(完整版)期货最优套期保值比率的估计

一、实验名称：期货最优套期保值比率的估计

二、理论基础

1. 期货套期保值比率概述

期货，一般指期货合约，作为一种套期保值工具被广泛使用。进行期货套期保值交易过程中面临许多选择，如合约的选取，合约数量的确定。如果定义套期保值比h 为期货头寸与现货头寸之商的话，在上面的讨论中一直假设期货头寸和现货头寸相同，即套期保值比h 为1，但这不一定是最优的套期保值策略。如果保值者的目的是最大限度的降低风险，那么最优套期保值策略就应该是让套保者在套保期间内的头寸价值变化最小，也就是利用我们如下所说的头寸组合最小方差策略。

考虑一包含s C 单位的现货多头头寸和f C 单位的期货空头头寸的组合，记t S 和t F 分别为t 时刻现货和期货的价格，该套期保值组合的收益率h R 为：

f s t s t f t s h hR R S C F C S C R -=∆-∆=

（2-1） 式中： s f C C h =为套期保值比率，t t s S S R ∆=，t t f F F R ∆= 1--=∆t t t S S S ，1--=∆t t t F F F 。

收益率的方差为：),(2)()()(2

f s f s h R R hCov R Var h R Var R Var -+= （2-2）

（2）式对h 求一阶导数并令其等于零，可得最小方差套期保值比率为： f

s f f s R Var R R Cov h σσρ==)()

,(* （2-3） 其中：ρ为s R 与f R 的相关系数，s σ和f σ分别为s R 与f R 的标准差。

2. 计算期货套期保值比率的相关模型 虽然上述的介绍中的*s f h σρσ=可以求解最优套期保值比，但其操作性不强，

其先要分别求三个量然后再计算*

h ，显然误差较大 ，下面为几种常见的关于求解最优套期保值比率的时间序列模型。

1) 简单回归模型（OLS ）

考虑现货价格的变动（△S ）和期货价格变动（△F ）的线性回归关系，即建立： t t t F h c S ε+∆+=∆* （2-4）

其中C 为常数项，t ε为回归方程的残差。但是上述线性回归模型常常会遇到残差项序列相关和异方差性的问题，从而降低参数估计的有效性。

2) 误差修正模型（ECM ）

现实中的期货价格和现货价格序列往往是非平稳的，期货合约定价理论决定了期货价格与现货价格序列的走势之间存在着某种共同的趋势，即期货价格和现货价格序列之间可能存在协整关系。在计量分析中，若两个时间序列之间存在协整关系，那么传统的OLS 的估计量将是有偏的，换句话说，得到的“最优”套期保值比率将不是最优的，存在一定的偏误。Ghosh （1993）通过实证发现：当不恰当地忽略协整关系时，计算出的套期保值比率将小于最优值。

Lien & Luo （1993）、Ghosh （1993）与Chou 、 Fan& Lee (1996)分别提出了估计最优套期保值比率的误差修正模型，并使用两步法进行估计。ECM 模型将从期货价格和现货价格序列开始分析起，得出能同时反应短期关系和长期关系相结合的模型使得估算出更精确的最优套期保值比率。考虑现货价格和期货价格的水平序列，一般情况下，通过自相关图和单位根检验现货价格和期货价格序列都不平稳，都存在一个单位根，但对两者进行回归，发现回归方程比较显著，对残差序列进行单位根检验，通常会得出拒绝其为非平稳序列的结论。说明现货价格和期货价格间可能存在协整关系，即现货价格与期货价格间可能存在长期均衡关系。

Lien & Luo （1993）认为，若现货和期货价格序列之间存在协整关系，那么，最优套期保值比率可以根据以下两步来估计。第一步，对下式进行协整回归：

t t t bF a S ε++= （2-5）

第二步，估计以下误差修正模型：

∑∑=--=--+∆+∆+∆+-=∆n

j t j t j i t m i i t t t t e S F F F S S 1111)(θδβα （2-6）

（2-6）式中β的OLS 估计量βˆ即为最优套期保值比率*

h 。 Chou 、 Fan& Lee (1996)将第二步的误差修正模型改为：

∑∑=--=-+∆+∆+∆+=∆n

j t j t j i t m i i t t t e S F F S 111ˆθδβε

α （2-7） 其中：)ˆˆ(ˆ1

11---+-=t t t F b a S ε为（2-5）式中估计的残差项，也称为误差修正项（ECM ）， 运用误差修正模型对参数进行估计时，先估计方程（2-5），保留其残差项，然后利用方程（2-7）估计参数得到最优套期保值比率*

h 。模型建立和估计的过程将在实验过程中给出。

3) ECM-BGARCH 模型

方程（5）中还存在一个问题：残差序列μ是否是同方差，就金融时间序列来讲，误差的方差不随时间而发生变化是不太可能的，因此，假定模型残差的方差不是常数是一种合理的考虑，它还描述残差是如何变化的。观察金融资产的收益序列往往发现其表现出“波动聚集”的特征，即波动的当期水平往往与它最近的前些时期的水平正相关关系。这将导致用资产价格收益的序列进行回归时，其残差项往往不具备同方差性，残差项方差和其前期方差存在一定的关系，常常用ARCH 过程或广义ARCH 过程（GARCH ）来描述这种关系。

需要注意的是一元GARCH 模型仅能估计单一变量的条件方差，无法估计序列之间的协方差。为此我们要估计最优套期保值比率h=COV(△S △F)/VAR(△F)，需要建立二元GARCH(B-GARCH)模型。在这里我们采用。下面我们分别采用常数二元GARCH 模型和D —BEKK 二元GARCH 模型给出ECM-B-GARCH 方法下估计最优套期保值比率的模型。两种GARCH 模型运用均值方程相同都为

,111,1111

ˆˆ()s t s S t t f f t f t t t t t C z S C z F z S F εδδεαβ-------⎡⎤∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+ (2-8)（其中即上文提到的误差修正项） 1~(0,)t t t N H ε-Ω 注意此处的均值方程中包含了误差修正项，即考虑了现货价格和期货价格的长期协整关系。 a) 常数相关系数的二元GARCH 模型

常数相关系数的二元GARCH 模型的条件方差方程：

11()()t t t t

vec H C A vec B H εε--'=+⋅+⋅⨯⨯其中：C 为31的参数向量；A 和B 均为33的系数矩阵）

同时为了简化参数估计，假定残差项,s t ε 和,f t ε之间的相关系数为常数sf ρ（注意没有时

间下标t ）

。此时,,,,001100ss t sf t sf sf t ff t sf h h h h ρρ⎤⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎣t H Vec 算子取矩阵的“上三角形”部分，把每一元素排成一个单列的向量。例如：

,,,ss t t ff t sf t h vec H h h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（）=。这样我们把上述矩阵形式表示的条件方差方程可展开得到：