数学建模之计算机仿真
计算机仿真与数学建模7月31日
现代仿真技术的进展
现代仿真技术的一个重要进展是将仿真活动扩 展到上述三个方面，并将其统一到同一环境中。 在仿真建模方面，除了传统的基于物理、化学、 生物学、社会学等基本定律及系统辨识等方法 外，现代仿真技术提出了用仿真方法确定实际 系统的模型。例如，根据某一系统在试验中所 获得的输入输出数据，在计算机上进行仿真试 验，确定模型的结构和参数。
控制系统、导航系统和制导系统广泛采用数字计算机， 通过软件进行控制、导航和制导的运算，软件的规模越 来越大，功能越来越强，许多设计思想和核心技术都反 映在应用软件中，因此软件在系统中的测试越显重要。 这种仿真试验将系统用计算机与仿真计算机通过接口对 接，进行系统试验，如图所示。接口的作用是将不同格 式的数字信息进行转换。软件在回路仿真系统一般情况 下要求实时运行。
超市某日用品供需变化模型：
超市中某种用品的“供”与“需”处在平衡 状态时，则“供”与“需”同时受此种日用品的价格 决定。 当价格（ P）较高时，需求（ Q）将比较低； 价格较低时需求将增加。 Q与P之间的关系用“需求” 曲线表示。 S表示供货量按价值的计算。S与P之间的关系 用“供货”曲线表示。 如果供需处于稳定状态，则价格将会停留在 图中两线的交点上，这是因为“供”与“需”大致相 等，如图1-3。
假设上述关系都是线性的，则完整的 超市日用品供需关系模型可以表示成下 面的数学形式：
Q=a-bP S=c+dP S=Q
如果日用品的需求关系（ Q）是一种 呈下降趋势的曲线（非直线）形式， 供货量（ S）是呈上升趋势的曲线形 式（如图1-4）。 这种关系的数学模型形式就不可能 使用普通方程求解的方式得到其解的。 就需要一种有效的数值计算方法得到 模型方程，求出数值解，绘出曲线图， 找出商家有利的日用品价位。
计算机仿真-数学建模
§2 对偶理论与灵敏度分析
• 2.1 原始问题和对偶问题
1.对偶问题 考虑下列一对线性规划模型：
max cT x s.t. Ax b, x 0 (P) min bT y 和 s.t. AT y c, y 0 (D)
称（P）为原始问题，（D）为它的对偶问题。 不太严谨地说，对偶问题可被看作是原始问题的“行列转置”：原始
1.1 线性规划的实例与定义
例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润 分别为4000元与3000元。生产甲机床需用 机器加工， 加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用 三 种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于 加工的机器时数分别为 机器10小时、 机器8小时和 机器 7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润 最大？
为线性函数，故被称x为1,线x2性规0 划问题。
1.2线性规划的Matlab标准形式
• 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最
小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于
号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中
规定线性规划的标准形式为
min cT x such that Ax b
问题中的第 列系数与其对偶问题中的第 行的系数相同；原始目标函数的 各个系数行与其对偶问题右侧的各常数列相同；原始问题右侧的各常数 列与其对偶目标函数的各个系数行相同；在这一对问题中，不等式方向 和优化方向相反。
对偶问题的基本性质
14、 可对行称解性是：最对优偶解问时题的的性对质偶：是设原问是题原。问题的可行解， 2是、对弱偶对问偶题性的：可若行解是，原当问题时的，可是行最解优，解是。对偶问题的可 行5、解对。偶则定存理在：。若原问题有最优解，那么对偶问题也有最 3优、解无；界且性目：标若函原数问值题相（同对。偶问题）为无界解，则其对偶 问6、题互（补原松问弛题性）：无若可分行别解是。原问题和对偶问题的最优解。
数学建模之计算机模拟随机过程
计算机模拟
后勤工程学院数学教研室
实验目的
学习计算机模拟的基本过程与方法。
实验内容
1、模拟的概念。 2、产生随机数的计算机命令。 3、计算机模拟实例。
4、实验作业。
计算机模拟实例
离散系统模拟实例: 排队问题
连续系统模拟实例: 追逐问题 用蒙特卡洛法解非线性规划问题
返回
模拟的概念
对于排队服务系统, 顾客常常注意排队的人是否太多, 等候的时间是否 长, 而服务员则关心他空闲的时间是否太短. 于是人们常用排队的长度、等 待的时间及服务利用率等指标来衡量系统的性能.
