学习三角函数的单调性的基本方法
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求三角函数的单调性的基本方法：
函数
sin()y A x k ωϕ=++的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，若ω为
负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在22,2
2
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈和3
22,22
k x k k z π
πππ+
≤≤+∈两个区间分别确定函数的单调增减区间。
1、求函数)
21
3sin(x y -=π在区间[-2π，2π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ωϕω=
+>>）的形式：
)
3
21sin()213sin(π
π--=-=x x y
⑵把标准函数转化为最简函数（
sin y A x =）的形式：
令123z x π
=-
，原函数变为
1sin()sin 23y x z π=--=- ⑶讨论最简函数sin y z
=-的单调性：
从函数
sin y z
=-的图像可以看出，
sin y z
=-的单调增区间为3[2,2]22k k π
πππ+
+，Z ∈K 。所以3
2222
K z K ππππ+≤≤+，
Z ∈K
即
ππππ
π2
3
232122+≤-≤
+K x K ， Z ∈K ∴ππππ3
11
4354+≤≤+K x K ， Z ∈K ⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，ππ3
11
35≤≤x
当k=1时，2223
33
x ππ≤≤ 当k=-1时，ππ3
137-≤≤-x
⑸在要求的区间[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：
因为[2,2]
xππ
∈-，所以该函数的单调增区间为
π
π
3
1
2-
≤
≤
-x
和
π
π2
3
5
≤
≤x
2、求函数
)
2
6
sin(
2x
y-
=
π
在区间[0，π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0
y A x A
ωϕω
=+>>）的形式：
sin(2)sin(2)
66
y x x
ππ
=-=--
⑵把标准函数转化为最简函数（
sin
y A x
=
）的形式：
令
2
6
z x
π
=-
，原函数变为
sin(2)sin
6
y x z
π
=--=-
⑶讨论最简函数
sin
y z
=-
的单调性：
从函数
sin
y z
=-
的图像可以看出，
sin
y z
=-
的单调增区间为
3
[2,2]
22
k k
π
πππ
++
，
Z
∈
K。所以
3
22
22
K z K
π
πππ
+≤≤+，Z
∈
K
即
3
222
262
K x K
ππ
πππ
+≤-≤+，Z
∈
K
∴
15
36
K x K
ππππ
+≤≤+，Z
∈
K
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，
15
36
x
ππ
≤≤
当k=1时，
411
33
x
ππ
≤≤
当k=-1时，
21
36
x
ππ
-≤≤-
⑸在要求的区间[0，π]确定函数的最终单调增区间：
因为
[0,]
xπ
∈，所以该函数的单调增区间为15
36
x
ππ
≤≤。
3、求函数)3
2
1
sin(
π
+
=x
y在区间[-2π，2π]的单调增区间。
解：
⑴把标准函数转化为最简函数（
sin
y A x
=
）的形式：
令
1
23
z x
π
=+
，原函数变为
1
sin()sin
23
y x z
π
=+=
⑵讨论最简函数
sin
y z
=-
的单调性：
从函数
sin
y z
=-
的图像可以看出，
sin
y z
=-
的单调增区间为