图形的相似题型总结资料
初三相似的图形知识点归纳总结
初三相似的图形知识点归纳总结相似的图形在初中数学中占据非常重要的位置。
相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。
在初三学习过程中，我们接触到了许多涉及相似图形的知识点。
本文将对初三相似的图形知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、相似三角形的判定条件1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似定理：如果两个三角形的一个角对应对应地相等，并且两个对应边成比例，则它们相似。
3. 相似三角形的对应边的比例关系：如果两个三角形相似，那么它们的对应边的长度之比等于相似比。
即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)二、相似三角形的性质和应用1. 相似三角形的边长比例性质：两个相似三角形的相应边的比等于它们的相似比。
即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)2. 相似三角形的高线比例性质：两个相似三角形的高线与底边之比等于相似比。
即\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} =\frac{CA}{C'A'}\)3. 相似三角形的面积比例性质：两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。
即\(\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AB}{A'B'}\right)^2 =\left(\frac{BC}{B'C'}\right)^2 = \left(\frac{CA}{C'A'}\right)^2\)4. 利用相似三角形性质解决实际问题。
如影子定理、塔楼高度的测量等。
中考数学知识点总结图形的相似
中考数学知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。
它不仅在几何题目中频繁出现，也是解决实际问题的有力工具。
下面就让我们一起来详细了解一下图形相似的相关知识。
一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。
比如说，两个正方形，它们的边长可能不同，但形状是一样的，这就是相似图形。
相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形就是相似多边形。
二、相似三角形1、相似三角形的判定（1）两角分别相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（1）相似三角形对应边的比等于相似比。
（2）相似三角形对应角相等。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三、相似三角形的应用1、测量高度在实际生活中，我们常常需要测量一些物体的高度，比如旗杆、建筑物等。
这时就可以利用相似三角形的知识来解决。
通过测量一些已知长度的线段和对应的角度，构建相似三角形，从而求出物体的高度。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量距离。
比如，在河的一岸要测量到对岸某一点的距离，可以在这一岸选取两个点，构建相似三角形，通过测量已知边的长度和角度，来计算出河的宽度。
四、位似图形1、位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
（2）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。
3、位似图形的作图在位似图形的作图中，要先确定位似中心，然后根据位似比确定对应点的位置，最后连接各点得到位似图形。
相似图形 总结
相似图形1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m,n，那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.（比例的基本性质）如果，那么ad=bc如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么2. 黄金分割：点Ｃ把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点．3. 相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比4. 相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形探索三角形相似的条件：1：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法.2：两角对应相等的两个三角形相似.3：三边对应成比例的两个三角形相似.4：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.例：依据下列各组条件，判定△ABC与△A′B′C′是不是相似，并说明为什么.（1）∠A=120°,AB=7 AC=14 ；∠A′=120° ,A′B′=3 A′C′=6,（2）AB=4 ,BC=6 ,AC=8 ；A′B′=12 ,B′C′=18 ,A′C′=24测量旗杆的高度;略5.相似多边形的周长等于相似比,面积比等于相似比的平方.例：如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长。
自测题一、 选择题1.如右图，∆ABC 与∆DEF 是位似图形，相似比为2：3，已知AB=4，则DE 的长等于（ ） A.6 B.5 C.9 D.38 2.如图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ） A.12m B.10m C.8m D.7m3.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.54.如图，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则:ADE ABC S S =△△ A. 1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D. 2∶35.若ABC DEF △∽△，ABC △与DEF △的相似比为１∶2，则ABC △与DEF △的周长比为A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.6.在△A BC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上且AD = 2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与ΔABC 相似，那么AE 等于 A.38 B.23 C.38或23 D.83或327.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 A.小明的影子比小强的影子长 B.小明的影子比小强的影子短 C.小明的影子和小强的影子一样长 D.无法判断谁的影子长8.等腰A B C ∆∽DEF ∆，其相似比为3 ：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）A 、3 ：4B 、4 ：3C 、1 ：2D 、2 ：19. 在ABC ∆和///C B A ∆中， 72684068//=∠=∠=∠=∠C A B A ，，，这两个三角形（ ） A 、既全等又相似 B 、相似 C 、全等 D 、无法确定 10.两个相似多边形面积之比为5：1，周长之比为m ：1，则=m5（ ）A 、1B 、55 C 、5 D 、511.下列说法正确的是（ ）A 、分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上取点D 、E ，使DE ∥BC ，则△ADE 是△ABC 放大后的图形 B 、两位似图形的面积比等于位似比 C 、位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D 、位似图形的周长之比等于位似比的平方 12.