单服务员的排队模型：在某商店有一个售货员，顾客陆续来到，
6. 结果比较
理论计算和模拟结果的比较
分类 项目 模 拟 理 论
无效射击 ０．６５ ０．７５
有效射击 ０．３５ ０．２５
平均值 ０．５ ０．３３
虽然模拟结果与理论计算不完全一致，但它却能更加真实地表 达实际战斗动态过程．
用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：
[1] 设计一个逻辑框图，即模拟模型．这个框图要正确反映系统各部 分运行时的逻辑关系。 [2] 模拟随机现象．可通过具有各种概率分布的模拟随机数来模拟随 机现象．
分析： 这是一个概率问题，可以通过理论计算得到相应的 概率和期望值.但这样只能给出作战行动的最终静态结果，而 显示不出作战行动的动态过程.
为了能显示我方20次射击的过程，现采用模拟的方式。
1. 问题分析
需要模拟出以下两件事： [1] 观察所对目标的指示正确与否
模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2．
返回
产生模拟随机数的计算机命令
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数， 命令如下：
数学建模之计算机模拟
武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 制作
数学建模之计算机模拟
• • • • • 什么是计算机模拟 为什么要进行计算机模拟 适用于计算机模拟解决的问题 计算机模拟步骤 计算机模拟应用举例
什么是计算机模拟
• 计算机模拟也叫计算机仿真，是用计算机对一个 系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测 一个系统的行为效果，为决策提供信息的一种方 法，即：用计算机程序直接建立真实系统的模型， 并通过计算了解系统随时间变化的行为或特性。 • 计算机模拟分为连续系统仿真和离散系统仿真两 大类，这里只对离散系统作初步介绍。
9.98 T ( 1)*1000 184.84 6
计算机模拟应用举例
• 事件步长法：以事件发生的时间为增量， 按时间的进展，一步一步地对系统行为进 行仿真，直到预定的时间结点为止。 • 事件步长法中常用事件表法。
– 事件步长法与时间步长法的主要区别：
• 仿真时钟步长不同 • 步长大小对精度的影响不同 • 每步中对系统状态的扫描不同
I f ( x)dx
a b
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
•
例2 排队过程 某商店只有一个收款台，顾客到 达收款台的时间间隔服从均值为4.5 的负指数分布，每个顾客的服务时间 服从均值为3.2、标准差0.6的正态分 布。这里时间单位是分钟，且服务时 间不取负值。以100个顾客接受服务 情况估计每个顾客的平均等待时间、 最大队长、收银员的工作效率。
dST WI * SI WO * SR dT ST 其中，SR V 0 (WI WO)* T
初始条件为ST|T=0=S0
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
•
例1 池水含盐量问题
数学建模系统仿真
数学建模系统仿真1. 简介数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
在实际问题中，我们往往需要通过建立数学模型来描述问题，然后利用模型进行计算和分析，最终得到问题的解决方案或预测结果。
为了验证模型的有效性，实施系统仿真可以提供一个真实环境下的模拟试验。
本文将介绍数学建模系统仿真的概念、目的以及常用的方法和工具。
2. 数学建模系统仿真的概念数学建模系统仿真是指利用计算机模拟方法，对数学建模的过程进行模拟和验证的过程。
通过模拟仿真，可以判断数学模型的有效性、可行性以及预测模型的实际应用效果。
系统仿真不仅可以减少实验成本和周期，还可以提供更加全面和具体的结果，为决策提供科学依据。
