面运动，由速度投影定理：φφsin cos A B v v =4、求解φδδtan B B A B B A B A F F v v F r r F ===。