下列命题中正确的是（ ）①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 13.下列命题中的真命题是（ ）A 、两个等腰三角形相似B 、两个直角三角形相似C 、有一个锐角是30 的两个等腰三角形相似D 、有一个内角是30 的两个直角三角形相似 14.已知0432≠==c b a ,则c b a +的值为( ) A 、54B 、45C 、 D.21 15.过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是( )A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条16.如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，则图中相似的三角形共有（ ）A 、7对B 、6对C 、5对D 、4对17.如图，把△PQR 沿着PQ 的方向平移到△P ′Q ′R ′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR 面积的一半，若PQ，则此三角形移动的距离PP ′是（ ）A 、12B C 、1D 118.路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度（ ） A ．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米 19.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）A ．14B ．41C ．13 D ．34 二、填空题1.在同一时刻，小明测得一棵树的影长是身高为1.6米的小华影长的4.5倍，则这棵树的高度为_________。
图形的相似知识点总结和练习
(1)（3）-1 -相似三角形基本知识点总结及练习知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB CD 的长度分别是 m n ,那么就说这两条线段的比是 AB:CD= m ： n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm 求线段AB 与CD 的比。
2. 比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 % C （或a ：b db=c ： d ）,那么，这四条线段 a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中i a=2cm,b=3cm,c=6cm 求线段d 的长度。
（2）比例性质（把比的前项、后项交换）3. 更比性质（交换比例的内项或外项a b—=—，（交换内项） c d—=c ，（交换外项） b ad/•（同时交换内外项） c a4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）此性质的证明运用了“设 k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法. 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零. 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，1.基本性质：a =c ub dad= bc （两外项的积等于两内项积）注意: ⑵ 再利用等比性质也成立.1>1>例：已知^「f=5（b d "0），求屮的值5.合比性质:菁沽专=宁（分子加（减）分母,分母不变）知识点二：平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
用符号语言表示：•/ AD//BE//CF,2.推论：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
AG 2例：如图，在四边形 ABCD 中, AD//BC,EF//BC, 一二-DB EC AD EA AB AC 更加广泛，条件是平行. EG"作法：①过点 B 作 BDL AB, 使一;L知识点三：相似形多边形1. 定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。
北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳
阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。
相似知识点总结中考
相似知识点总结中考1. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们就是相似三角形。
相似三角形有以下性质：- 对应边的比例相等：如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们对应边的长度之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
- 相似三角形的高线、中线和角平分线的比例：在相似三角形中，高线、中线和角平分线的比例等于相似三角形任意两条对应边的比例。
2. 相似多边形相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
当两个多边形的对应角度相等且对应边的比例相等时，它们就是相似多边形。
相似多边形的性质与相似三角形类似，对应边的比例相等。
3. 相似图形的应用相似图形在生活和工作中有着广泛的应用，例如地图上的放大和缩小、相似三角形的测量、相似多边形的制图等。
4. 相似比相似比是指两个相似图形中对应边的比值。
在相似图形中，对应边的比值即为相似比。
当两个图形相似时，它们的相似比是相等的。
5. 直角三角形的三线比在直角三角形中，三线比是指三角形的三条高、中线和角平分线之间的比例关系。
在相似直角三角形中，三线比仍然成立。
6. 相似多边形的计算在计算相似多边形的过程中，可以利用相似三角形和相似比的性质，通过对应边的比例关系来求解未知变量。
7. 相似图形的证明在证明相似图形时，可以利用对应角度相等和对应边的比例相等的性质来进行推导和证明。
8. 相似图形的判定判定两个图形是否相似，需要验证它们的对应角度是否相等，对应边的比例是否相等，从而得出相似的结论。
9. 相似图形的变换相似图形的变换是指对已知图形进行等比例放大或缩小，保持图形的形状不变。
通过相似变换，可以得到不同大小的相似图形。
10. 相似图形的应用实例相似图形在生活中有着广泛的应用，例如建筑制图、地图测量、影视特效等方面都有相似图形的应用。
以上是关于相似知识点的总结，希望对你有所帮助。
相似图形的知识点总结(16篇)
相似图形的知识点总结（16篇）篇1：相似图形的知识点总结相似图形的知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理篇2：相似图形相似图形教学交流课教案:第四章相似图形教学目标：1、知道线段比的概念。
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。
在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。
本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。
1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。
- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。
2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。
以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。
- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。
- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。