3. 数学建模系统仿真的目的数学建模系统仿真的主要目的是验证数学模型的有效性和可行性，并预测模型在实际问题中的应用效果。
具体而言，数学建模系统仿真可以实现以下几个目标：•检验数学模型的适用性：通过系统仿真，可以验证数学模型是否能准确地描述实际问题，并提供合理的结果。
•预测模型在实际应用中的效果：仿真可以模拟实际环境下的运行情况，进一步预测数学模型在实际应用中的效果，并提供参考依据。
•优化模型参数和算法：通过对模型的仿真，可以调整和优化模型的参数和算法，提高模型的精度和效率。
•降低实验成本和周期：系统仿真可以减少实验所需的资源和时间成本，加快模型的研究和优化过程。
4. 数学建模系统仿真的方法和工具4.1 数值模拟数值模拟是数学建模系统仿真中常用的方法之一。
通过将数学模型转化为数值计算问题，并利用计算机进行求解，可以得到模型的数值解。
数值模拟的主要步骤包括离散化、求解差分方程或微分方程、结果验证等。
常见的数值模拟工具包括MATLAB、Python等，它们提供了丰富的数值计算和仿真函数库，方便研究人员进行模型的求解和结果分析。
4.2 仿真软件除了数值模拟方法，还可以利用专门的仿真软件进行数学建模系统仿真。
仿真软件提供了直观的界面和交互式操作，可以更加方便地构建和修改模型，并进行仿真实验。
数学建模-计算机仿真分析
我缉私雷达发现前方（南）c km处有一艘走私船正 以速度a沿直线向东匀速行驶，缉私艇立即以最大速度b 追赶，若用雷达进行跟踪，缉私艇的瞬时速度方向始终 指向走私船，是求缉私艇追逐路线和追赶上的时间。
分析 此问题可以建立微分方程模型，这里我们建立差分方 程模型，用仿真的方法求解。
取时间步长为h，在第i 步时的时间即t=hi，走私船的位
（1）从发出订货到收到货物需隔三天； （2）每辆自行车保管费为0.75元/天，每辆自行车的缺货损
失为1.8元/天，每次的订货费为75元； （3）每天自行车的需求量服从0到99之间的均匀分布； （4）原始库存为115辆，并假设第一天没有发出订货。 若现在已有如下表所示的五种库存策略，请选择一种总费用
求解方法： 1、高数中的方法
f(x0,
x0
y0)
n
i1
Qi(xi x0)
0
((xi x0)2 (yi y0)2
f(x0,
y0
y0)
n
i1
Qi(yi x0)
0
((xi x0)2 (yi y0)2
2、数值计算方法
3、计算机仿真： 离散化，遍历！
16
计算机仿真案例2
例2 （赶火车过程仿真）一列火车从A站经过B站开 往C站，某人每天赶往B站乘这趟火车。已知火车从 A站到B站的运行时间是均值为30min、标准差为 2min的正态随机变量。火车大约在下午1点离开Ａ 站。火车离开时刻的频率分布和这个人到达Ｂ站时
产生一个均值为 ，方差为 的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每 一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态 分布．
•机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、 各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态 分布．
数学建模之计算机仿真PPT课件
件下，利用数学运算模拟系统的运行过程．连
续系统模型一般是微分方程，它在数值模拟中
dy
f (t , y )
最基本的算法是数值积分算法．例如有一系统
dt
y(t ) y
可用微分方程来描述:
0
始条件
0
已知输出量y的初
，现在要求出输出量y随时间变化
的过程y(t)。
n3=poissrnd(4),n=n1+n2+n3
(2) 由排队论知识,敌机到达规律服从泊松分布等价
•注：如果单位时间发生的次数（如到达的人数）服从参数为r的
泊松分布,则任连续发生的两次时间的间隔时间序列服从参数为r
于敌机到达港口的间隔时间服从参数为1/4的指数分布,
的指数分布!
故可由指数分布模拟每架飞机的到达时刻.
况.
