考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上．

（1

）若函数10

(),0x f x ax

b x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩

在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12

ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．

【答案】A

【详解】由011lim

2x b ax a +→-==,得1

2

ab =

. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则

(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．

(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C

【详解】2()

()()[]02

f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为

(A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．

【答案】D

【详解】方向余弦1

2cos ,cos cos 3

3

===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线

2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计

时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

(A) 010t =． (B) 01520t <<．

(C) 025t =． (D)

025t >．

【答案】C

【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.

（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

(A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆．

(C) T 2E +αα不可逆． (D) T 2E -αα不可逆．

【答案】A

【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.

（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．

(C) A 与C 不相似，B 与C 相似．

(D) A 与C 不相似，

B 与

C 不相似．

【答案】B

【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而

B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.

（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件

(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．

【答案】A

【详解】由(|)(|)P A B P A B >得

()()()()

()()1()

P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;

由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B .

（8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记

1

1n

i i X X n ==∑，则下列结论不正确的是

(A)21

()n

i i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．

(C)

21

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．

【答案】B

【详解】22

2211

~(0,1)()~(),()~(1)1n n

i i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;

22

1~(,),()~(1);X N n X n

-μμχ2211()~(0,2),

~(1)2n n X X X X N --χ.

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答．题纸．．

指定位置上．

（9）已知函数2

1(),1f x x

=+(3)

(0)f = ． 【答案】0 【详解】242

1

()1(11)1f x x x x x

=

=-++-<<+,没有三次项.

（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．

【答案】12e ()x y C C -=+

【详解】特征方程2230r r ++=

得1r =-+,因

此

12e ()x y C C -=+.

（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy

xdx 1

2

2在区域{}

1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a

．

【答案】1-

【详解】有题意可得

Q P

x x

∂∂=

∂∂,解得1a =-. （12）幂级数11

1)1(-∞

=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．

【答案】

2

1

(1)x +

【详解】1

1

2

1

1

1

(1)[()](1)n n n n n nx

x x ∞

∞

--=='-=--=

+∑∑.