材料力学第 章试题及答案 压杆稳定

Aβ
C
解：
最合理的情况为 AB、BC 两杆同时失稳，此时 F 最大。
FcrAB
=
F cosθ
= π 2EI
l
2 AB
=
π 2EI
l
2 AC
cos2
β
FcrBC
=
F sinθ
=
π 2EI
l
2 BC
=
π 2EI
Hale Waihona Puke Baidu
l
2 AC
sin
2
β
两式相除得到
tanθ = cot2β
即
( ) θ = arctan cot2β
FB cr
= σ cr A
=
214.4 ×
π 4
× 402 N
=
269.4kN
∴托架的临界力为
Fcr =
7 6
FBcr
=
7 × 269.4 = 118.8kN 6
(2)
FB =
6 F= 7
6 × 70kN = 158.7kN 7
n=
FBcr FB
= 269.4 158.7
= 1.7 < nst
=2
∴ 拖架不安全。
σ c′r = σ s = 235MPa 对压杆，
对 CD 杆，由 ∑ M C = 0 ：
手轮
FB sinθ × 600 − F × (600 + 300) = 0
600
可得 F = 7FB 6
对 AB 杆，其柔度为
C
丝杆
500
λ = μl =
l
= 4l = 4 × 800 = 80 A
i
πd 4 64 d
杆控制，即结构的许用载荷为
[F] =
Fc′r
= σ c′r
A
=
235A
=
π 235
× 502 4
N
=
471.4kN
查表得：a = 304MPa ，b = 1.12MPa ， C
θ
λp = 100 ， λ0 = 62
FN
∴ λ0 < λ < λp ，AB 杆为中柔度压杆，
故有
σ cr = a − bλ = 304 − 1.12 × 80 = 214.4MPa
210 200
× ×
109 106
m
=
1.76m
故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为 1.76m。
11-5 图示铰接杆系 ABC 由两根截面和材料均相同的细长杆组 成。若由于杆件在 ABC 平面内失稳而引起毁坏，试确定载荷 F 为最 大时的θ 角（假设 0 < θ < π / 2 ）。
Fθ B 90
平面内失稳，即压杆的横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转
动。
hb 3
imin =
I min = A
12 = b bh 2 3
欧拉公式适用于 λmax ≥ λp ，即
λmax
=
μl imin
≥π
E σp
由此得到
l ≥ πimin μ
E = πb σ P 2 3μ
E = 30 ×10−3 ×π σ p 2 3 × 0.5
(1)有几何尺寸可得 sinθ = 7 4
11-2
300 B
F d
F
11-8 图示托架，AB 杆的直径 d = 4 cm ，长度 l = 80 cm ，两端铰 支，材料为 Q235 钢。
(1) 试根据杆 AB 的稳定条件确定托架的临界力 Fcr ； (2) 若已知实际载荷 F = 70 kN ，杆 AB 规定的稳定安全因数 nst = 2 ，试问此托架是否安全？ 解：
由结构和载荷的对称性，可知：AB、AD、BC、DC 四杆的轴力相 同，且为压杆，BD 杆为拉杆 由结点 C 的平衡可求得压杆中的轴力
11-1
( ) FN = F 2cos 45o = F 2
由结点 B 的平衡可求得拉杆中的轴力 FN′ = 2FN cos 45o = F
2．求结构的临界载荷 对拉杆，
40
l
πd 2 4
λp = π
E =π σp
200 ×103 = 99.3 200
λ0
=
a −σs b
=
304 − 235 1.12
= 61.6
λ = μl = μa = 1×1×103 = 80 i d 4 50 / 4
故 λ0 < λ < λp ，为中柔度杆，
σ cr = a − bλ = 304 − 1.12 × 80 = 214.4MPa ∴ 比较拉杆和压杆的临界应力可知 σ c′r > σ cr ，即此结构的强度受拉
第十一章 压杆稳定
11-2 两 端 固 定 的 矩 形 截 面 细 长 压 杆 ， 其 横 截 面 尺 寸 为 h = 60 mm ， b = 30 mm ，材料的比例极限 σ p = 200 MPa ，弹性模量 E = 210 GPa 。试求此压杆的临界力适用于欧拉公式时的最小长度。 解：
由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在惯性矩最小的
11-6 图 示 为 由 五 根 直 径 d = 50 mm 的 圆 形 钢 杆 组 成 边 长 为 a = 1 m 的正方形结构，材料为 Q235 钢，比例极限σ p = 200 MPa ，屈 服应力 σ s = 235 MPa ，弹性模量 E = 200 GPa 。试求该结构的许用载 荷[F] 。 解： 1．受力分析