211直线的倾斜角和斜率(罗明铁)解读

课题：直线的倾斜角和斜率

（第一课时）

教案

江西省吉安市安福县安福中学罗明铁【教学目标】

（1）知识目标

①让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。

②通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。

③经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已

知两点的直线的斜率坐标公式。

（2）能力目标

①通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭

示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。

②通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步

理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

（3）情感目标：

①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生

的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。

②通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。

【教学重点】

①直线倾斜角与斜率概念；

②推导并掌握过两点的直线斜率公式；

③体会数形结合及分类讨论思想的作用。

【教学难点】

斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。

【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。

【教学手段】多媒体辅助课堂教学。

【教学过程】

创设情境，导入新课

利用水上乐园的滑梯这情境，向学生设问

坐哪个滑梯更刺激，速度更快？为什么？（学生回答）

滑梯的陡峭与平缓反映滑梯的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。问题情境，形成概念

问题1、在平面直角坐标系内，过两点可以画几条直线？

过一点可以画几条直线？

问题2、与x轴正方向成30º角的直线有多少条?

过定点P且与x轴正方向成30º角直线有多少条？

y

l

p

o

x

y p

o

x

l

p

o

y x

l

p

o

y x

l

αα

α

(1) (2) (3)(4)

引导学生得出倾斜角的意义和概念。 师生互动，新课探究

一、 倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交

的直线l ，把x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫做直线l 的倾斜角。 规定：当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0º. 思考：把谁旋转，怎样旋转，旋转到什么位置？ 练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )

问题3、在平面直角坐标系中，过点P 的直线的倾斜角可分为哪几类？

当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 ，数形结合得出倾斜角的范围是0 ≤α＜180 回顾旧知，迁移应用

(1)对于生活中斜坡，我们是用什么量刻画它的倾斜程度？ （坡角与坡度）

(2)坡度定义是什么？

tan ()αα=

=铅直高度

坡度为坡角水平长度

（3）坡度随坡角α变化如何变化？

斜坡−−−

→迁移

平面直角坐标系中的直线 坡角

−−−→对应直线的倾斜角 坡度

−−−→对应直线的斜率。 二、直线的斜率

上图图(1)中倾斜角为锐角，图中横坐标x 从0到1增加一个单位，纵

坐标y 从0增加到k(k>0),我们称k 为这条直线的斜率。

tan AP

k OA

α==，右图图(2)中倾斜角为钝角，当横坐标x 从0到1增加1个单位时，纵

坐标y 从0减少了k （k>0），我们称－k 为这条直线的斜率。

倾斜角为钝角时，直线的斜率可转化到其补角(180º-α)来求. 思考：倾斜角为0º时，斜率是多少？倾斜角为90º时呢？

2、直线的斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用k 表示，即k=tan α (0º≤α<90º或90º<α<180º)

倾斜角是90 °的直线的斜率不存在。 讨论交流，加深理解

问题4、当倾斜角变化时，斜率k 如何变化？（动画演示）

新知演练 及时反馈

例1 .直线 l 1、 l ２、 l ３ 、 l 4的斜率分别是k 1、 k

p

o

y

x

l

p o

y

x

l

α

p o

y

x

l

α

y p

o

x

l

α

直线平行于x 轴或与x 轴重合，此时直线的倾斜角为0°， k =0。

直线的倾斜角为锐角，k >0； 随着直线的倾斜角增大，k 值增大。

垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在。

o o

90180α<

090α<

90α=o

0α=直线的倾斜角为钝角， k <0 ； 随着直线的倾斜角增大，k 值增大。 )

180tan(tan AP

αθ-︒-=-=-

=-=OA

k k l 则斜率为：,45的倾斜角为例如：直线 l 1

45tan == k

则斜率为：,120的倾斜角为直线 l 3

60tan 120tan -=-==

k