常微分方程的差分方法

y 'xn ，结果有
设用 y xn 的近似值 yn代入上式右端，记所得结果为 yn1，这样导
出的计算公式
yn1 yn hf xn, yn , n 0,1, 2,L
就是众所周知的欧拉（Euler）格式，若初值 y0 是已知的，则依据
上式即可逐步算出数值解 y1, y2 ,L 。
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第三章 常微分方程的差分方法
§ 1 欧拉方法 § 2 改进的欧拉方法 § 3 龙格-库塔方法 § 4 亚当姆斯方法 § 5 收敛性与稳定性 § 6 方程组与高阶方程的情形 § 7 边值问题
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引言
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的
最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：
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莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）
• 18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称
为“分析的化身”。
• 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），1Βιβλιοθήκη Baidu07年出生在瑞士
的巴塞尔城，小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《 代数学》。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津 津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教 。13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学 界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学 生。在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰·伯努利（ Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导，并逐渐与其建立了 深厚的友谊。约翰·伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学 生：“我介绍高等分析时，他还是个孩子，而你将他带大成人。 ”两年后的夏天，欧拉获得巴塞尔大学的学士学位，次年，欧拉 又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。1725年，欧拉开始了他的数 学生涯。
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欧拉格式
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，这也是它难于求解
的症结所在。数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这项手续
称为离散化。实现离散化的基本途径就用差商代替导数。譬如，若
在点 xn列出方程，并用差商
y xn1 y xn代 替
h
y xn1 y xn hf xn, y xn
• 七桥问题Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问题之一。在哥 尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷 格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来( 如图)。问是否可能从这四块陆地中任 一块出发，恰好通过每座桥一次，再回 到起点？欧拉于1736年研究并解决了 此问题，他把问题归结为如下右图的“ 一笔画”问题，证明上述走法是不可能 的。
• 他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海
的书籍和论文．可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学 家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文（七十余 卷，牛顿全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代数、数论 占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、 航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足 忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名
字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的
欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分
方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变
函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更独具
匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数 学家们称他为"分析学的化身"．
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• 19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉
的著作永远是了解数学的最好方法．"
• 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧
，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是 值得我们学习的．欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领域，常常见到以欧 来命名的公式、定理、和重要常数。课本上常见的如π（1736年） ，i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年 ），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等，都是他创 立并推广的。歌德巴赫猜想也是在他与歌德巴赫的通信中提出来 的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析 力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算 理论。
• 1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴
奋中突然停止了呼吸，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我要 死了”，欧拉终于“停止了生命和计算”，享年76岁。
• 欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作
为自己的数学家，为有他而感到骄傲 .
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• 欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时法国的拉格朗日只有19
岁，而欧拉已48岁。拉格朗日与欧拉通信讨论“等周问题”，欧拉也 在研究这个问题。后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论 文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名 。
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七桥问题
y ' f x, y
y
x0
y0
且满足Lipshitz条件 :| f (x, y) f (x, y* ) | L | y y* |
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存在唯一。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归
结出来的微分方程要靠数值解法。
差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻求 离散节点
x1 x2 L xn L
上的近似解 y1, y2,L , yn ,L ,L，相邻节点间距 h xn1 xn称为步长。 初值问题的各种差分方法都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列 的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出从已知信息 yn , yn1, yn2,L计算 y的n 递推公式，这类计算格式统称为差分格 式。