•
表1
•
Xk
•
pk
10分钟内顾客到达柜台的情况
0
1
2
0.4 0.3 0.3
• 分析:因为每分钟到达柜台的人数是随机的,所以可用计算
机随机生成一组(0,1)的数据,由X的概率分布情况,可认为
随机数在(0,0.4)范围内时没有顾客光顾,在[0.4,0.7)时,有
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2 离散型随机变量的模拟
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1 理论介绍
• 最直观的想法是：首先将时间离散化，令
•
hk tk 1 tk
，称为第k步的计算步距
（一般是等间距的），然后按以下算法计算状态
tk 1
y(tk 1 ) yk 1 y上的近似值:
变量在各时刻
k f (tk , yk )(tk 1 tk )
计算机仿真技术利用计算机进行系统仿真和建模
计算机仿真技术利用计算机进行系统仿真和建模计算机仿真技术：利用计算机进行系统仿真和建模计算机仿真技术是一种利用计算机进行系统仿真和建模的方法。
它通过对实际系统的数学模型进行计算机仿真，以评估系统的性能、预测系统的行为，并为系统的优化提供支持。
在各个领域中，计算机仿真技术都起到了关键的作用，如交通运输、航空航天、医学、经济等等。
本文将介绍计算机仿真技术的基本概念、应用领域以及一些具体案例。
一、计算机仿真技术的基本概念计算机仿真技术是一种数学模型在计算机上进行计算和模拟的方法。
它包括以下几个主要的概念：1. 数学模型：数学模型是对实际系统的抽象描述。
通过使用数学公式和方程，可以将实际系统中的各种因素和变量表示出来。
数学模型可以是线性的或非线性的，可以包含随机因素或确定性因素。
2. 系统仿真：系统仿真是将数学模型在计算机上进行计算和模拟，以获得系统的行为和性能。
在仿真过程中，可以通过改变模型的参数和输入条件，观察系统的响应和输出结果。
系统仿真可以是连续的或离散的，可以是静态的或动态的。
3. 建模：建模是将实际系统转化为数学模型的过程。
建模可以通过观察实际系统的行为和特征，并将其转化为数学表达式。
建模的过程中，需要确定模型的假设和限制，并进行适当的简化和抽象。
二、计算机仿真技术的应用领域计算机仿真技术在各个领域中都具有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用领域。
1. 交通运输：在交通运输领域，计算机仿真技术可以用于模拟交通流量、研究交通网络的拥堵情况，并优化交通信号配时系统。
通过仿真，可以评估不同的交通管理策略，并提供决策支持。
2. 航空航天：在航空航天领域，计算机仿真技术可以用于飞机设计和飞行模拟。
通过仿真，可以评估飞机的气动性能、结构强度和飞行特性，提高飞机的安全性和性能。
3. 医学：在医学领域，计算机仿真技术可以用于人体生理模拟、疾病模拟和药物研发。
通过仿真，可以预测药物对人体的作用和副作用，优化药物剂量和治疗方案。
数学建模计算机模拟
数学建模计算机模拟数学建模和计算机模拟是现代科学研究中非常重要的工具。
这两种技术能够以精确和有效的方式解决各种实际问题，从自然科学到社会科学，从工程学到金融学。
本文将探讨数学建模和计算机模拟的基本概念，以及它们在实际问题中的应用和未来的发展趋势。
一、数学建模数学建模是一种将现实问题转化为数学模型的过程。
它涉及到建立、使用和改进数学模型，以解释现象、预测行为、优化决策等。
数学建模的主要步骤包括：理解问题、建立模型、验证模型、应用模型和评估模型。
在自然科学中，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。
例如，在物理学中，我们可以通过建立微分方程来描述物体的运动和力之间的关系；在化学中，我们可以通过建立量子力学模型来预测分子的结构和化学反应的速率；在生物学中，我们可以通过建立基因网络模型来理解生物体的复杂行为。
在社会科学中，数学建模也被广泛应用于经济学、社会学、心理学等学科。
例如，在经济学中，我们可以通过建立计量经济学模型来预测市场的走势和解释经济现象；在社会学中，我们可以通过建立人口统计学模型来预测人口的变化和规划社会政策；在心理学中，我们可以通过建立认知心理学模型来理解人类的学习和行为。
二、计算机模拟计算机模拟是一种利用计算机来模拟现实世界中的现象和过程的技术。
它涉及到对现实问题的数学建模、编程、运行模拟、分析和解释结果等步骤。
计算机模拟可以用来预测行为、优化决策、测试假设等。
