(易错题精选)初中数学圆的经典测试题含答案解析(1)

（易错题精选）初中数学圆的经典测试题含答案解析(1) 一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=
23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为
半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A
．
53
2
π
-B．
53
2
π
+C．23π
-D．43
2
π
-
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=
3
23
BC
AB
==，
∴∠A=30°，
∴OH=1
2
OA=
3
，AH=AO•cos∠A=
33
3
2
⨯=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=3，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
()2
603
113
2323
222360
π⨯
⨯⨯-⨯⨯-=
53
2
π
-，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．123
B ．1536π-π
C ．30312π-
D ．48336π-π
【答案】C 【解析】 【分析】
易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可． 【详解】 连接OE ，OF ．
∵BD=12，AD ：AB=1：2，
∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=60361
6,633933602
OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等，
∴阴影面积=()
224369330312ππ⨯--=- .
故选：C 【点睛】
本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．
3．如图，已知AB 是⊙O 是直径，弦CD ⊥AB ，AC =22，BD =1，则sin ∠ABD 的值是( )
A ．22
B ．
13
C ．
22
3
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据垂径定理，可得BC 的长，再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求得AB 的长，得到sin ∠ABC 的大小，最终得到sin ∠ABD 【详解】
解：∵弦CD ⊥AB ，AB 过O ， ∴AB 平分CD ， ∴BC =BD ， ∴∠ABC =∠ABD ， ∵BD =1， ∴BC =1，
∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°， 由勾股定理得：AB =
()
2
22
22213AC BC +=
+=，
∴sin ∠ABD =sin ∠ABC =22
AC AB =
故选：C ． 【点睛】
本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解
4．用一个直径为10cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ，不倒翁的顶点A 到桌面L 的最大距离是18cm .若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ）
A ．260cm π
B ．
2600
13
cm π C ．
2720
13
cm π D ．272cm π
【答案】C 【解析】 【分析】
连接OB ，如图，利用切线的性质得OB AB ⊥，在Rt AOB ∆中利用勾股定理得
12AB =，利用面积法求得60
13
BH =
，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面． 【详解】
解：连接OB ，作BH OA ⊥于H ，如图，
Q 圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ，
OB AB ∴⊥，
在Rt AOB ∆中，18513OA =-=，5OB =，
2213512AB ∴=-=，
Q
11
22
OA BH OB AB =g g ， 51260
1313
BH ⨯∴=
=， Q 圆锥形纸帽的底面圆的半径为60
13
BH =
，母线长为12， ∴形纸帽的表面2160720212()21313
cm ππ=⨯⨯
⨯=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算．
5．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是（ ）
A ．圆形铁片的半径是4cm
B ．四边形AOB
C 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcm
D ．扇形OAB 的面积是4πcm 2
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：由题意得：BC ，AC 分别是⊙O 的切线，B ，A 为切点， ∴OA ⊥CA ，OB ⊥BC ， 又∵∠C=90°，OA=OB ， ∴四边形AOBC 是正方形， ∴OA=AC=4，故A ，B 正确； ∴»AB 的长度为：
904180
π
⨯=2π，故C 错误； S 扇形OAB =2
904360
π⨯=4π，故D 正确．
故选C ． 【点睛】
本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
6．如图，△ABC 的外接圆是⊙O ，半径AO=5，sinB=
2
5
，则线段AC 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是5，sinB=2
5
，即可求得答案． 【详解】
解：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，
由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°， ∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ， ∴∠B=∠D ，即sinB=sinD=25
， ∵半径AO=5，
∴CD=10，
∴
2 sin
105
AC AC
D
CD
===，
∴AC=4，
故选：C.
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
7．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()
A．54°B．27°C．36°D．46°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.【详解】
解：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝54°，
∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∴∠ACB＝1
2
∠AOB＝36°．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.
