第三章——扭转

4
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
5
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
m2
m3
m1
m4
A T
– 4.78
B
C
– 9.56
n D
6.37
x
9
3. 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t

1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
10
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
A
BO
m
m
3
2. 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m

9.55
P n
(kN

m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m

7.024
P n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(kN

m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
②物理关系方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
③静力学方面
1. 横截面变形后 仍为平面；
2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
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二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：


tg

G1G dx

d
dx



d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
第三章 扭转
Torsion
1
1. 概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
2
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
d
dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
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2. 物理关系：
虎克定律：
G
代入上式得：


G
G
d
dx



G
d
dx



G
d
dx
20
3. 静力学关系： dA

T A dA
O

A
G 2
d
dx
dA

G
d
dx
A
2dA
T

GI p
d
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
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微小矩形单元体如图所示：
①无正应力 ②横截面上各点处，只产 dy 生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4. 与 的关系：
L R RL
dx
令 Ip A 2dA
d
dx

T GI p
代入物理关系式



G
d
dx
得：


T
Ip
21


T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
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T=m



T ( 2A 0t) ( LR)

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
16
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
´
a
b


´
c
d
dx

12
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T




T
2 r02
t

T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
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三、剪应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy
T1 m2 4.78kN m
n
T2 m2 m3 0 ,
A 1 B 2 C 3D
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T3 m4 0 , T2 m4 6.37kN m
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③绘制扭矩图 T 9.56 kN m BC段为危险截面。 max
强度计算（危险截面）。
T

x
6
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
图。（轮系如何按排更合理？）m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1

9.55
P1 n

9.55
500 300
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
G

E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。 17
4. 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力
故

a


dy
´
c
z
dx
´
b

d t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
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单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
A
15.9(kN m)
n
B
C
D
m2

m3

9.55
P2 n

9.55

150 300

4.78 (kN m)
m4

9.55
P4 n

9.55
200 300

6.37 (kN m)
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②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0 m2 1 m3 2 m1 3 m4
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
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I p A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
d
I p A 2dA

D
02
2

2