3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。
黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。
- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。
- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。
4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。
当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。
常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。
- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。
图形的相似知识点总结
图形的相似考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cb b a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2、比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项） db c a =（交换内项）⇒=dcb a ac bd =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：cd a b d c b a =⇒= （4）合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ban f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
nm b a =d c b a =推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
图形的相似知识点总结及练习
图形的相似知识点总结及练习1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m：n例：已知线段AB=2、5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。
2、比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。
（2）比例性质1、基本性质: （两外项的积等于两内项积）2、反比性质：(把比的前项、后项交换)3、更比性质(交换比例的内项或外项)：4、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变、）如果，那么、注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法、 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零、 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立、例：已知5、合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）、知识点二：平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
用符号语言表示：∵AD//BE//CF,∴ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF2、推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
（1）是“A”字型（2）是“8”字型经常考，关键在于找几何语言：由DE∥BC可得：、此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行、例：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,AGGC=23，则DFDC=_______。
知识点三：相似形多边形1、定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。
2、相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。
图形的相似 知识归纳+真题解析
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相 似． 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比. 4.相似多边形的性质 (1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.位似图形 （1）定义 两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中 心，对应边的比叫做位似比．位似是一种特殊的相似. （2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 (3)位似图形对应边成比例； (4)位似图形对应角相等. 一 点；
a c b d
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等， 对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么 这两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似；
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （ 二 ） 1． 相 似 图 形 定 义 ： 形 状 相 同 的 图 形 称 为 相 似 图 形 ． 相 似 图 形 的 性 质 ： 对 应 角 ，对应边的比 ．
2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应 似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或延长线 )相交，所构成的三角形与原三角 形 ． ，那么这两个三角形相 ，且夹角 ，那么这两 ，那么这两个三角形相
相似知识点与例题总结
相似知识点与例题总结一、相似三角形的性质及判定定理相似三角形是指有相同形状但大小不同的三角形。
对于两个相似三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。
下面是相似三角形的一些性质及判定定理。
1. 相似三角形的性质a) 对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
b) 对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 判定相似三角形的定理a) AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。
b) SSS相似定理：如果两个三角形的三条边成比例，则它们是相似三角形。
c) SAS相似定理：如果两个三角形的两条边成比例并且夹角相等，则它们是相似三角形。
d) 直角三角形的相似定理：如果两个直角三角形的两个锐角分别相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的例题1. 已知在△ABC和△A'D'E'中，∠A=∠A', ∠B=∠D, AB=DE，则△ABC ∽△A'D'E'。
(AA相似定理)证明：∠A=∠A', ∠B=∠D，所以△ABC∽△A'D'E'。
2. 已知在△ABC和△A'D'E'中，AB/DE=BC/D'E'=AC/E'F'，则△ABC∽△A'D'E' ∽△A'F'E'。
(SSS相似定理)证明：AB/DE=BC/D'E'=AC/E'F'，根据SSS相似定理可得△ABC∽△A'D'E'，△A'D'E'∽△A'F'E'。
3. 已知在△ABC和△A'D'E'中，∠A=∠A', AC/A'D'=BC/B'C'，则△ABC ∽△A'D'E'。