计算机模拟广泛应用于各个领域，包括物理学、化学、生物学、社会科学等。
例如，在物理学中，我们可以通过计算机模拟来模拟物体的运动和力之间的关系；在化学中，我们可以通过计算机模拟来预测分子的结构和化学反应的速率；在社会学中，我们可以通过计算机模拟来模拟社会系统的动态行为。
三、应用案例让我们以一个具体的案例来说明数学建模和计算机模拟的应用。
假设我们想要设计一座桥梁，我们需要考虑桥梁的结构、材料、施工方法等因素。
为了优化设计，我们可以使用数学建模和计算机模拟。
数学建模和计算机仿真
模拟试验有两种结果，每种结果出现的概率都是1/2． 投掷1枚硬币的方式予以确定： 当硬币出现正面时为指示正确，反之为不正确．
（2）当指示正确时，我方火力单位的射击结果情况
模拟试验有三种结果：毁伤1门火炮的可能性为 1/3(即2/6)，毁伤两门的可能性为1/6，没能毁伤敌 火炮的可能性为1/2(即3/6)． 可用投掷骰子的方法来确定： 如果出现的是１、２、３点，则认为没能击中敌人； 如果出现的是４、５点，则认为毁伤敌人一门火炮； 若出现的是６点，则认为毁伤敌人两门火炮．
简单的例子——数学仿真
2. 符号假设
i： 要模拟的打击次数； k1：没击中敌人火炮的射击总数； k2：击中敌人一门火炮的射击总数；
k3：击中敌人两门火炮的射击总数．
E： 有效射击比率； E1：20次射击平均每次毁伤敌人的火炮数．
简单的例子——数学仿真
3. 模拟框图
初始化:i=0, k1=0, k2=0, k3=0 i=i+1 Y
初始化:i=0,k1=0，k2=0,k3=0
i=i+1
Y R2<3/6 R1<=0.5 N
k1=k1+1
R2=? R2>5/6 其它 k2=k2+1 k3=k3+1
k1=k1+1
Y i＜20? N E=(k2 k3 ) E1= 0×k1 +1 × k2 +2 × k3 20 20 20 20 停止
简单的例子——计算机仿真
投掷硬币的计算机模拟 1．产生服从U（0，1）的随机数R1 2．将区间[0，1]等分： 若 0 R1 0.5，则对应硬币正面
若 0.5 R1 1 ，则对应硬币反面
简单的例子——计算机仿真
数学建模之计算机仿真
• 对于随机性系统，可以通过大量的重复试验，获 得其平均意义上的特性指标。
3.适用计算机仿真解决的问题
• 难以用数学公式表示的系统，或者没有建立和求解数学 模型的有效方法．
• 虽然可以用解析的方法解决问题，但数学的分析与计算 过于复杂，这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方 法．
• 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程，以估 计某些参数对系统行为的影响．
计算机仿真的基本概念
计算机仿真通过建立数学模型、编 制计算机程序实现对真实系统的模拟, 从而了解系统随时间变化的行为或特 性。
计算机仿真的基本概念
仿真举例
计算机仿真反映出新的科学技术的时代特
征,它的应用为各个领域带来新气象和成果。
应用的领域有：
航空管理,
公交车的调度,
飞机设计,
动画设计,
三峡的安全、生态, 道路的修建,
计算机仿真的基本概念
欧洲鼠疫流行时死亡无数
计算机仿真的基本概念
鼠疫期间贵族纷纷弃城逃往
计算机仿真的基本概念
疫如此让人恐怖，那么有没有什么好的预测方式呢？ 计算机仿真就是一个很好的预测方法。 研究发现，鼠疫是由老鼠身上一种特殊的跳蚤传播的。 跳蚤的多少决定是否发生鼠疫
跳蚤 老鼠
水草
我们可以用计算机根据一个地区的气候模拟出当年此 地水草的情况就可以预测出是否有鼠疫要发生。
数学中的数学建模与仿真
数学中的数学建模与仿真数学建模与仿真是数学领域中一种重要的研究方法和技术手段，通过建立数学模型，对现实问题进行抽象和描述，然后运用计算机仿真技术进行模拟和分析，以得出问题的解决方案或预测结果。
本文将介绍数学建模与仿真的概念、应用领域以及在科学研究和工程技术中的重要性。
一、数学建模的概念数学建模是将实际问题用数学语言和符号进行描述和抽象的过程。
它可以将复杂的实际问题简化为数学模型，通过对模型进行数学分析和计算，得出问题的解决方案。
数学建模的核心是建立合适的数学模型，模型的选取要符合实际问题的特点和要求，同时要具备可计算性和可行性。
二、数学建模的应用领域数学建模广泛应用于各个领域，涉及到工程、科学、经济、环境、医学等多个研究领域。