8．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）
A．2 B．3C．2﹣3D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由AB=ACtanC=23可得答案．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝30°，DC＝1，
∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，
则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝23，
∴⊙O的半径为3，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）
A．3B．23C．3
2
D．
23
【答案】A
【解析】
连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC 是⊙O 切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3，
∴OC=PC •tan30°=3， 故选A
10．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）
A 3cm
B ．2cm
C ．23cm
D ．4cm
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可． 【详解】
解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， ∵OB=OC ，OG ⊥BC ，
∴∠BOG=∠COG=1
2
∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ，
∴BG=12BC=1
2×2=1cm ， ∴OB=
sin 30BG
o
=2cm ， ∴2222213OB BG --= 3， 故选：A ．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
11．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
34
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长． 【详解】
圆锥的底面周长是：π；
设圆锥的底面半径是r ，则2πr=π． 解得：r=12
． 故选B ．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12．“直角”在几何学中无处不在，下列作图作出的AOB 不一定．．．
是直角的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
根据作图痕迹，分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】
解：选项A 中，做出了点A 关于直线BC 的对称点，则AOB ∠是直角. 选项B 中，AO 为BC 边上的高，则AOB ∠是直角.
选项D 中，AOB ∠是直径AB 作对的圆周角，故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】
本题考查了尺规作图的相关知识，根据基本作图得到的结论，应用于几何证明是解题关键．
13．如图，ABC ∆是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，
12BC =，阴影部分是ABC ∆的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.
A ．16
B ．6
π C ．
8π D ．
5
π 【答案】B 【解析】 【分析】
由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-5
2
=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论． 【详解】
解：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB 2=BC 2+AC 2，
∴△ABC 为直角三角形，
∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1， ∴S △ABC =
12AC•BC=12
×4×3=6， S 圆=π，
∴小鸟落在花圃上的概率=
6π ， 故选B ．
【点睛】
本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.
14．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）
A ．BCE ∆
B ．AB
C ∆ C ．AB
D ∆ D ．AB
E ∆
【答案】A
【解析】
【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．
【详解】
解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠
ADE BCE ∴∆∆∽，
故选：A ．
【点睛】
考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．
15．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一
点，若以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，D（P，D两点不重合）两点间的最短距离为（）
A．1
2
B．1C3D31
【答案】D
【解析】
【分析】
分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PC为底．③若以边PB为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．
【详解】
解：在菱形ABCD中，
∵∠ABC=60°，AB=1，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1；
②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD 31
③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
上所述，PD的最小值为31
故选D．
【点睛】
本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠ABD＝24°，则∠C 的度数是（）
A ．48°
B ．42°
C ．34°
D ．24°
【答案】B
【解析】
【分析】 根据切线的性质求出∠OAC ，结合∠C ＝42°求出∠AOC ，根据等腰三角形性质求出∠B ＝∠BDO ，根据三角形外角性质求出即可．
【详解】
解：∵∠ABD ＝24°，
∴∠AOC ＝48°，
∵AC 是⊙O 的切线，
∴∠OAC ＝90°，
∴∠AOC +∠C ＝90°，
∴∠C ＝90°﹣48°＝42°，
故选：B ．
【点睛】
考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC 的度数，题目比较好，难度适中．
17．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）
A ．183π-
B ．183π
C ．32316π
D ．1839π-
【答案】C
【解析】
【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=
3
843
2
⨯=，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积
=
2
120(43)
84332316
π
π
⨯
⨯-=-．
故选：C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
18．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为()
A．6 B．6C．8 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．
【详解】
作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB=CD=16，
∴BM=DN=8，
∴OM=ON==6，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=．
故选B．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）
A．2 B．3C．2D．1 2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】
连接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵PA是圆的切线，
∴∠PAO=90°，
∵tan∠AOC =PA OA
,
∴PA= tan60°×1=3.故选B.
本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.
20．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )
A ．3
B ．2
C ．3
D ．2 【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意，画出图形，令直线y= 3x+ 23与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，作OH ⊥CD 于H ；
然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C 、D 两点的坐标值； 再在Rt △POC 中，利用勾股定理可计算出CD 的长，并利用面积法可计算出OH 的值； 最后连接OA ，利用切线的性质得OA ⊥PA ，在Rt △POH 中，利用勾股定理，得到21PA OP =-，并利用垂线段最短求得PA 的最小值即可.
【详解】
如图， 令直线3x+23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ， 当x=0时，y=3D （0，3
当y=033，解得x=-2，则C （-2，0），
∴222(23)4CD =
+=， ∵12OH•CD=12
OC•OD ， ∴2233⨯= 连接OA ，如图，
∵PA 为⊙O 的切线，
∴PA==
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA=
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．。