图形的相似知识点总复习含答案
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．
4．如图所示， 中， ，顶点 分别在反比例函数 与 的图象器上，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO= ，S△AOC= ，根据相似三角形的性质得到= ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=
∴△ADE≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB= ，∠FAB+∠BFA= ，
∴∠DAO=∠BFA，
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD∽△EAD
∴
故选：D
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．
解：设AC与BD交于O点，
当P在BO上时，
∵EF∥AC，
∴ 即 ，
∴ ；
当P在OD上时，有 ，
∴y= ．
故选C．
13．如图， 是矩形 中 边的中点， 交 于点 的面积为 ，则四边形 的面积为（）
3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，其中正确的结论是（ ）
相似图形知识点和题型分析报告
相似图形的知识与题型知识点1：比例线段的相关概念1.比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的a b c d 、、、比相等，即（或）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
a cb d=:=a b c d :注意：⑴ 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵ 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶ 比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，a d cb ,,那么应得比例式为：．ad c b =2.比例中项：如果（或），则b 叫做a 、c 的比例中项。
cbb a =ac b =2知识点2：比例的性质基本性质：(1)；bc ad d c b a =⇔=::(2)．b ac b c c a ⋅=⇔=2::反比性质（把比的前项、后项交换）：．cd a b d c b a =⇒=合比性质：．发生同样和差变化比例仍成立。
ddc b b ad c b a ±=±⇒=等比性质：若，则.)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a ban f d b m e c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，bc ad =d c b a ::=d b c a ::=b a d c ::=c a d b ::=，，，．c d a b ::=b d a c ::=a b c d ::=a c b d ::=说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据．②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法，设＝k ，那么a ＝kb ，c ＝kd ，ad ＝kb×d ＝b×kd ＝bc dcb a =知识点3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
图形的相似知识点总结与练习
相似三角形基本知识点总结及练习知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。
2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。
（2）比例性质1.基本性质:bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两项积） 2.反比性质： cda b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例：已知的值求fd be c af d b f e d c b a ++++≠++===),0(545.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
相似图形知识点总结文库
相似图形知识点总结文库一、相似图形的定义相似图形是指两个或多个图形之间的形状相同，但大小可能不同的情况。
在几何中，通常用符号∼表示两个相似图形之间的关系。
例如，若图形A和图形B是相似的，则可以表示为A∼B。
相似图形的定义可以用比例来表达，即如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们的对应边的比例是相等的，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
二、相似图形的判定1. AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
2. AA相似判定法：如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们是相似的。
3. SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
4. 直接判定法：如果两个四边形的对应边成比例，那么它们是相似的。
在判定相似图形时，可以根据题目条件选择不同的方法进行判定，以确定两个或多个图形之间是否是相似的关系。
三、相似图形的性质1. 相似三角形的性质：(1) 相似三角形的对应角相等；(2) 相似三角形的对应边成比例；(3) 相似三角形的高线成比例；(4) 相似三角形的中位线成比例。
2. 相似四边形的性质：(1) 相似四边形的对应角相等；(2) 相似四边形的对应边成比例。
3. 相似图形的周长、面积与比例关系：(1) 如果两个图形相似，那么它们的周长之比等于它们的任意一条边的比；(2) 如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于它们的任意一条边的比的平方。
四、相似图形的应用1. 图形的放大与缩小：在工程设计、地图制作等领域，相似图形的概念经常被用来进行图形的放大与缩小，以便得到需要的大小。
2. 测量与估算：利用相似图形的性质，可以利用已知的尺寸进行图形的测量与估算，从而得到未知尺寸的大小。
3. 面积与体积的计算：利用相似图形的面积与比例关系，可以方便地计算出图形的面积与体积。
4. 几何问题的解决：在几何问题中，利用相似图形的性质，可以更快速地解决一些有关形状和比例的问题，如建筑设计、城市规划等。
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初三数学图形的相似题型总结
【回顾知识点】比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质、13、平行线分线段成比例2、黄金分割点；
例3（2）图例4（1）图例4（2）图、图形的位似4相似三角形的性质与判定；3、
题型四：相似三角形性质的考查【例题讲解】例4、（1）如图，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上的点，DE题型一：比例性质的考查⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△
DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）?（）、知、例1（1）已线段ab，且误列，则下说法错的是3b3:323:、、 D、A、1:3 B2：3 C2b D．3a=2b ．a=C
≠，b=3cm A．a=2cm，B．a=2kb=3k（k0）32，48cmABCDE的中点，若△的面积为DE2）如图，是△ABC的中位线，M是（aa3?3
5：5 C2B：( 、如2果那，么等于)A．32 ．：3 ．3：D．2.