在工程领域，数学建模可以用于设计优化、工艺模拟、性能评估等方面；在科学研究中，数学建模可以帮助理解自然现象、预测实验结果、提出假设等；在经济领域，数学建模可以用于市场分析、风险评估、投资决策等方面；在环境领域，数学建模可以用于气候模拟、环境评估、资源管理等方面；在医学领域，数学建模可以用于疾病传播模拟、药物作用机制研究等方面。
三、数学建模的重要性数学建模在科学研究和工程技术中具有重要的应用价值和意义。
首先，数学建模可以帮助人们更好地理解和解释复杂的现实问题，揭示问题背后的规律和机制。
其次，数学建模可以帮助人们预测和控制系统的行为，了解不同因素之间的相互作用和影响，从而优化系统性能和改进工艺流程。
再次，数学建模可以提高科学研究和工程设计的效率和准确性，减少试验和实践的成本。
最后，数学建模也可以培养人们的抽象思维能力和问题解决能力，促进学科交叉和跨学科的融合。
四、数值仿真的概念与方法数值仿真是利用计算机进行数值计算和模拟，通过数值方法求解数学模型，并得到结果的过程。
数值仿真可以分为离散仿真和连续仿真两种类型。
离散仿真一般采用事件驱动的模拟方式，通过模拟事件的发生和处理来描述系统的行为；连续仿真则采用时间连续的模拟方式，通过对连续函数的逼近来描述系统的行为。
人类记忆模型的数学建模与计算机仿真技术
人类记忆模型的数学建模与计算机仿真技术人类记忆是一个神秘而又有趣的领域。
我们的记忆能力决定了我们的认知水平和行动力，也影响了我们的身心健康。
然而，人类记忆是如何工作的呢？这是一个需要深入探讨的问题。
在本文中，我们将讨论人类记忆模型的数学建模与计算机仿真技术。
人类记忆可以分为短期记忆和长期记忆两种。
短期记忆一般指短暂的记忆，通常能够保存15秒左右，而长期记忆指的是持久的记忆，能够保存数小时、数天、数年甚至一生。
短期记忆和长期记忆是互相关联的，短期记忆是长期记忆的前置条件，也是长期记忆的来源之一。
事实上，人类记忆是由许多部分组成的。
其中最基本的是神经元，它是大脑中的基本单元。
大脑中的神经元数量非常庞大，据估算，人类大脑中的神经元数量可达1000亿个。
这些神经元之间通过连接进行信息传递，这些连接称为突触。
在认知过程中，神经元的突触会随着信息的传递而发生变化，这种变化被称为突触可塑性。
这种可塑性是一种适应性学习过程，人类在接触新事物时会通过不断加强或削弱突触连接来反复强化或减弱神经回路，以适应未来的认知任务。
在计算机仿真人类记忆时，需要将神经元和突触建模成数学模型。
这些数学模型基于人类神经元的活动特征来展示神经元在短期记忆和长期记忆中的作用。
需要使用数学仿真来模拟人类大脑中神经元的活动情况，从而模拟出人类记忆的形成过程。
数学模型需要考虑神经元和突触的活动特征。
神经元的活跃程度通常可以用一组微分方程来描述。
而突触的可塑性则是一个更为复杂的问题，需要考虑若干个参数，例如突触大小、突触形状、突触位置等。
在计算机仿真运行时，需要使用数值计算方法来求解这些微分方程和复杂方程，从而得到模拟结果。
通过计算机仿真，可以重现人类记忆的形成过程。
这种仿真可以使我们更好地理解人类记忆的本质，并有望为疾病治疗、认知工程和智能系统等领域提供理论和实践上的支持。
总之，人类记忆模型的数学建模和计算机仿真技术是一个极具挑战性的领域。
随着计算机硬件和软件的发展，我们有望在未来开发出更为精确、可靠、高效的仿真模型，这将为我们更深入地了解人类认知和生物学原理提供更为有力的工具。
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例2 （赶火车过程仿真）一列火车从A站经过B站开
往C站，某人每天赶往B站乘这趟火车。已知火车从
A站到B站的运行时间是均值为30min、标准差为
2min的正态随机变量。火车大约在下午1点离开Ａ
站。火车离开时刻的频率分布和这个人到达Ｂ站时
刻的频率分布如下表所示。问他能赶上火车的概率
有多大？
出发时刻
1:00
泊松分布 P(λ )
R = poissrnd (λ, m , n)
以上语句均产生m× n 的矩阵．
2:案例分析
例1: unifrnd(2,3)
unifrnd(1,32,1,4)
normrnd(1,2)
normrnd(1,2,2,3)
ans =2.8132
ans =1.3057
ans =
(dynamic simulation).数值积分中的蒙特卡洛方法是
典型的静态仿真．动态仿真又分为连续系统仿真和离
散系统仿真．连续系统是指状态变量随着时间连续变
化的系统，例如传染病的检测与预报系统.离散系统是
指系统状态变量只在有限的时间点或可数的时间点上
发生变化的系统,例如排队系统.