_______ cm则△DMN的面积为bb2a?ac?cba?b?（3）如图，已知△ADE∽△ABC，AD=6cm，DB=3cm，BC=9.9cm，∠A=70度，k???）为的，则k值（）若（3bca∠B=50度，1）求∠ADE的大小；2）求∠AED的大小；3）求DE的长。
2C．B-1 ．或不存在．-1 D2
A．
题型二：黄金分割的考查__________. 的黄金分割点，为线段已知点2例、CAB且AC=1cm，则线段AB的长为题型三：平行线分线段成比例的考查1AD?的长是则DE=4BCDE中，ABC 如图，1、例3（）在△‖，，，BC （）2DB
12
、8 、A B10 D 、、C11
DEBC上的点，、AC、分别是边FE、DABC）如图，已知在△2（中，点、AB
CF5：DB=3AD，且AB∥EF，BC∥：，那么）CB：等于（
5
8 5．A：．C ：3．B 8 5 ：3．D2：
题型五：相似三角形判定的考查题型六：相似三角形的应用
例6、一天，小青在校园内发现旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一上，要判定△ADB与△ABC相似，添加1例5、（）如图，点D在△ABC的边AC直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，）同时还发现她站立于一个条件，不正确的是（ABABCBAD树影的中点（如图）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是_______米．??∠ABC C、D、A、∠ABD=∠C B、∠ADB=
ACBDCDAB题型七：图形位似的考查
例7、（1）如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'均
在图中格点上，若线段AB 上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为________.
点作直线截的斜边是（2）如图，MRt△ABCBC上异于BMC的一定点，过、
ABC，使截得的三角形与△相似，这样的直线共有__________条。
△ABC为BAAB上任意一点（不与、重合）BCAC、，分别以C（3）如图，点为线段BCE与∠CB=CECA=CDBCE△一腰在AB的同侧作等腰ACD和等腰△，，，∠ACD
，以）-1，0B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（中，（2）如图，△ABCA、AEN，于点交，连接于点交∠都是锐角且∠ACD=BCE，连接AECDMBDCE的边长放大到原ABCABC的位似图形，并把△为位似中心C,在x轴的下方作△点．，连接交于点与BDPPC Ba，则点B的对应点B′的横坐标是C来的2倍，记所得的像是△A′B′．设点）求证：1△；△ACE≌DCB（）的横坐标是（AMC△）请你判断（2与的形状有何关系并说明理由；DMP△
11113)?a1)(???a(a1)a?(??、A B D、、C、）求证：∠3（BPC∠APC=．
2222
【堂上练习】5、如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N x1，、x-3y=，-3 于3 y离地面的距离NM=_________米．
b【课后作业】、b1、已知：如图，DE∥BC，AD: DB=1:2，则下列结论不正确的是（）的中点，则下列结论不正确的、中，点DE分别是边AB、AC3、如图，在△ABC?ADE的面积11DE是（）?? B、A、2BC9的面积?ABCABAD?S?S3C、、D、△、ABC=2DE BADE∽△ABC
ADE?ABC?ACAE?ADE的周长1?ADE的面积1??、C、D
3ABC的周长?8的面积四边形BCED
2.
∠AB=AC，∠、如图，在△41=ABC中，2、为了测量一池塘的宽DE，在岸边找一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上2AEAD??AB“）小明说：”，你同意吗？2ABEADB1 （）△和△相似吗？（找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于B，测得AB=6m，则池塘的宽
DE为（）A、25m B、30m C、36m D、40m
AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（3、已知）ADBCBCDFCDBCADCE????、 A、 C、 B、D
BEADDFCEEFCEAFEF
4、如图，在平行四边形ABCD中，为上一点，，连结AE,BE,BD3:?DE:CE2ECD
S:S:S BDAE,等于（且），则交于点F ABF△ADF△DEF△4:9:25C、D、B 、
25:5:253::2254:10:、A
5、东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm，东东的身高是156cm，在同一时刻爸爸的影长是88cm，那么东东的影长是cm．
6、△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．相应坐标是____________________。
7、如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
8、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．。