概述
仿真系统，必须设置一个仿真时钟
过于复杂,这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方法.
(3)希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程,以估
计某些参数对系统行为的影响.
(4)难以在实际环境中进行试验和观察时,计算机仿真是唯
一可行的方法,如太空飞行的研究.
(5)需要对系统或过程进行长期运行比较,从大量方案中寻
找最优方案.
计算机仿真案例1
r=rand(1,10);
for i=1:10;
if r(i)<0.4
n(i)=0;
elseif 0.4<=r(i)&r(i)<0.7
n(i)=1;
else n(i)=2;
end;
end
r
n
三:连续系统的模拟-时间步长法
对连续系统的计算机模拟是近似地获取系统状态
在一些离散时刻点上的数值．在一定假设条件下，
四: 离散系统的模拟-事件步长法
五：蒙特卡洛方法
一: 准备知识:随机数的产生
由于仿真研究的实际系统要受到多种随机因素的
作用和影响,在仿真过程中必须处理大量的随机因
素.要解决此问题的前提是确定随机变量的类型和
选择合适的随机数产生的方法.
对随机现象进行模拟,实质是要给出随机变量的模
拟,也就是说要利用计算机随机产生一系列数值,使
(simulate clock)，它能将时间从一个时刻
向另一个时刻进行推进，并且能随时反映
系统时间的当前值．其中，模拟时间推进
方式有两种:时间步长法(均匀间隔时间推
进法,连续系统常用)和事件步长法(下次事
件推进法,离散系统常用) ．
主要内容
一:
准备知识:随机数的产生
二:随机变量的模拟
三:连续系统的模拟-时间步长法
的影响．计算机不但使问题的求解变得更加方便、快
捷和精确，而且使得解决实际问题的领域更加广
泛．计算机适合于解决那些规模大、难以解析化以及
不确定的数学模型．例如对于一些带随机因素的复杂
系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与
面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应
用，这时仿真几乎成为人们的唯一选择．在历届的美
n3=poissrnd(4),n=n1+n2+n3
(2) 由排队论知识,敌机到达规律服从泊松分布等价于敌
机到达港口的间隔时间服从参数为1/4的指数分布,故可由
指数分布模拟每架飞机的到达时刻.
•注：如果单位时间发生的次数（如到达的人数）服从参数为r的
泊松分布,则任连续发生的两次时间的间隔时间序列服从参数为r
-0.2141 0.8248 -0.1778
>>
7.1604
2:案例分析
例2:敌空战部队对我方港口进行空袭,其到达规律服从泊松
分布,平均每分钟到达4架飞机.
(1)模拟敌机在3分钟内到达目标区域的数量,以及在第
1,2,3分钟内各到达几架飞机;
(2)模拟在3分钟内每架飞机的到达时刻.
分析:(1) n1=poissrnd(4), n2=poissrnd(4),
随机变量，令
布．由此，若已知Y的概率密度为 f ( y ) ，由
Y F 1 ( X ) 可得
X F (Y )
Y
f ( y )dy
注：指数分布的密度函数
如果给定区间(0,1)上均匀分布的随机数 ri ,则
具有给定分布Y的随机数 yi 可由方程
r
f ( y ) dy
由此可知, 事件 p ( n 1) R p ( n ) 和事件 X xn
有相同的发生的概率.因此我们可以用随机变量R落在
小区间内的情况来模拟离散的随机变量X的取值情况.
因此我们可以用随机变量R落在小区间内的情
况来模拟离散的随机变量X的取值情况．具体
执行的过程是：
产生一个(0,1)上均匀分布的随机数 r(简称随机
hk tk 1 tk
，称为第k步的计算步距（一般
是等间距的），然后按以下算法计算状态变量在各
时刻 tk 1 上的近似值:
y (tk 1 ) yk 1 yk f (tk , yk )(tk 1 tk )
其中初始点 (t0 , y0 ), k 1, 2,
按照这种作法即可
n
p (0) 0, p ( n ) pi , n 1, 2,3 ,将p ( n )作为分点, 将区间(0,1)分为
i 1
一系列小区间( p ( n 1) , p ( n ) ).对于均匀的随机变量R U (0,1), 则有
P p ( n 1) R p ( n ) p ( n ) p ( n 1) , n 1, 2
利用数学运算模拟系统的运行过程．连续系统模
型一般是微分方程，它在数值模拟中最基本的算
法是数值积分算法．例如有一系统可用微分方程
dy
f (t , y )
来描述:
已知输出量y的初始条件
，现
dt
在要求出输出量y随时间变化的过程y(t)。
y (t ) y
0
0
1 理论介绍
最直观的想法是：首先将时间离散化，令
数)，若p(n-1)<r≤ p(n)则理解为发生事件(X=xn)．
于是就可以模拟随机变量的取值情况．
2 离散型随机变量的模拟
2
例 3 :随机变量 X 0,1,
表示每分钟到达银行柜台的顾客数.X的
分布列见下表,试模拟10分钟内顾客到达柜台的情况.
表1 10分钟内顾客到达柜台的情况
数学建模之
China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling
一个问题
我们做一个实验:把一
个硬币掷一万次, 统计
两个面出现的次数。
这样做很简单但却需
要大师时间，有没有
一咱较快的办法把这
个实验完成呢？
掷硬币仿真流程图
概述
计算机科学技术的迅猛发展，给许多学科带来了巨大
F 1 ( X )
1 连续型随机变量的模拟
反函数法
一般说来，具有给定分布的连续型随机变量
可以利用在区间(0,1)上均匀分布的随机数来模
拟．最常用的方法是反函数法．
由概率论的理论可以证明，若随机变量Y有连续
的分布函数F(y)，而X是区间(0,1)上均匀分布的
1
Z
F
( X ) ，则Z与Y有相同的分
的指数分布!
泊松分布的期望是λ，根据到泊松分布和指数分布的关系，可以
推出指数分布的期望是1/λ。
2:案例分析
clear
t=0;
j=0; %到达的飞机数
while t<3
j=j+1
t=t+exprnd(1/4)
end
二:随机变量的模拟
在很多实际问题中，我们需要模拟服从一定分布的随机变
求出整个的曲线．这种最简单的数值积分算法称为
欧拉法．除此之外，还有其他一些算法．
y (tk 1 ) yk 1 yk f (tk , yk )(tk 1 tk )
1 理论介绍
因此，连续系统模拟方法是：首先确定系统的连续
状态变量，然后将它在时间上进行离散化处理，并
由此模拟系统的运行状态．模拟过程分为许多相等
Xk 0 1 2
pk 0.4 0.3 0.3
分析:因为每分钟到达柜台的人数是随机的,所以可用计算机随
机生成一组(0,1)的数据,由X的概率分布情况,可认为随机数在
(0,0.4)范围内时没有顾客光顾,在[0.4,0.7)时,有一个顾客光
顾,在[0.7,1)时,有两个顾客光顾.
从而有MATLAB程序:
2 离散型随机变量的模拟
它们服从一定的概率分布,称这些数值为随机数.
最基本,最常用的是(0,1)区间内均匀分布的随机数.
其他分布的随机数均可利用它来产生.